量子場理論

量子場理論は、古典場理論、量子力学、特殊相対性理論の組み合わせの結果である。^{[ 1 ]： xi}これらの理論的前身について簡単に概説する。

最も初期の成功した古典的場理論は、ニュートンの万有引力の法則から生まれたものですが、1687 年の彼の論文『自然哲学の数学的原理』には場の概念が全くありませんでした。アイザック ニュートンが記述した重力は「遠隔作用」であり、遠くの物体への影響は距離に関係なく瞬時に現れます。しかし、リチャード ベントレーとの書簡のやり取りの中で、ニュートンは「無生物の粗大な物質が、物質ではない何かの媒介なしに、相互接触なしに他の物質に作用し、影響を与えることは考えられない」と述べています。^{[ 2 ]： 4} 18 世紀になって初めて、数学物理学者は場に基づいた便利な重力の記述を発見しました。これは、空間のすべての点に割り当てられる数値量（重力場の場合はベクトル）であり、その点にある任意の粒子に対する重力の作用を示します。しかし、これは単なる数学的なトリックだと考えられていました。^{[ 3 ]： 18}

19世紀に電磁気学が発展するにつれ、場は独自の存在として認識されるようになった。マイケル・ファラデーは1845年に英語の「field」という用語を造語した。彼は、場を（物質が存在しない場合でも）物理的な効果を持つ空間の性質として導入した。彼は「遠隔作用」に反対し、物体間の相互作用は空間を満たす「力線」を介して起こると提唱した。この場の記述は今日まで受け継がれている。^{[ 2 ] [ 4 ]： 301 [ 5 ]： 2}

古典電磁気学の理論は、1864年にマクスウェル方程式によって完成しました。この方程式は、電場、磁場、電流、電荷の関係を記述しています。マクスウェル方程式は電磁波の存在を示唆しており、電磁波とは、電場と磁場が有限の速度（光速であることが判明）で空間上の1点から別の点へと伝播する現象です。こうして遠隔作用は決定的に否定されました。^{[ 2 ]： 19}

古典電磁気学は大きな成功を収めたにもかかわらず、原子スペクトルの離散線や、異なる波長における黒体放射の分布を説明することはできなかった。 ^{[ 6 ]}マックス・プランクによる黒体放射の研究は、量子力学の始まりとなった。彼は、電磁放射を吸収・放出する原子を、そのエネルギーが連続値ではなく離散値しかとれないという重要な性質を持つ微小な振動子として扱った。これらは量子調和振動子として知られている。エネルギーを離散値に制限するこの過程は量子化と呼ばれる。^{[ 7 ] : Ch.2}この考えに基づいて、アルバート・アインシュタインは1905年に光電効果の説明として、光は光子（光の量子）と呼ばれる個々のエネルギーの塊で構成されていると提唱した。これは、電磁放射が古典的な電磁場では波である一方で、粒子の形でも存在することを意味していた。^{[ 6 ]}

1913年、ニールス・ボーアは原子構造のボーアモデルを提唱しました。このモデルでは、原子内の電子は連続的なエネルギーではなく、離散的なエネルギーしか取ることができません。これは量子化のもう一つの例です。ボーアモデルは原子スペクトル線の離散的な性質をうまく説明しました。1924年、ルイ・ド・ブロイは波動粒子二重性の仮説を提唱しました。これは、微視的な粒子が異なる状況下で波動性と粒子性の両方の性質を示すというものです。^{[ 6 ]}これらの散在するアイデアを統合し、 1925年から1926年にかけて、マックス・プランク、ルイ・ド・ブロイ、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、エルヴィン・シュレーディンガー、ポール・ディラック、ヴォルフガング・パウリらの重要な貢献により、量子力学という一貫した学問分野が確立されました。^{[ 3 ]： 22-23}

アインシュタインは、光電効果に関する論文を発表したのと同じ年に、マクスウェルの電磁気学に基づいた特殊相対性理論を発表しました。観測者の速度の変化に応じて事象の時間と空間の座標がどのように変化するかについて、ローレンツ変換と呼ばれる新しい規則が与えられ、時間と空間の区別が曖昧になりました。^{[ 3 ]： 19}すべての物理法則は、異なる速度の観測者に対して同じでなければならない、つまり物理法則はローレンツ変換の下で不変でなければならないと提案されました。

2つの困難が残っていた。観測的には、量子力学の基礎となるシュレーディンガー方程式は、外部電磁場の作用下で電子が新たな光子を放出する原子からの誘導放出を説明できたが、外部電磁場の作用がなくても電子が自発的にエネルギーを減少させて光子を放出する自発放出を説明することはできなかった。理論的には、シュレーディンガー方程式は光子を記述できず、特殊相対性理論の原理と矛盾していた。シュレーディンガー方程式は時間を通常の数値として扱い、空間座標を線形演算子に昇格させていたからである。^{[ 6 ]}

