弾性（物理学）

連続体力学および材料科学において、弾性とは、物体が変形させる影響に抵抗し、その影響や力が取り除かれたときに元の大きさや形に戻る能力のことである。固体は、適切な荷重が加えられると変形する。材料が弾性であれば、荷重が取り除かれた後、物体は元の形と大きさに戻る。これは、物体が変形した状態のまま留まる塑性とは対照的である。

弾性挙動の物理的な理由は、材料によって大きく異なる。金属では、力が加わると（系にエネルギーが加えられると）、原子格子がサイズと形状を変化させる。力が取り除かれると、格子は元の低いエネルギー状態に戻る。ゴムやその他のポリマーでは、弾性は力が加わった際にポリマー鎖が伸びることによって生じる。

フックの法則によれば、弾性体を変形させるのに必要な力は、変形距離に比例し、その距離がどれほど大きくなっても変わらない。これは完全弾性と呼ばれ、物体はどんなに強く変形しても元の形状に戻る。しかし、これはあくまで理想的な概念であり、実際には弾性を持つほとんどの材料は、ごくわずかな変形までは純粋な弾性体として振る舞うが、それ以上になると塑性変形（永久変形）が生じる。

工学分野では、材料の弾性はヤング率、体積弾性率、せん断弾性率などの弾性係数によって定量化されます。これらの弾性係数は、単位ひずみを達成するために必要な応力の量を測定します。弾性係数が高いほど、材料は変形しにくいことを示します。この弾性係数のSI単位はパスカル（Pa）です。材料の弾性限界または降伏強度は、塑性変形が始まる前に発生する可能性のある最大応力です。そのSI単位もパスカル（Pa）です。

概要

弾性材料が外力によって変形すると、変形に対する内部抵抗が生じ、外力が加えられなくなると元の状態に戻ります。ヤング率、せん断弾性率、体積弾性率など、さまざまな弾性係数があり、^[¹^]これらはすべて、加えられた荷重の下での変形に対する抵抗として、材料の固有の弾性特性の尺度です。さまざまな弾性係数は、異なる種類の変形に適用されます。たとえば、ヤング率は物体の伸長/圧縮に適用されますが、せん断弾性率はそのせん断に適用されます。^[²^]ヤング率とせん断弾性率は固体のみに適用されますが、体積弾性率は固体、液体、気体に適用されます。

材料の弾性は、応力（単位面積あたりの平均復元力）とひずみ（相対変形）の関係を示す応力-ひずみ曲線によって記述されます。 ^[³^]この曲線は一般に非線形ですが、十分小さな変形（高次の項が無視できる場合）では（テイラー級数を用いることで）線形に近似できます。材料が等方性の場合、線形化された応力-ひずみ関係はフックの法則と呼ばれ、^[⁴^]ほとんどの金属や結晶材料では弾性限界まで適用されると想定されることが多いのに対し、ゴム状材料の大きな変形をモデル化するには、弾性範囲内であっても一般的に非線形弾性が必要となります。さらに高い応力では、材料は塑性挙動を示し、つまり不可逆的に変形し、応力が加えられなくなった後も元の形状に戻りません。^[⁵^]エラストマーなどのゴム状材料の場合、応力-ひずみ曲線の傾きは応力とともに増加するため、ゴムは徐々に伸ばしにくくなるが、ほとんどの金属では、非常に高い応力で勾配が減少するため、徐々に伸ばしやすくなる。^[⁶^]弾性は固体だけが示すものではなく、粘弾性流体などの非ニュートン流体も、デボラ数で定量化される特定の条件下で弾性を示す。小さく、急速に加えられ、取り除かれたひずみに応答して、これらの流体は変形し、その後元の形状に戻る可能性がある。より大きなひずみ、またはより長い期間加えられたひずみの下では、これらの流体は粘性液体のように流れ始める可能性がある。

材料の弾性は応力-ひずみ関係によって記述されるため、応力とひずみという用語を明確に定義することが不可欠です。一般的に、2種類の関係が考慮されます。1つ目は、小さなひずみに対してのみ弾性を示す材料に関するものです。2つ目は、小さなひずみに限定されない材料に関するものです。明らかに、2つ目の関係は、1つ目の関係を特殊な場合として含むという意味で、より一般的です。

