分野（物理学）

科学において、場または場量^{[ 1 ]}は、空間と時間の各点に対して値を持つ物理量（スカラー、ベクトル、スピノル、またはテンソルで表される）である^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。}スカラー場の例としては、地図上の各点に数値を割り当てることで記述される地表温度の天気図がある。風速と風向を記述する矢印を地図上の各点に割り当てる地表風の地図^{[ 5 ]}は、ベクトル場の例である。応力によって引き起こされる物質の変形を表す歪みテンソルは、テンソル場の例である。 場の理論、つまり場の値が空間と時間でどのように変化するかを数学的に記述したものは、物理学において遍在している。例えば、電場は別のベクトル場であり、電気力学は、時空の各点における相互作用する2つのベクトル場、または単一のランク2テンソル場として定式化することができる。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

量子場理論の現代的な枠組みでは、試験粒子を参照しなくても、場は空間を占め、エネルギーを含み、その存在によって古典的な「真の真空」は存在し得ません。^{[ 9 ]}このため、物理学者は電磁場を物理的な実体とみなすようになり、場の概念は現代物理学の体系を支えるパラダイムとなっています。リチャード・ファインマンは、「電磁場が運動量とエネルギーを持つことができるという事実は、それを非常に現実的なものにし、[...]粒子が場を作り、場が別の粒子に作用し、場は粒子が持つことができるのと同様に、エネルギー含有量や運動量といった馴染みのある性質を持っています。」と述べています。 ^{[ 10 ]}実際には、ほとんどの場の強さは距離とともに減少し、最終的には検出できなくなります。たとえば、ニュートンの重力理論における重力場や古典電磁気学における静電場など、多くの関連する古典場の強さは、発生源からの距離の二乗に反比例します（つまり、ガウスの法則に従います）。

場は、定義される場所に関係なく一貫したテンソルランク特性を持ちます。つまり、場はある場所ではスカラー場であり、別の場所ではベクトル場であるということはあり得ません。例えば、ニュートン重力場はベクトル場です。時空のある点でその値を指定するには、その点における重力場ベクトルの成分である3つの数値が必要です。さらに、各カテゴリ（スカラー、ベクトル、テンソル）内では、場は、それぞれ数値または量子演算子によって特徴付けられるかどうかに応じて、古典場または量子場のいずれかになります。この理論では、場の等価表現は場粒子であり、例えばボソンです。^{[ 11 ]}

アイザック・ニュートンにとって、万有引力の法則は、質量のある物体同士の間に働く重力を単純に表したものでした。太陽系の惑星のように、互いに相互作用する多数の物体の運動を考えると、それぞれの物体間の力を個別に扱うことは、計算上すぐに不便になります。18世紀には、これらの重力の記録を簡略化するために、新しい量が考案されました。この量、すなわち重力場は、空間のあらゆる点において、その点にある小さな物体が感じるであろう総重力加速度を表します。これは物理学を何ら変えるものではありませんでした。物体に働くすべての重力を個別に計算してから合計するか、すべての寄与をまず重力場として合計してから物体に適用するかは、問題ではありませんでした。^{[ 12 ]}光学における、光の反射と屈折は表面全体にわたる相互作用から生じるという彼の考えは、おそらく電気力の場理論の始まりと言えるだろう。^{[ 13 ]}

場の独立した概念の発展は、19世紀に電磁気学の理論が発展したことで本格的に始まった。初期の段階では、アンドレ＝マリー・アンペールとシャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは、電荷のペアまたは電流間の力を表すニュートン式の法則で対処することができた。しかし、場のアプローチを採用し、これらの法則を電場と磁場の観点から表現する方がはるかに自然になった。1845年にマイケル・ファラデーが「磁場」という用語を初めて造語した。^{[ 14 ]}そして、1851年にケルビン卿が場の正式な定義を与えた。^{[ 15 ]}

場の独立性は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、これらの場における電磁波と呼ばれる波が有限の速度で伝播することを発見したことで、より明確になった。その結果、電荷や電流に働く力は、もはや同時期の他の電荷や電流の位置や速度だけでなく、過去の位置や速度にも依存するようになった。^{[ 12 ]}

マクスウェルは当初、場を独立して存在できる基本的な量として捉える現代的な概念を採用しませんでした。代わりに、電磁場はゴム膜の張力のように、何らかの基底媒体、すなわち光を伝えるエーテルの変形を表していると想定しました。もしそうであれば、観測される電磁波の速度は、観測者のエーテルに対する速度に依存するはずです。多くの努力にもかかわらず、そのような効果の実験的証拠は見つかりませんでした。この状況は、 1905年にアルバート・アインシュタインが特殊相対性理論を導入したことで解決されました。この理論は、運動する観測者の視点の関係性を変えました。マクスウェルの理論における電磁波の速度がすべての観測者にとって同じになるように、それらの視点は互いに関係づけられるようになりました。背景媒体の必要性をなくすことで、この発展は物理学者が場を真に独立した実体として考える道を開きました。^{[ 12 ]}