量子場理論は、当然ながら電磁相互作用の研究から始まった。なぜなら、1920年代の時点では、電磁場が唯一知られている古典場だったからである。^{[ 8 ]： 1}

1925年から1926年にかけて、ボルン、ハイゼンベルク、パスカル・ジョルダンらの研究により、電磁場を量子調和振動子の集合として扱うことで、正準量子化を通して自由電磁場（物質との相互作用のない電磁場）の量子論が開発された。^{[ 8 ]： 1}しかし、相互作用を排除したこの理論は、現実世界について定量的な予測を行うことはまだできなかった。^{[ 3 ]： 22}

ディラックは、1927年の画期的な論文「放射の放出と吸収の量子論」の中で、自由電磁場を記述する項に電流密度と電磁ベクトルポテンシャルの間の相互作用項を追加した理論である量子電磁力学（QED）という用語を造語しました。彼は一次摂動論を用いて、自発放出現象をうまく説明しました。量子力学の不確定性原理によれば、量子調和振動子は静止したままではいられず、ゼロでない最小エネルギーを持ち、最低エネルギー状態（基底状態）であっても常に振動していなければなりません。したがって、完全な真空であっても、零点エネルギーを持つ振動する電磁場が存在します。真空中の電磁場のこの量子ゆらぎが、原子内の電子による放射の自発放出を「刺激」するのです。ディラックの理論は、原子による放射の放出と吸収の両方を説明する上で非常に大きな成功を収めました。二次摂動理論を適用することで、光子の散乱、共鳴蛍光、非相対論的コンプトン散乱を説明することができた。しかしながら、高次摂動理論の適用は、計算における問題のある無限大に悩まされた。^{[ 6 ]： 71}

1928年、ディラックは相対論的電子を記述する波動方程式、すなわちディラック方程式を書き上げた。この方程式は、電子のスピンが1/2であること、電子のg因子が2であること、水素原子の微細構造に関する正しいゾンマーフェルトの公式が得られること、そして相対論的コンプトン散乱に関するクライン・仁科の公式を導出できることなど、重要な結果をもたらした。これらの成果は実り多いものであったが、この理論は負のエネルギー状態の存在も示唆しており、原子は常に放射線を放出してより低いエネルギー状態に崩壊する可能性があるため、原子は不安定になると考えられた。^{[ 6 ]： 71-72}

当時主流だった考え方では、世界は2つの全く異なる要素、すなわち物質粒子（電子など）と量子場（光子など）から構成されていると考えられていました。物質粒子は不変であると考えられ、その物理的状態は、空間の任意の領域または速度範囲で各粒子を見つける確率によって記述されると考えられていました。一方、光子は、基礎となる量子化された電磁場の励起状態にすぎず、自由に生成または消滅できると考えられていました。1928年から1930年の間に、ジョーダン、ユージン・ウィグナー、ハイゼンベルク、パウリ、エンリコ・フェルミは、物質粒子も量子場の励起状態として見ることができることを発見しました。光子が量子化された電磁場の励起状態であるのと同様に、各種類の粒子には対応する量子場、すなわち電子場、陽子場などがありました。十分なエネルギーがあれば、物質粒子を生成することが可能になりました。この考えに基づいて、フェルミは1932年にフェルミの相互作用として知られるベータ崩壊の説明を提唱しました。原子核自体には電子は含まれていないが、崩壊の過程で、励起原子の放射崩壊において周囲の電磁場から光子が生成されるのと同様に、周囲の電子場から電子が生成される。^{[ 3 ]： 22-23}

1929年、ディラックらは、ディラック方程式によって示される負のエネルギー状態は、電子と同じ質量を持ちながら反対の電荷を持つ粒子の存在を仮定することで解消できることに気づいた。これは原子の安定性を保証するだけでなく、反物質の存在を初めて提唱するものでもあった。実際、陽電子の存在は1932年にカール・デイヴィッド・アンダーソンによって宇宙線から発見された。光子を吸収するなど十分なエネルギーがあれば、電子と陽電子のペアが生成され、この過程はペア生成と呼ばれる。逆の過程である消滅も、光子の放出によって起こり得る。これは、相互作用中に粒子数が固定される必要はないことを示した。しかし、歴史的には、陽電子は当初、新しい種類の粒子ではなく、無限の電子の海における「穴」と考えられており、この理論はディラックの穴理論と呼ばれていた。^{[ 6 ] : 72 [ 3 ] : 23} QFTは自然に反粒子をその形式体系に組み込んだ。^{[ 3 ] : 24}

ロバート・オッペンハイマーは1930年に、QEDにおける高次の摂動計算では、電子の自己エネルギーや電子場と光子場の真空零点エネルギーなど、常に無限大の値が得られることを示した^{[ 6 ]。}これは、当時の計算方法では極めて高い運動量を持つ光子の相互作用を適切に扱うことができないことを示唆していた^{[ 3 ]： 25。}このような無限大を取り除く体系的なアプローチが開発されたのは、それから20年後のことだった。

1934年から1938年にかけて、エルンスト・シュトゥッケルベルクによって一連の論文が発表され、量子場理論の相対論的に不変な定式化が確立された。1947年には、シュトゥッケルベルクは独自に完全な繰り込み手順も開発した。このような成果は、理論界では理解も認識もされなかった。^{[ 6 ]}

