対数螺旋

対数螺旋、等角螺旋、成長螺旋は、自然界によく見られる自己相似螺旋曲線である。対数螺旋を最初に記述したのはアルブレヒト・デューラー（1525年）で、彼はそれを「永遠の線」（「ewige Linie」）と呼んだ。^[1]^[2] 1世紀以上後、この曲線はデカルト（1638年）によって論じられ、後にヤコブ・ベルヌーイによって徹底的に研究され、彼はそれを「驚異の螺旋」、 Spira mirabilisと呼んだ。

対数螺旋は、対数螺旋の回転間の距離が等比数列で増加するのに対し、アルキメデス螺旋ではこれらの距離が一定であるという事実によってアルキメデス螺旋と区別されます。

意味

極座標では対数螺旋は[ ^3] または、自然対数の底、実定数として表すことができます。 $(r,\varphi )$ $r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,$ $\varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},$ $e$ $a>0$ $k\neq 0$

デカルト座標では

極座標方程式を伴う対数螺旋は、複素平面上で次のように直交座標で表すことができます。 $r=ae^{k\varphi }$ $(x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )$ $x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .$ $(z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )$ $z=ae^{(k+i)\varphi }.$

スピラミラビリスヤコブ・ベルヌーイ

対数螺旋の別名はラテン語で「奇跡の螺旋」を意味するSpira mirabilisである。この曲線は他の数学者によって既に命名されていたが、この曲線に特定の名前 (「奇跡の」または「素晴らしい」螺旋) を付けたのはヤコブ・ベルヌーイである。ベルヌーイは、この曲線のユニークな数学的性質の 1 つに魅了されたためである。それは、螺旋のサイズは大きくなるが、曲線が続くごとに形状は変わらないという、自己相似性と呼ばれる性質である。おそらくこのユニークな性質の結果として、spira mirabilis は自然界で進化し、オウムガイの殻やヒマワリの頭のような特定の成長形態に現れた。ヤコブ・ベルヌーイは、このような螺旋を「 Eadem mutata resurgo (変わっても、私は同じままに生まれる)」というフレーズとともに自分の墓石に刻むことを望んだが、誤ってアルキメデスの螺旋が刻まれてしまった。^[4]^[5]

プロパティ

対数螺旋には以下の特性があります (螺旋を参照)。 $r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,$

ピッチ角: $\tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{定数 !}}})$
ピッチ角付き（図とアニメーションを参照）。 $\alpha$
(角度が 0の場合、曲線は半径の円になります。) $k=0$ $\alpha$ $a$
曲率: $\kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}$
弧の長さ: $L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _ {2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha } }$
特に: 、の場合。 $\ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\text{finite !}}})\;$ $k>0$
この性質は、微積分が発明される前からエヴァンジェリスタ・トリチェリによって初めて認識されていました。 ^[6]
セクターエリア: $A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}$
反転: 円反転( )は対数螺旋を対数螺旋に写像する。 $r\to 1/r$ $r=ae^{k\varphi }$ $r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.$

回転、拡大縮小: 螺旋を角度だけ回転すると、螺旋が生成されます。これは、元の螺旋を (原点で) だけ均一に拡大縮小したものです。 $\varphi_{0}$ $r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }$ $e^{-k\varphi _{0}}$
でスケーリングすると、同じ曲線が得られます。 $\;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;$
自己相似性: 前の性質の結果:
スケールされた対数螺旋は、（回転によって）元の曲線と一致します。
例:図は傾斜角がとの螺旋を示しています。したがって、これらはすべて赤い螺旋の拡大縮小されたコピーです。ただし、赤い螺旋をそれぞれ角度回転させることによって生成することもできます。すべての螺旋に共通点はありません (複素指数関数の特性を参照してください)。 $\alpha =20^{\circ }$ $a=1,2,3,4,5$ $-109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }$
他の曲線との関係:対数螺旋は、その中心に基づいて、自身のインボリュート、エボリュート、およびペダル曲線と一致します。
複素指数関数:指数関数は、複素平面上の実軸または虚軸と平行でないすべての線を、中心がにある複素平面上のすべての対数螺旋に正確に写像します。対数螺旋のピッチ角は、線と虚軸の間の角度です。 $0$ $z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}$ $\alpha$