1920年代後半、量子力学の新しい法則が初めて電磁場に適用されました。1927年、ポール・ディラックは量子場を用いて、原子がより低い量子状態に崩壊すると、電磁場の量子である光子が自発的に放出されることをうまく説明しました。これに続いて、（パスカル・ジョルダン、ユージン・ウィグナー、ヴェルナー・ハイゼンベルク、ヴォルフガング・パウリの研究に続いて）電子や陽子を含むすべての粒子は、何らかの量子場の量子として理解できることが認識され、場は自然界で最も基本的な対象としての地位にまで高められました。^{[ 12 ]}とはいえ、ジョン・ホイーラーとリチャード・ファインマンは、ニュートンの場の概念以前の遠隔作用の概念を真剣に検討しました（ただし、一般相対性理論と量子電磁力学の研究において場の概念が引き続き有用であったため、それを脇に置きました）。

古典場の例は数多く存在する。古典場理論は、量子特性が現れないあらゆる場面で有用であり、活発な研究分野となり得る。物質の弾性、流体力学、マクスウェル方程式などがその好例である。

最も単純な物理場の一つに、ベクトル力場がある。歴史的に見て、場が真剣に扱われるようになったのは、ファラデーが電場を記述する際に用いた力線が最初である。その後、重力場も同様に記述された。

ニュートン重力

重力を記述する古典的な場の理論はニュートン重力であり、これは重力を2つの質量間の相互作用として記述する。

質量Mを持つ物体は、他の質量を持つ物体に及ぼす影響を表す重力場gと関連付けられています。空間内の点rにおけるMの重力場は、 rに位置する小さなまたは無視できるテスト質量mにMが及ぼす力Fとテスト質量自体の比に対応します。 ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

mがMよりもはるかに小さいと規定することで、mの存在がMの挙動に及ぼす影響が無視できる程度であることが保証される。

ニュートンの万有引力の法則によれば、F ( r )は^{[ 16 ]}で与えられる。

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

どこ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$は、 Mとmを結ぶ線上にあり、 Mからmに向かう単位ベクトルです。したがって、 Mの重力場は^{[ 16 ]}です。

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}。$

慣性質量と重力質量が前例のない精度で等しいという実験的観測結果は、重力場の強さが粒子が受ける加速度と同一であるという等式を導き出す。これが等価原理の出発点であり、一般相対性理論へと繋がる。

重力Fは保存力であるため、重力場gはスカラー関数の勾配、すなわち重力ポテンシャルΦ( r )を用いて次のように書き換えることができる。

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )。}$

電磁気

マイケル・ファラデーは、磁気の研究を通して、場が物理量として重要であることを初めて認識した。彼は、電場と磁場は粒子の運動を決定づける力場であるだけでなく、エネルギーを運ぶという独立した物理的実体でもあることを理解した。

これらの考えは最終的に、ジェームズ・クラーク・マクスウェルによって、電磁場の方程式の導入を伴う物理学における最初の統一場理論の創設へとつながった。これらの方程式の現代版は、マクスウェル方程式と呼ばれている。

静電気学

電荷qを持つ帯電した試験粒子は、その電荷のみに基づく力Fを受けます。同様に、電場EをF = q Eと表すことができます。これとクーロンの法則を用いると、単一の帯電粒子による電場は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

電場は保存的であるため、スカラーポテンシャルV ( r ) で表すことができる。

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

静磁気学

経路ℓに沿って流れる定常電流Iは、電場Bを生成し、この電場Bは、近傍の運動する荷電粒子に、上述の電場力とは定量的に異なる力を及ぼします。速度vを持つ近傍の電荷qにIが及ぼす力は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

ここで、B ( r )は磁場であり、これはビオ・サバールの法則によってIから決定される。

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

磁場は一般に保存的ではないため、通常はスカラーポテンシャルで表すことはできません。しかし、ベクトルポテンシャルA ( r ) で表すことは可能です。

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

電気力学

一般に、電荷密度ρ( r , t )と電流密度J ( r , t )の両方が存在する場合、電場と磁場の両方が存在し、両方とも時間とともに変化します。これらは、EとBをρとJに直接関連付ける一連の微分方程式であるマクスウェル方程式によって決定されます。^{[ 19 ]}

あるいは、システムをスカラーポテンシャルVとベクトルポテンシャルAで記述することもできます。遅延ポテンシャルとして知られる一連の積分方程式により、ρ とJからVとAを計算することができ、^{[注 1 ]そこから、関係式[ 20 ]}を介して電場と磁場が決定されます。

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

$\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

19世紀末には、電磁場は空間における2つのベクトル場の集合として理解されていた。今日では、これは時空における単一の反対称2階テンソル場として認識されている。

一般相対性理論における重力

アインシュタインの重力理論、すなわち一般相対性理論は、場の理論のもう一つの例である。ここで主要な場は計量テンソルであり、これは時空における対称な2階テンソル場である。これはニュートンの万有引力の法則に取って代わるものである。