これらの無限大に直面し、ジョン・アーチボルド・ホイーラーとハイゼンベルクは、それぞれ1937年と1943年に、問題の多い量子場理論（QFT）をいわゆるS行列理論に置き換えることを提案した。微視的な相互作用の具体的な詳細は観測できないため、この理論は相互作用の微視的な細部にこだわるのではなく、相互作用における少数の観測量（例えば原子のエネルギー）間の関係を記述することのみを試みるべきである。1945年、リチャード・ファインマンとホイーラーは大胆にもQFTを完全に放棄することを提案し、粒子相互作用のメカニズムとして遠隔作用を提唱した。 ^{[ 3 ]： 26}

1947年、ウィリス・ラムとロバート・レザフォードは、水素原子の^2S1 / ₂と^2P1 / ₂のエネルギー準位のわずかな差（ラムシフトとも呼ばれる）を測定した。ハンス・ベーテは、電子の質量を超えるエネルギーを持つ光子の寄与を無視することで、ラムシフトの数値を推定することに成功した。^{[ 6 ] [ 3 ]： 28}その後、ノーマン・マイルズ・クロール、ラム、ジェームズ・ブルース・フレンチ、ビクター・ワイスコフは、無限大が他の無限大を打ち消して有限量になるというアプローチを用いて、この値を再び確認した。しかし、この方法は不器用で信頼性が低く、他の計算に一般化することはできなかった。^{[ 6 ]}

最終的に突破口が開かれたのは1950年頃で、ジュリアン・シュウィンガー、リチャード・ファインマン、フリーマン・ダイソン、朝永慎一郎らが無限大を消去するより堅牢な方法を開発した時だった。その主なアイデアは、計算された質量と電荷の値が無限大であっても、それを有限の測定値に置き換えることである。この体系的な計算手順は繰り込みと呼ばれ、摂動論の任意の次数に適用できる。^{[ 6 ]}朝永はノーベル賞受賞講演で次のように述べている。

場反応による修正された質量と電荷の部分は無限大になるため、理論では計算できません。しかし、実験で観測される質量と電荷は元の質量と電荷ではなく、場反応によって修正された質量と電荷であり、有限です。一方、理論に現れる質量と電荷は、場反応によって修正された値です。このように、特に理論では修正された質量と電荷を計算できないため、現象論的に実験値を代入する手順を採用することができます 。この手順は、質量と電荷の再正規化と呼ばれます 。シュウィンガーほど巧みではないものの、長く骨の折れる計算の後、 アメリカ人の結果と一致する結果が得られました。^{[ 9 ]}

再規格化手順を適用することにより、電子の異常磁気モーメント（電子のg因子が2からずれていること）と真空偏極を説明する計算が最終的に行われた。これらの結果は実験測定と驚くほど一致し、それによって「無限との戦い」の終結を告げた。^{[ 6 ]}

同時に、ファインマンは量子力学の経路積分定式化とファインマン図を導入した。^{[ 8 ]： 2}後者は、摂動展開の項を視覚的かつ直感的に整理し、計算を助けるために使用できる。各図は相互作用中の粒子の経路として解釈でき、各頂点と線には対応する数式があり、これらの式の積は、図で表される相互作用の散乱振幅を与える。 ^{[ 1 ]： 5}

繰り込み手順とファインマン図の発明によって、量子場理論はついに完全な理論的枠組みとして確立された。^{[ 8 ]： 2}

QEDの驚異的な成功を受けて、1949年以降の数年間、多くの理論家は、QFTが光子、電子、陽電子間の相互作用だけでなく、あらゆる微視的現象の理解を間もなく提供できると信じていた。しかし、この楽観論とは裏腹に、QFTはほぼ20年間続く新たな低迷期に突入した。^{[ 3 ]： 30}

最初の障害は、繰り込み手順の適用範囲が限られていたことである。QEDにおける摂動計算では、少数の（有限の）物理量（すなわち電子の質量と電荷）を再定義することで、すべての無限量を消去することができた。ダイソンは1949年に、これは「繰り込み可能な理論」と呼ばれる少数の理論クラスでのみ可能であることを証明した。QEDはその一例である。しかし、弱い相互作用のフェルミ理論を含むほとんどの理論は「繰り込み不可能」である。これらの理論における一次を超える摂動計算では、有限の物理量を再定義しても除去できない無限大が生じる。^{[ 3 ]： 30}

2つ目の大きな問題は、摂動論における級数展開に基づくファインマン図法の有効性の限界に起因していた。級数が収束し、低次の計算が良好な近似となるためには、級数展開の対象となる結合定数が十分に小さい値でなければならない。QEDにおける結合定数は微細構造定数α ≈ 1/137であり、これは十分に小さいため、現実的な計算では最も単純な、最低次のファインマン図のみを考慮すればよい。対照的に、強い相互作用における結合定数はおおよそ1程度であるため、複雑な高次のファインマン図も単純な図と同様に重要となる。したがって、摂動量子場理論法を用いて強い相互作用の信頼できる定量的予測を導き出す方法はなかった。^{[ 3 ]： 31}

