黄金角

幾何学において、黄金角とは、円周を黄金比に従って分割して作られる2 つの角度のうち小さい方の角度です。黄金比とは、小さい方の弧の長さと大きい方の弧の長さの比が、大きい方の弧の長さと円周全体の比と同じになるように 2 つの弧に分割された角度です。

代数的に、a+bを円の円周とし、これ を長さaの長い弧と長さbの短い弧に分割して、

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

黄金角は、長さbの小さい方の弧によって囲まれる角度であり、およそ137.507 764 050 037 854 646 3487 ...° OEIS : A096627またはラジアン 2.399 963 229 728 653 32 ... OEIS :A131988。

この名前は黄金角が黄金比 φと関連していることに由来しています。黄金角の正確な値は

${\displaystyle 360​​\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ 度}}}$

または

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ ラジアン}},}$

ここで、同値性は黄金比のよく知られた代数的性質から導かれます。

黄金角の正弦と余弦は超越数であるため、定規とコンパスを使って黄金角を構成することはできません。^[1]

上記の条件では、 黄金比はφ  =  a / bに等しくなります。

ƒ を黄金角によって囲まれる円周の割合、つまり黄金角を円の角度で割った値とします 。

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

しかし、

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

すると

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

これは、 φ  ²黄金角が円に収まる と言うことと同じです。

したがって、黄金角が占める円の割合は

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

したがって、黄金角g は次のように度単位で数値的に近似できます。

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

またはラジアンで次のように表します。

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

黄金角は葉序理論において重要な役割を果たしている。例えば、黄金角はヒマワリの花を分ける角度である。^{[2]パターンの分析により、黄金角は個々の}原基を分ける角度に非常に敏感であり、フィボナッチ角は最適な充填密度の寄生植物を与えることがわかった。 ^[3]

花蕾の発達に関するもっともらしい物理的メカニズムの数学的モデル化は、平面上の非線形偏微分方程式の解から自発的に生じるパターンを示している。^{[4] [5]}

• 137 (数字)
• 138 (数字)
• 黄金比
• フィボナッチ数列

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