小さなひずみの場合、使用される応力の尺度はコーシー応力であり、使用されるひずみの尺度は微小ひずみテンソルです。結果として得られる（予測される）材料挙動は線形弾性と呼ばれ、（等方性媒体の場合）一般化フックの法則と呼ばれます。コーシー弾性材料とハイポエラスティック材料は、大きな回転、大きな歪み、および固有または誘導異方性の可能性を許容するようにフックの法則を拡張したモデルです。

より一般的な状況では、様々な応力尺度を用いることができ、一般的には（必須ではないが）、弾性応力－ひずみ関係は、選択された応力尺度と仕事共役な有限ひずみ尺度で表現されることが望ましい。すなわち、応力尺度とひずみ尺度の変化率の内積の時間積分は、弾性限界を下回る断熱過程における内部エネルギーの変化に等しくなければならない。

単位

国際システム

弾性および弾性係数のSI単位はパスカル（Pa）です。この単位は単位面積あたりの力として定義され、一般的には圧力の測定値であり、力学では応力に相当します。パスカル、したがって弾性の次元はL ⁻¹ ⋅M⋅T ⁻²です。

^{一般的に使用されるほとんどの工学材料の弾性率はギガパスカル（GPa、 10⁹} Pa）のスケールです。

線形弾性

前述のように、小さな変形の場合、ばねなどのほとんどの弾性材料は線形弾性を示し、応力とひずみの間の線形関係で記述できます。この関係はフックの法則として知られています。この考え方の幾何学的依存バージョン^{[ a ]}は、1675年にロバート・フックによってラテン語のアナグラム「ceiiinosssttuv」として初めて定式化されました。彼は1678年に「 Ut tensio, sic vis 」（「伸びが力に比例する」という意味） ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}という答えを発表しました。これは一般にフックの法則と呼ばれる線形関係です。この法則は、引張力 $F$ とそれに対応する伸び変位の関係として述べることができます。 $x$ 、

F=kx,

ここで $k$ はレート定数またはばね定数と呼ばれる定数です。これは応力とばね定数の関係として表すこともできます。 $\sigma$ およびストレス $\varepsilon$ :

\sigma =E\バレプシロン ,

ここで、 $E$ はヤング率として知られています。^{[ 9 ]}

3次元における応力とひずみの間の一般的な比例定数は剛性と呼ばれる4階テンソルであるが、1次元の棒のような対称性を示すシステムは、フックの法則の適用に還元できることが多い。

有限弾性

有限変形を受ける物体の弾性挙動は、コーシー弾性材料モデル、低弾性材料モデル、超弾性材料モデルなど、多くのモデルを用いて記述されてきた。変形勾配（F ）は、有限ひずみ理論で用いられる主要な変形尺度である。

コーシー弾性材料

材料がコーシー弾性であるとは、コーシー応力テンソルσが変形勾配Fのみの関数である場合をいう。

\ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})

コーシー応力は単なるひずみテンソルの関数であると述べるのは一般的に誤りである。なぜなら、そのようなモデルでは、水平方向に同じ伸張を加えた後に90度回転させた場合と比較して、垂直方向に伸張を受けた異方性媒体に対して正しい結果を生み出すために必要な材料の回転に関する重要な情報が欠けているからである。これらの変形はどちらも同じ空間ひずみテンソルを持つが、コーシー応力テンソルの値は異なるはずである。

コーシー弾性体における応力は変形状態のみに依存するものの、応力によってなされる仕事は変形経路に依存する可能性がある。そのため、コーシー弾性には、非保存的な「非超弾性」モデル（変形仕事が経路に依存する）と、保存的な「超弾性体」モデル（応力がスカラーの「弾性ポテンシャル」関数から導出できる）の両方が含まれる。

低弾性材料

低弾性材料は、次の 2 つの基準を満たす構成方程式を使用してモデル化されるものとして厳密に定義できます。 ^{[ 10 ]}

コーシーストレス ${\boldsymbol {\シグマ }}$ その時 $t$ これは、物体が過去の形状を占有した順序のみに依存し、これらの過去の形状を移動した時間速度には依存しない。特殊なケースとして、この基準にはコーシー弾性材料が含まれる。この場合、現在の応力は過去の形状の履歴ではなく、現在の形状のみに依存する。
テンソル値関数が存在する $G$ そのため ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ その中で ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ はコーシー応力テンソルの物質レートであり、 ${\boldsymbol {L}}$ は空間速度勾配テンソルです。