こうした困難が迫る中、多くの理論家は量子場理論（QFT）から離れ始めた。対称性の原理や保存則に焦点を当てる者もいれば、ウィーラーとハイゼンベルクの古いS行列理論を取り上げようとする者もいた。QFTは、定量的な計算の基礎としてはではなく、指針となる原理として経験的に用いられた。^{[ 3 ]： 31}

しかし、シュウィンガーは別の道を選んだ。10年以上もの間、彼と彼の学生は場の理論のほぼ唯一の提唱者であったが、^{[ 10 ] : 454} 1951年に^{[ 11 ] [ 12 ]}ゲージ場に結合した電流として外部源を使用する新しい方法で無限の問題を回避する方法を見つけた。^{[ 13 ]}以前の発見に触発され、シュウィンガーは、ラグランジュ乗数として知られる構成空間パラメータに外部力を結合する古典的なプロセスを「量子的に」一般化するために、このアプローチを追求し続けた。彼は1966年にソース理論をまとめ^{[ 14 ]}、その後、彼の3巻からなる「粒子、ソース、および場」というタイトルのシリーズで、量子電磁力学への理論の応用を拡張した。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}新しい視点が最もうまく適用されたパイ中間子物理学の発展は、その使用がもたらす数学的な単純さと概念的な明快さという大きな利点を彼に確信させた。^{[ 15 ]}

ソース理論には発散も繰り込みもありません。場の理論の計算ツールと見なすこともできますが、より一般的なものです。^{[ 18 ]} シュウィンガーはソース理論を用いて、1947年に計算した電子の異常磁気モーメントを、今回は無限量に関する「余計な言及」なしに計算することができました。^{[ 10 ]： 467}

シュウィンガーはまた、自身の重力の量子場理論にソース理論を適用し、アインシュタインの4つの古典的な結果、すなわち重力赤方偏移、重力による光の偏向と減速、水星の近日点歳差運動をすべて再現することができた。^{[ 19 ]} 物理学界がソース理論を無視したことは、シュウィンガーにとって大きな失望であった。

他人がこれらの事実を理解していないのは残念だったが、理解できることでもあった。

1954年、楊振寧とロバート・ミルズはQEDの局所対称性を一般化し、より複雑な局所対称群に基づく非可換ゲージ理論（ヤン・ミルズ理論とも呼ばれる）を導きました。^{[ 20 ]： 5} QEDでは、（電気的に）電荷を帯びた粒子は光子の交換を介して相互作用しますが、非可換ゲージ理論では、新しいタイプの「電荷」を持つ粒子は質量のないゲージボソンの交換を介して相互作用します。光子とは異なり、これらのゲージボソン自体が電荷を帯びています。^{[ 3 ]： 32 [ 21 ]}

シェルドン・グラショウは1960年に電磁相互作用と弱い相互作用を統一する非可換ゲージ理論を開発した。1964年、アブドゥス・サラムとジョン・クライブ・ウォードは異なる経路で同じ理論に到達した。しかし、この理論は繰り込み不可能であった。^{[ 22 ]}

ピーター・ヒッグス、ロバート・ブラウト、フランソワ・エングレール、ジェラルド・グラルニック、カール・ハーゲン、トム・キブルは、有名なPhysical Review Letters誌の論文で、ヤン・ミルズ理論におけるゲージ対称性は、自発的対称性の破れと呼ばれるメカニズムによって破れる可能性があり、それによって元々質量のないゲージボソンが質量を獲得する可能性があると提唱した。^{[ 20 ]： 5-6}

グラショウ、サラム、ワードの初期の理論と自発的対称性の破れの考え方を組み合わせることにより、スティーブン・ワインバーグは1967 年に、すべてのレプトン間の電弱相互作用とヒッグス粒子の効果を記述する理論を書き上げた。彼の理論は当初ほとんど無視されていたが、^{[ 22 ] [ 20 ] : 6} 1971 年にジェラルド・ト・フーフトが非アーベルゲージ理論が繰り込み可能であることを証明したことで再び注目を集めた。ワインバーグとサラムの電弱理論は、1970 年にグラショウ、ジョン・イリオポロス、ルチアーノ・マイアーニによってレプトンからクォークに拡張され、完成した。^{[ 22 ]}

1971年、ハラルド・フリッチュ、マレー・ゲルマン、ハインリヒ・ロイトワイラーは、強い相互作用に関わる特定の現象が非アーベルゲージ理論によっても説明できることを発見した。こうして量子色力学（QCD）が誕生した。1973年、デイビッド・グロス、フランク・ウィルチェック、ヒュー・デイビッド・ポリッツァーは、非アーベルゲージ理論が「漸近的に自由」であることを示した。これは、繰り込みの下で、強い相互作用の結合定数が相互作用エネルギーの増加とともに減少することを意味する。（同様の発見は以前にも何度もなされていたが、ほとんど無視されていた。）^{[ 20 ]： 11}したがって、少なくとも高エネルギー相互作用においては、QCDにおける結合定数は摂動級数展開を正当化するのに十分なほど小さくなり、強い相互作用の定量的予測が可能になる。^{[ 3 ]： 32}