特殊なケースと近似値

黄金螺旋は、90 度の回転ごとに黄金比の係数で外側に成長する対数螺旋です(ピッチ角は約 17.03239 度)。これは、フィボナッチ数に比例する半径を持つ一連の四分の一円で構成される「フィボナッチ螺旋」で近似できます。

自然の中で

いくつかの自然現象では、対数螺旋に近い曲線が見られます。以下にいくつかの例と理由を示します。

タカが獲物に近づく古典的な追跡行動。獲物が直線で移動すると仮定した場合。タカの最も鋭い視界は飛行方向に対して斜めの方向で、この角度は螺旋のピッチと同じである。^[7]
昆虫が光源に近づくこと。昆虫は、光源が飛行経路に対して一定の角度にあることに慣れています。通常、太陽（夜行性の種の場合は月）が唯一の光源であり、その方向に飛ぶと、実質的に直線になります。^[8]
渦巻き銀河の腕。^[9]天の川銀河には複数の渦巻き腕があり、それぞれの腕はおおよそ12度のピッチを持つ対数螺旋です。^[10]しかし、渦巻き銀河は対数螺旋、アルキメデス螺旋、双曲螺旋としてモデル化されることが多いですが、対数螺旋（この角度は変化しません）とは異なり、そのピッチ角は銀河中心からの距離に応じて変化し、また、それらをモデル化するために使用される他の数学的螺旋とも異なります。^[11]
角膜神経（つまり、上皮下層の角膜神経は、対数螺旋パターンで角膜の表層上皮層の近くで終わる）。^[12]
ハリケーンなどの熱帯低気圧の帯。^[13]
軟体動物の殻を含む多くの生物学的構造。^{[14]これらの場合、その理由は}多角形の場合のように、相似形を拡大して構築することである可能性がある。
対数螺旋状の海岸は、海岸による波の屈折と回折の結果として形成されることがあります。ハーフムーンベイ（カリフォルニア州）は、このようなタイプの海岸の一例です。^[15]

エンジニアリングアプリケーション

対数スパイラルアンテナは周波数に依存しないアンテナであり、広い帯域幅にわたって放射パターン、インピーダンス、偏波がほとんど変化しないアンテナである。^[17]
サブトラクティブ加工機（レーザーカッターなど）で機構を製造する場合、切断工程で各機械によって除去される材料（つまり、カーフ）の違いにより、異なる機械で機構を製造すると精度が低下する可能性があります。このカーフの変化を調整するために、対数螺旋の自己相似性を利用して、レーザーカッターのカーフキャンセル機構が設計されました。^[18]
対数スパイラルベベルギアは、歯の中心線が対数スパイラルであるスパイラルベベルギアの一種です。対数スパイラルには、歯の中心線と放射状の線の間の角度が等しいという利点があり、噛み合い伝達の安定性が向上します。^[19]

ロッククライミングでは、バネ仕掛けのカム装置は金属製のカムから作られ、その外側のグリップ面は対数螺旋の弧を描いている。この装置を岩の割れ目に挿入すると、カムの回転によりカムの合計幅が割れ目の幅に合わせて拡大し、岩の表面に対して一定の角度（力が加わる螺旋の中心に対して）を維持する。螺旋のピッチ角は、装置と岩の摩擦を最適化するように選択される。^[20]

参照

アルキメデスの螺旋
エピスピラル
スパイラルの一覧
ネズミ問題、ネズミが追いかけ合う経路を求める幾何学問題で、その解は対数螺旋である。
テイト・クネザー定理

参考文献

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Weisstein、Eric W.「対数螺旋」。MathWorld。
ジム・ウィルソン、「等角螺旋（または対数螺旋）とその関連曲線」、ジョージア大学（1999年）
アレクサンダー・ボゴモルニー、Spira Mirabilis - 素晴らしい螺旋、cut-the-knot にて

外部リンク

スピラ・ミラビリスの歴史と数学
NASA 天文写真集: ハリケーンイザベルと渦巻銀河 (2003 年 9 月 25 日)
NASA 天文写真集: 台風ラマスンと風車銀河 (2008 年 5 月 17 日)
SpiralZoom.com は、パターン形成の科学、自然界の螺旋、神話的想像力における螺旋に関する教育ウェブサイトです。
JSXGraph (JavaScript) を使用したオンライン探索
ゼノンのネズミ問題と対数螺旋に関する YouTube 講義

[1] アルブレヒト・デューラー (1525)。 Underweysung der Messung、mit dem Zirckel und Richtscheyt、in Linien、Ebenen und gantzen corporen。