低弾性を定義する際に、これら2つの基準のみを用いる場合、超弾性は特殊なケースとして含まれることになる。そのため、構成モデル設計者の中には、低弾性モデルが超弾性であってはならない（すなわち、低弾性とは、応力がエネルギーポテンシャルから導出できないことを意味する）という第3の基準を追加する者もいる。この第3の基準を採用すると、低弾性材料は、開始時と終了時の変形勾配が同じであっても、開始時と終了時の内部エネルギーが同じではない、非保存的な断熱荷重経路を許容する可能性があるということになる。

2番目の基準では、関数が $G$ 存在します。主要な低弾性材料の記事で詳述されているように、低弾性モデルの特定の定式化では、通常、いわゆる客観的レートが使用され、 $G$ この関数は暗黙的にのみ存在し、通常は実際の（客観的ではない）応力速度を直接積分することによって実行される数値的な応力更新の場合にのみ明示的に必要となります。

超弾性材料

超弾性材料（グリーン弾性材料とも呼ばれる）は、ひずみエネルギー密度関数（W ）から導出される保存モデルである。モデルが超弾性であるのは、コーシー応力テンソルを変形勾配の関数として、次の形式の関係で表現できる場合に限る。

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{ただし}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

この定式化では、エネルギーポテンシャル（W）を変形勾配（ ${\boldsymbol {F}}$ )物質的客観性の充足も要求することにより、エネルギーポテンシャルはコーシー・グリーン変形テンソルの関数として代替的に考えることができる( ${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}$ この場合、超弾性モデルは次のように書き換えることができる。

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

アプリケーション

線形弾性理論は、梁、板、シェル、サンドイッチ複合材などの構造物の設計および解析において広く用いられている。また、この理論は破壊力学の多くの分野の基礎となっている。

超弾性は主に、ガスケットなどのエラストマーベースの物体や、軟組織や細胞膜などの生体材料の応答を決定するために使用されます。

弾力性に影響を与える要因

既知のヤング率によるバルク材料の理論的弾性を持つ特定の等方性固体では、有効弾性は多孔度によって決まります。一般に、多孔度が高い材料ほど剛性が低くなります。より具体的には、細孔の割合、異なるサイズでの細孔の分布、および細孔が満たされている流体の性質によって、固体の弾性挙動が異なります。^{[ 11 ]}

亀裂を含む等方性材料の場合、亀裂の存在はヤング率と亀裂面に垂直なせん断弾性率に影響を与え、亀裂密度が増加するにつれて減少します（ヤング率はせん断弾性率よりも速く減少します） ^{[ 12 ]} 。これは、亀裂の存在が物体を脆くすることを示しています。微視的には、材料の応力-ひずみ関係は一般に熱力学的量であるヘルムホルツ自由エネルギーによって支配されます。分子は、その構造から派生する制約の下で、自由エネルギーを最小化する配置に落ち着き、自由エネルギーにおいてエネルギー項とエントロピー項のどちらが支配的かに応じて、材料はエネルギー弾性とエントロピー弾性に大別できます。このように、分子間の平衡距離など、自由エネルギーに影響を与える微視的要因は、材料の弾性に影響を与える可能性があります。たとえば、無機材料では、 0 Kでの分子間の平衡距離が増加すると、体積弾性率が減少します。^[¹³^]温度が弾性に及ぼす影響は、それに影響を与える要因が多数あるため、分離するのが難しい。例えば、材料の体積弾性率は、その格子の形状、膨張時の挙動、および分子の振動に依存し、これらはすべて温度に依存する。^[¹⁴^]

注記

↑材料の挙動に関する記述は、対象となる材料で作られた物体の形状や形状に依存しないものであるべきです。フックの法則の原文では、物体の初期サイズと形状に依存する剛性定数が用いられています。したがって、剛性定数は厳密には材料特性ではありません。

参考文献

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外部リンク

ファインマン物理学講義第2巻第38章：弾性

[7] 材料の挙動に関する記述は、対象となる材料で作られた物体の形状や形状に依存しないものであるべきです。フックの法則の原文では、物体の初期サイズと形状に依存する剛性定数が用いられています。したがって、剛性定数は厳密には材料特性ではありません。

[1] Phani, KK; Sanyal, Dipayan (2008年8月25日). 「多孔質等方性セラミック材料のせん断弾性率、体積弾性率、ヤング率の関係」. Materials Science and Engineering: A. 490 ( 1–2 ) . Elsevier: 305–312 . doi : 10.1016/j.msea.2008.01.030 .

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弾性（物理学）

概要