これらの理論的ブレークスルーは、量子場理論のルネッサンスをもたらした。電弱理論と色力学を含む完全な理論は、今日では素粒子の標準模型と呼ばれている。 ^{[ 23 ]}標準模型は、重力を除くすべての基本的な相互作用をうまく説明しており、その多くの予測は、その後の数十年間で驚くべき実験的検証によって裏付けられてきた。^{[ 8 ] : 3}自発的対称性の破れのメカニズムの中心であるヒッグス粒子は、2012年にCERNでついに検出され、標準模型のすべての構成要素の存在が完全に検証された。^{[ 24 ]}

1970年代には、非可換ゲージ理論における非摂動法が発展した。't Hooft-Polyakovモノポールは't HooftとAlexander Polyakovによって理論的に発見され、フラックスチューブはHolger Bech NielsenとPoul Olesenによって、インスタントンはPolyakovと共著者によって発見された。これらの対象は摂動論ではアクセスできない。^{[ 8 ] : 4}

超対称性も同時期に登場した。4次元における最初の超対称量子場理論は、1970年にユーリ・ゴルフアントとエフゲニー・リヒトマンによって構築されたが、鉄のカーテンのために広く関心を集めることはできなかった。超対称性理論は、1973年のジュリアス・ウェスとブルーノ・ズミノの研究以降、理論コミュニティで本格的に普及したが、^{[ 8 ] : 7}実験的証拠が不足しているため、今日まで標準模型の一部として広く受け入れられていない。^{[ 25 ]}

4つの基本的な相互作用のうち、重力だけが一貫した量子場理論による記述を欠いている。量子重力理論への様々な試みは弦理論の開発につながった^{[ 8 ] : 6}それ自体は共形対称性を持つ2次元量子場理論の一種である^{[ 26 ]} 。ジョエル・シェルクとジョン・シュワルツは1974年に弦理論が重力の量子理論になり得ると初めて提唱した^{[ 27 ]。}

量子場理論は素粒子間の相互作用の研究から生まれたが、他の物理システム、特に凝縮系物理学における多体システムにも応用され、成功を収めている。

歴史的に、ヒッグス自発的対称性の破れのメカニズムは南部陽一郎による超伝導理論の素粒子への応用の結果であり、一方、繰り込みの概念は物質の二次相転移の研究から生まれた。 ^{[ 28 ]}

光子の導入後まもなく、アインシュタインは結晶の振動に量子化手順を適用し、最初の準粒子であるフォノンを生み出した。レフ・ランダウは、多くの凝縮系における低エネルギー励起は、一連の準粒子間の相互作用によって記述できると主張した。量子場理論のファインマン図法は、凝縮系における様々な現象の解析に自然と適していた。^{[ 29 ]}

ゲージ理論は、超伝導体における磁束の量子化、量子ホール効果における抵抗率、および交流ジョセフソン効果における周波数と電圧の関係を記述するために使用されます。^{[ 29 ]}

古典場は空間座標と時間座標の関数である。 ^{[ 30 ]}例としては、ニュートン重力における重力場g ( x , t )や、古典電磁気学における電場E ( x , t )および磁場B ( x , t )などがある。古典場は、時間とともに変化する空間のすべての点に割り当てられる数値量と​​考えることができる。したがって、無限の自由度を持つ。^{[ 30 ] [ 31 ]}

量子力学的性質を示す多くの現象は、古典的な場だけでは説明できません。光電効果のような現象は、空間的に連続した場ではなく、離散的な粒子（光子）によって最もよく説明されます。量子場理論の目標は、場の概念を修正して、様々な量子力学的現象を記述することです。

正準量子化と経路積分は、QFT の 2 つの一般的な定式化です。^{[ 32 ] : 61} QFT の基礎を動機付けるために、古典場理論の概要を以下に示します。

最も単純な古典場は実スカラー場、つまり空間のあらゆる点で実数であり、時間とともに変化する場です。これはϕ ( x , t )と表記され、xは位置ベクトル、tは時間です。場のラグランジアンを次のように仮定します。${\displaystyle L}$、 は $${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}$$ どこ$\displaystyle {\mathcal {L}}}$はラグランジュ密度であり、${\displaystyle {\dot {\phi }}}$は場の時間微分、∇は勾配演算子、mは実数パラメータ（場の「質量」）です。オイラー・ラグランジュ方程式をラグランジアンに適用すると、次のようになります。 ^{[ 1 ]： 16}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$$場の 運動方程式 を導出すると、場が時間と空間の中でどのように変化するかが記述される。$$\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}$$ これはクライン・ゴルドン方程式として知られている。^{[ 1 ]： 17}

クライン・ゴルドン方程式は波動方程式であるため、その解は（フーリエ変換によって得られる）基準モードの和として次のように表すことができます。 $${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}$$ ここで、aは複素数（慣例により正規化されている）、*は複素共役を表し、ωp_は基準モードの周波数である。 $${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$$ したがって、単一のpに対応する各正規モードは_、周波数ωpを持つ古典的な調和振動子と見なすことができる。^{[ 1 ]： 21,26}

上記の古典場を量子演算子場に量子化する手順は、古典調和振動子を量子調和振動子に昇格させることと類似している。

古典的な調和振動子の変位は次のように記述される。 $${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}$$ ここで、 aは複素数（慣例により正規化されている）、ωは振動子の周波数である。なお、xは単振動する粒子の平衡位置からの変位であり、量子場の空間ラベルxとは混同しないように注意されたい。