現在では、すべての物理現象の根底には量子力学があると考えられており、そのため、少なくとも原理的には、古典場理論は量子力学的な用語で書き換えられるはずであり、成功すれば対応する量子場理論が得られる。例えば、古典電磁気学を量子化すると量子電磁気学が得られる。量子電磁気学は、おそらく最も成功した科学理論であり、実験データは、他のどの理論よりも高い精度（より多くの有効桁数）でその予測を裏付けている。 ^{[ 23 ]} 他の2つの基本的な量子場理論は、量子色力学と電弱理論である。

量子色力学では、カラー場線はグルーオンによって短距離で結合され、グルーオンは場によって分極され、場と整列します。この効果は短距離（クォークの近傍から約 1 fm）で増大し、短距離でカラー力が増大し、クォークがハドロン内に閉じ込められます。場線はグルーオンによって強く引き寄せられるため、電荷間の電場ほど外側に「湾曲」しません。^{[ 24 ]}

これら3つの量子場理論はすべて、いわゆる素粒子物理学の標準模型の特殊な場合として導出できる。アインシュタインの重力場理論である一般相対性理論は、まだ量子化に成功していない。しかし、その拡張である熱場理論は、量子場理論ではほとんど考慮されない有限温度における量子場理論を扱う。

BRST理論では、ファデエフ・ポポフゴーストなどの奇数場を扱います。奇数古典場は、次数付き多様体と超多様体の両方で異なる記述が存在します。

古典場の場合と同様に、量子場についても、これまでと同様の手法を用いて純粋に数学的な観点からアプローチすることが可能です。量子場を支配する方程式は、実際には偏微分方程式（具体的には相対論的波動方程式（RWE））です。したがって、ヤン・ミルズ場、ディラック場、クライン・ゴルドン場、シュレーディンガー場は、それぞれの方程式の解であると言えます。考えられる問題点としては、これらのRWEは、特殊な代数的性質を持つ複雑な数学的対象（例えば、スピノルはテンソルではないため、スピノル場には微積分が必要になる場合がある）を扱う可能性があることですが、理論的には、適切な数学的一般化を行えば、これらも解析的手法で扱うことができます。

場理論とは、通常、場のダイナミクスの構築、すなわち、場が時間とともに、あるいは場が依存する他の独立した物理変数に関してどのように変化するかを規定することを指します。これは通常、場のラグランジアンまたはハミルトニアンを記述し、それを無限の自由度を持つ古典力学系または量子力学系として扱うことによって行われます。結果として得られる場理論は、古典場理論または量子場理論と呼ばれます。

古典場のダイナミクスは通常、場の成分に関するラグランジアン密度によって指定されます。ダイナミクスは作用原理を用いて得ることができます。

物理学の予備知識がなくても、多変数微積分、ポテンシャル理論、偏微分方程式（PDE）の数学のみを用いて、単純な場を構築することが可能です。例えば、スカラーPDEでは、波動方程式や流体力学における振幅、密度、圧力場、熱拡散方程式における温度/濃度場などを扱うことができます。物理学の枠外（例えば、放射測定やコンピュータグラフィックス）には、光場さえ存在します。これら前述の例はすべてスカラー場です。同様に、ベクトルについても、（応用数学）流体力学における変位、速度、渦度場にはベクトルPDEがありますが、ベクトル場（これら3つの量、および一般的にベクトルPDEのそれら）の微積分であるベクトル微積分が、さらに必要になる場合があります。より一般的には、連続体力学の問題には、例えば、方向性弾性（テンソルという用語は、ラテン語で「伸ばす」を意味する言葉に由来する）、複雑な流体流れ、異方性拡散などが含まれる可能性があり、これらは行列テンソル偏微分方程式として定式化され、行列またはテンソル場、すなわち行列計算またはテンソル計算を必要とする。スカラー（したがってベクトル、行列、テンソル）は、どちらも抽象代数的／環論的な意味での場であるため、実数または複素数になり得る。

一般的に、古典場はファイバー束の断面によって記述され、そのダイナミクスはジェット多様体（共変古典場理論）の観点から定式化される。^{[ 25 ]}

現代物理学において最も頻繁に研究されている分野は、いつの日か統一場理論につながる可能性のある4つの基本力をモデル化する分野である。

• 「場」。物理科学の原理。第 25巻（第15 版）。1994年。815ページ –ブリタニカ百科事典（マクロペディア）経由。
• ランダウ、レフ・D.およびリフシッツ、エフゲニー・M. (1971).古典体論（第3版）. ロンドン：パーガモン. ISBN 0-08-016019-0理論物理学講義第2巻
• Jepsen, Kathryn (2013年7月18日). 「本音を言うと：すべては場からできている」(PDF) . Symmetry Magazine . 2016年3月4日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2015年6月9日に取得。

• 粒子およびポリマー場理論