[2] Hammer, Øyvind (2016). 「デューラーの汚れた秘密」.完璧な形: 螺旋物語. Springer International Publishing. pp. 173–175. doi :10.1007/978-3-319-47373-4_41. ISBN 978-3-319-47372-7。

[3] プリヤ・ヘメンウェイ (2005)。『神聖な比率：芸術、自然、科学におけるΦファイ』スターリング出版ISBN 978-1-4027-3522-6。

[livio-4] リビオ、マリオ（2002年）。黄金比：世界で最も驚くべき数字、ファイの物語。ニューヨーク：ブロードウェイブックス。ISBN 978-0-7679-0815-3。

[5] Yates, RC:曲線とその特性に関するハンドブック、JW Edwards (1952)、「Evolutes」。p. 206。

[6] カール・ベンジャミン・ボイヤー (1949)。微積分の歴史とその概念的発展。クーリエ・ドーバー出版。p. 133。ISBN 978-0-486-60509-8。

[7] Chin, Gilbert J. (2000 年 12 月 8 日). 「生物生物学: 対数螺旋に沿って飛ぶ」. Science . 290 (5498): 1857. doi :10.1126/science.290.5498.1857c. S2CID 180484583.

[8] ジョン・ヒンメルマン (2002)。『蛾の発見：あなたの裏庭にある夜の宝石』ダウン・イースト・エンタープライズ社、p. 63。ISBN 978-0-89272-528-1。

[9] G. Bertin および CC Lin (1996)。銀河の螺旋構造: 密度波理論。MIT プレス。p. 78。ISBN 978-0-262-02396-2。

[10] David J. Darling (2004)。『数学の普遍書：アブラカダブラからゼノンのパラドックスまで』John Wiley and Sons. p. 188. ISBN 978-0-471-27047-8。

[11] Savchenko, SS; Reshetnikov, VP (2013年9月). 「渦巻き銀河のピッチ角の変化」.王立天文学会月報. 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .

[Yu-12] CQ Yu CQおよびMI Rosenblatt、「マウスにおけるトランスジェニック角膜神経蛍光：神経構造および再生の生体内調査のための新しいモデル」、Invest Ophthalmol Vis Sci. 2007年4月;48(4):1535-42。

[13] アンドリュー・グレイ（1901年）。物理学論文集、第1巻。チャーチル。pp.356-357。

[14] Michael Cortie (1992)。「軟体動物の殻の形状、機能、合成」。István Hargittai および Clifford A. Pickover (編)。螺旋対称性。World Scientific。p. 370。ISBN 978-981-02-0615-4。

[15] アラン・トーマス・ウィリアムズとアントン・ミカレフ（2009年）。ビーチ管理：原則と実践。アーススキャン。p.14。ISBN 978-1-84407-435-8。

[16] 「kerf-cancelingメカニズム」hpi.de . 2020年12月26日閲覧。

[17] Mayes, PE (1992). 「周波数に依存しないアンテナとその広帯域派生型」. Proceedings of the IEEE . 80 (1): 103–112. Bibcode :1992IEEEP..80..103M. doi :10.1109/5.119570.

[18] Roumen, Thijs; Apel, Ingo; Shigeyama, Jotaro; Muhammad, Abdullah; Baudisch, Patrick (2020-10-20). 「カーフキャンセル機構: 異なるレーザーカッター間でレーザーカット機構を動作させる」。第33回ACMユーザーインターフェースソフトウェアおよびテクノロジーシンポジウムの議事録。バーチャルイベントUSA: ACM。pp. 293–303。doi :10.1145/3379337.3415895。ISBN 978-1-4503-7514-6. S2CID 222805227。

[19] Jiang, Jianfeng; Luo, Qingsheng; Wang, Liting; Qiao, Lijun; Li, Minghao (2020). 「対数スパイラルベベルギアのレビュー」.ブラジル機械科学工学会誌. 42 (8): 400. doi :10.1007/s40430-020-02488-y. ISSN 1678-5878.

[20] Todesco, Gian Marco (2018). 「奇妙なギア」。 Emmer, Michele、Abate, Marco (編)。Imagine Math 6: Between Culture and Mathematics。 Springer International Publishing。 pp. 179–193。doi :10.1007/978-3-319-93949-0_16。ISBN 9783319939490。