量子調和振動子の場合、x ( t )は線形演算子に昇格される。$\displaystyle {\hat {x}}(t)}$: $${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}$$ 複素数aとa ^*は消滅演算子に置き換えられます${\displaystyle {\hat {a}}}$および生成演算子$\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$それぞれ、†はエルミート共役を表す。両者の 交換関係は$$\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$$ 単純調和振動子のハミルトニアンは次のように書ける。 $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$$ 真空状態${\displaystyle |0\rangle }$最低エネルギー状態である は、次のように定義されます。 $$\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$$ そしてエネルギーがある${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$ 簡単に確認できる${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },}$これはつまり$\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$単純調和振動子のエネルギーを増加させる${\displaystyle \hbar \omega }$例えば、州$\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle }$エネルギーの固有状態である${\displaystyle 3\hbar \omega /2}$単一の調和振動子の任意のエネルギー固有状態は、以下から得ることができます。${\displaystyle |0\rangle }$生成演算子を連続的に適用することによって$\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$: ^{[ 1 ] : 20}システムの任意の状態は、状態の線形結合として表現できます $${\displaystyle |n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .}$$

同様の手順は、実スカラー場ϕを量子場演算子に昇格させることによって適用できる。${\displaystyle {\hat {\phi }}}$消滅演算子$\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}$生成演算子$\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$角周波数${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }}$特定のpに対して現在: $${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}$$ それらの交換関係は次のとおりです。^{[ 1 ] : 21}$${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,}$$ ここでδはディラックのデルタ関数である。真空状態${\displaystyle |0\rangle }$定義される $${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$$ 場の任意の量子状態は以下から得られる。${\displaystyle |0\rangle }$生成演算子を順次適用することによって${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$（またはそのような状態の線形結合による）、例^{[ 1 ]： 22}$${\displaystyle \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .}$$

単一の量子調和振動子の状態空間には、振動する1つの粒子のすべての離散エネルギー状態が含まれるのに対し、量子場の状態空間には、任意の数の粒子の離散エネルギー準位が含まれる。後者の空間はフォック空間として知られており、相対論的量子系では粒子数が固定されていないという事実を説明できる。^{[ 33 ]}単一の粒子ではなく任意の数の粒子を量子化するプロセスは、しばしば第二量子化とも呼ばれる。^{[ 1 ] : 19}

上記の手順は非相対論的量子力学の直接的な応用であり、（複素）スカラー場、ディラック場、^{[ 1 ] : 52}ベクトル場（例えば電磁場）、さらには弦^{[ 34 ]}の量子化に使用できます。ただし、生成消滅演算子は、相互作用を含まない最も単純な理論（いわゆる自由理論）でのみ明確に定義されます。実スカラー場の場合、これらの演算子の存在は、古典的な運動方程式の解を正規モードの和に分解した結果でした。現実的な相互作用理論で計算を実行するには、摂動論が必要になります。

自然界のあらゆる量子場のラグランジアンには、自由理論の項に加えて相互作用項が含まれる。例えば、実スカラー場のラグランジアンには4次相互作用項を導入することができる。 ^{[ 1 ]： 77}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$$ ここでμは時空指数であり、${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$など。アインシュタイン記法に従い、添え字μに関する総和は省略されている。パラメータλが十分に小さい場合、上記のラグランジアンで記述される相互作用理論は、自由理論からの小さな摂動とみなすことができる。

QFTの経路積分定式化は、演算子や状態空間の確立ではなく、特定の相互作用過程の散乱振幅の直接計算に関係しています。システムが何らかの初期状態から進化する確率振幅を計算するために、${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$時刻t = 0からある最終状態へ${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$t = Tにおいて、全時間TはN 個の小さな区間に分割される。全体の振幅は、各区間内の時間発展の振幅をすべての中間状態にわたって積分したものとなる。Hをハミルトニアン（すなわち時間発展の生成子）とすると、 ^{[ 32 ] : 10}$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$$N → ∞ の 極限を取ると、上記の積分はファインマン経路積分になります。^{[ 1 ] : 282 [ 32 ] : 12}$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$$ ここで、Lは空間座標と時間座標に関するϕとその導関数を含むラグランジアンであり、ハミルトニアンHからルジャンドル変換によって得られる。経路積分の初期条件と最終条件はそれぞれ次のとおりである。 $${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$$ 言い換えれば、全体の振幅は、初期状態と最終状態の間のあらゆる可能な経路の振幅の合計であり、経路の振幅は被積分関数の指数関数によって与えられる。

計算では、次のような式によく遭遇します。$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$$それぞれ自由理論または相互作用理論において。ここで、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$位置4ベクトル、${\displaystyle T}$は、オペランドをシャッフルして時間コンポーネントを${\displaystyle x^{0}}$そして${\displaystyle y^{0}}$右から左へ増加し、${\displaystyle |\Omega \rangle }$は相互作用理論の基底状態（真空状態）であり、自由基底状態とは異なる。${\displaystyle |0\rangle }$この式は、場がyからxへ伝播する確率振幅を表し、2点伝播関数、2点相関関数、2点グリーン関数、または単に2点関数など、複数の名称で呼ばれています。^{[ 1 ] : 82}

自由2点関数（ファインマン伝播関数とも呼ばれる）は、実スカラー場に対して正準量子化または経路積分によって^{[ 1 ] : 31,288 [ 32 ] : 23}のように求められる。$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$$ 相互作用理論では、ラグランジアンまたはハミルトニアンに項が含まれる。${\displaystyle L_{I}(t)}$または${\displaystyle H_{I}(t)}$相互作用を記述する2点関数は、定義がより困難である。しかし、正準量子化定式化と経路積分定式化の両方を通して、自由2点関数の無限摂動級数によって表現することが可能である。

正準量子化では、2点相関関数は次のように表される。^{[ 1 ]： 87}$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}$$ ここで、 εは無限小数であり、ϕ _Iは自由理論における場演算子である。ここで、指数関数はべき級数展開として理解されるべきである。例えば、${\displaystyle \phi ^{4}}$理論上、ハミルトニアンの相互作用項は${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$, ^{[ 1 ] : 84}および 2 点相関関数の展開${\displaystyle \lambda }$になる$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}$$この摂動展開は、相互作用する2点関数を量で表す。${\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }$自由理論において評価されるもの。

経路積分定式化では、2点相関関数は次のように記述できる^{[ 1 ]： 284}$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$$ どこ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$はラグランジュ密度です。前の段落と同様に、指数関数はλの級数として展開でき、相互作用する2点関数を自由理論の量に還元できます。

ウィックの定理は、自由理論における任意のn点相関関数を、2 点相関関数の積の和にさらに還元します。例えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$$ 相互作用相関​​関数は自由相関関数で表現できるため、（摂動）相互作用理論におけるすべての物理量を計算するには、後者のみを評価すればよい。^{[ 1 ]： 90}これにより、ファインマン伝播関数は量子場理論において最も重要な量の1つとなる。

相互作用理論における相関関数は摂動級数として表すことができる。級数の各項は自由理論におけるファインマン伝播関数の積であり、ファインマン図によって視覚的に表現できる。例えば、ϕ ⁴理論 における 2 点相関関数のλ ^{1項は次のようになる。}$${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$$ ウィックの定理を適用すると、項の1つは次のようになります。 $${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}$$ この項は、ファインマン図から得ることができる。

。

図は以下で構成されています。

• 1つのエッジで接続され、ドットで表される外部頂点（ここではラベル付けされている）${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$)
• 4つの辺で接続され、点（ここではラベル付けされている）で表される内部頂点${\displaystyle z}$)
• 頂点同士を結ぶ辺は、線で表されます。

各頂点は単一の${\displaystyle \phi }$は時空内の対応する点における場因子を表し、端は時空点間の伝播関数に対応する。図に対応する摂動級数の項は、いわゆるファインマン規則から導かれる式を書き下すことによって得られる。

1. すべての内部頂点について${\displaystyle z_{i}}$因数を書き出す${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$。
2. 2 つの頂点を結ぶすべての辺について${\displaystyle z_{i}}$そして${\displaystyle z_{j}}$因数を書き出す${\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}$。
3. 図の対称係数で割ります。

対称性因子${\displaystyle 2}$これらの規則に従うと、まさに上記の式が得られます。伝播関数をフーリエ変換することにより、ファインマン規則を位置空間から運動量空間に再定式化することができます。^{[ 1 ]： 91-94}

n点相関関数をk次まで計算するには、 n 個の外部点とk個以下の頂点を持つ有効なファインマン図をすべてリストし、ファインマン規則を使用して各項の式を取得します。正確には、 $${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$$これは、 n個の外部点 を持つすべての連結図（に対応する式）の合計に等しい。（連結図とは、すべての頂点が線によって外部点に接続されている図のことである。外部線から完全に切り離された要素は、「真空バブル」と呼ばれることもある。）上述のϕ4相互作用理論では、すべての頂点^は4本の脚を持たなければならない。^{[ 1 ]： 98}

現実的な応用においては、特定の相互作用の散乱振幅や粒子の崩壊率はS行列から計算することができ、S行列自体はファインマン図法を用いて求めることができる。^{[ 1 ]： 102-115}

「ループ」のないファインマン図はツリーレベル図と呼ばれ、最低次の相互作用過程を記述します。n個のループを含むファインマン図はnループ図と呼ばれ、相互作用への高次の寄与、すなわち放射補正を記述します。^{[ 32 ]： 44}終点が頂点である線は、仮想粒子の伝播と考えることができます。^{[ 1 ]： 31}

ファインマン規則は、ツリーレベルの図を直接評価するために使用できます。しかし、上記のようなループ図を単純に計算すると、運動量積分が発散し、摂動展開のほとんどすべての項が無限大になることを示唆しているように見えます。繰り込み手順は、このような無限大を取り除くための体系的なプロセスです。

ラグランジアンに現れるパラメータ、例えば質量mや結合定数λなどは、物理的な意味を持ちません。m 、λ、および場強度ϕ は実験的に測定可能な量ではなく、ここではそれぞれ裸の質量、裸の結合定数、および裸の場と呼ばれます。物理的な質量と結合定数は、何らかの相互作用過程で測定され、一般に裸の量とは異なります。この相互作用過程から物理量を計算する際に、発散する運動量積分の範囲をある運動量カットオフΛ以下に制限し、物理量の式を得てから、 Λ → ∞ の極限を取ることができます。これは、量子場理論における発散を扱うための手法である正則化の一例であり、Λは正則化因子です。

上記のアプローチは、質量や結合定数などの基本的な量のみを用いて計算を行うため、裸摂動理論と呼ばれます。一方、物理的に意味のある量を最初から用いる、再規格化摂動理論と呼ばれる別のアプローチもあります。ϕ 4理論の場合、^まず場の強度が再定義されます。 $${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$$ ここで、ϕは裸の場、ϕr_は繰り込み済みの場、Zは決定すべき定数である。ラグランジアン密度は次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$$ ここで、m _rおよびλ _rはそれぞれ実験的に測定可能な再規格化された質量および結合定数であり、 $${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$$ は決定すべき定数である。最初の3項は、再規格化された量で表されたϕ ⁴ラグランジアン密度であり、後の3項は「カウンターターム」と呼ばれる。ラグランジアンに多くの項が含まれるようになったため、ファインマン図にはそれぞれ独自のファインマン規則を持つ追加の要素が含まれる必要がある。手順の概要は次のとおりである。まず、正則化スキーム（上記で紹介したカットオフ正則化や次元正則化など）を選択し、それをΛと呼ぶ。発散項がΛに依存するファインマン図を計算する。次に、極限Λ → ∞をとったときに、カウンタータームのファインマン図が通常のファインマン図の発散項と完全に相殺されるように、 δ _Z、δ _m、およびδ _λを定義する。このようにして、意味のある有限量が得られる。^{[ 1 ] : 323–326}

繰り込み可能な理論では、すべての無限大を消去して有限の結果を得ることしかできませんが、繰り込み不可能な理論では、少数のパラメータを再定義しても無限大を取り除くことはできません。素粒子の標準模型は繰り込み可能な量子場理論（QFT）であり、 ^{[ 1 ] : 719–727}ですが、量子重力は繰り込み不可能です。^{[ 1 ] : 798 [ 32 ] : 421}

前述の節で概説した量子化と繰り込みの手順は、実スカラー場の自由理論とϕ4理論に対して実行されます^。同様のプロセスは、複素スカラー場、ベクトル場、ディラック場などの他の種類の場、および電磁相互作用や湯川相互作用などの他の種類の相互作用項に対しても実行できます。

例えば、量子電磁力学には、電子場を表すディラック場ψと、電磁場（光子場）を表すベクトル場Aμ^が含まれます。（その名称にもかかわらず、量子電磁「場」は実際には古典的な電場や磁場ではなく、古典的な電磁四元ポテンシャルに対応します。）完全なQEDラグランジアン密度は次のようになります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$ ここで、^γμはディラック行列である。${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$、 そして${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$は電磁場強度である。この理論におけるパラメータは、（裸の）電子質量mと（裸の）素電荷eである。ラグランジアン密度の第 1 項と第 2 項は、それぞれ自由ディラック場と自由ベクトル場に対応する。最後の項は、電子場と光子場の相互作用を表しており、これは自由理論からの摂動として扱われる。^{[ 1 ] : 78}

上に示したのは、QEDにおけるツリーレベルのファインマン図の一例です。これは、電子と陽電子が対消滅してオフシェル光子を生成し、その後、新たな電子と陽電子のペアに崩壊する様子を表しています。時間は左から右に流れます。時間的に前方を指す矢印は電子の伝播を表し、時間的に後方を指す矢印は陽電子の伝播を表します。波線は光子の伝播を表します。QEDファインマン図の各頂点には、入射および出射するフェルミオン（陽電子/電子）の脚と光子の脚がなければなりません。

摂動論を用いると、小さな相互作用項の全体的な効果は、相互作用に関与する仮想粒子の数に関する級数展開によって次数ごとに近似できる。展開の各項は、（物理的な）粒子が仮想粒子を介して互いに相互作用する可能性のある方法の 1 つとして理解でき、ファインマン図を用いて視覚的に表現できる。QEDにおける 2 つの電子間の電磁力は、（摂動論の 1 次まで）仮想光子の伝播によって表される。同様に、W ボソンと Z ボソンは弱い相互作用を担い、グルーオンは強い相互作用を担う。相互作用をさまざまな仮想粒子の交換を含む中間状態の和として解釈することは、摂動論の枠組みでのみ意味を持つ。対照的に、QFT の非摂動法は、相互作用するラグランジアンを級数展開なしで全体として扱う。相互作用を担う粒子の代わりに、これらの方法は、't Hooft–Polyakov モノポール、ドメイン ウォール、フラックス チューブ、インスタントンなどの概念を生み出した。^{[ 8 ]}摂動的に完全に解ける QFT の例としては、共形場理論の最小モデル^{[ 52 ]}やThirring モデル^{[ 53 ]}などがある。