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球（古代ギリシャ語のσφαῖρα（sphaîra）「ボール」に由来）[ 1 ]は、円に類似した曲面である。立体幾何学では、球は3次元空間内の与えられた点からすべて同じ距離rにある点の集合である。[ 2 ]その与えられた点は球の中心であり、距離rは球の半径である。球に関する最も古い記述は、古代ギリシャの数学者の著作に見られる。
球は、数学の多くの分野における基本的な曲面です。球やほぼ球形の形状は、自然界や産業界にも見られます。石鹸の泡のような泡は、平衡状態では球形になります。地球は地理学においてしばしば球体として近似され、天球は天文学における重要な概念です。圧力容器やほとんどの曲面鏡、レンズなどの製造品は、球を基に作られています。球はどの方向にも滑らかに転がるため、スポーツや玩具に使われるボールのほとんどは球形であり、ボールベアリングも同様です。
前述のように、rは球の半径です。中心から球上の点までの線も半径と呼ばれます。「半径」は、線分としての意味と、その長さとしての意味の 2 つの意味で使用されます。[ 3 ]
半径を球の中心を通って反対側まで延長すると、直径ができます。半径と同様に、直径の長さも直径と呼ばれ、dで表されます。直径は、球上の 2 点間に引くことができる最長の線分です。その長さは半径の 2 倍で、d = 2 rです。直径で結ばれた球上の 2 点は、互いに対蹠点です。 [ 3 ]
単位球とは、半径が1（r = 1）の球のことです。便宜上、球の中心は座標系の原点にあるとみなされることが多く、本稿では特に中心が明記されていない限り、球の中心は原点にあるものとします。
球面上の大円は、球面と同じ中心と半径を持ち、球面を2つの等しい半球に 分割します。
地球の形状は完全な球形ではありませんが、地理学から借用した用語を球体に適用すると便利です。その中心を通る特定の線は軸（地球の自転軸など）を定義します。球体と軸の交点は、2つの対蹠極（北極と南極）を定義します。両極から等距離にある大円は赤道と呼ばれます。両極を通る大円は経線または子午線と呼ばれます。球体上の赤道に平行な小円は緯線（または平行線）です。天体とは関係のない幾何学では、誤解の可能性がまったくない場合を除き、地球中心の用語は説明のためにのみ使用され、その旨が明記されるべきです。[ 3 ]
数学者は、球を3次元ユークリッド空間に埋め込まれた2次元の閉曲面とみなします。彼らは球とボールを区別します。ボールは立体図形であり、球が包含する体積を含む境界を持つ3次元多様体です。開球は球自体を含まず、閉球は球を含みます。閉球は開球と球の和集合であり、球は（閉球または開球の）ボールの境界です。ボールと球の区別は常に維持されてきたわけではなく、特に古い数学文献では球を立体として扱っています。平面における「円」と「円盤」の区別も同様です。
小さな球体やボールは、球状体と呼ばれることもあります（例：火星の球状体）。
解析幾何学において、中心が( x 0 , y 0 , z 0 )で半径がrの球は、すべての点( x , y , z )の軌跡であり、
球は二次多項式で表すことができるため、二次曲面であり、代数曲面の一種である。[ 3 ]
a、b、c、d、eをa ≠ 0の実数とし、
すると方程式
解決策として本当のポイントはありませんそしてそれは、仮想球の方程式と呼ばれます。唯一の解決策は要点はそして、この方程式は点球の方程式であると言われている。最後に、次のケースでは、は中心がそしてその半径は[ 2 ]
上記の式でa がゼロの場合、 f ( x , y , z ) = 0は平面の方程式です。したがって、平面は、中心が無限遠点にある無限半径の球と考えることができます。[ 4 ]
半径を持つ球の媒介変数表示そして中央三角関数を用いてパラメータ化することができる。[ 5 ]
ここで使用されている記号は球面座標で使用されるものと同じです。rは定数ですが、θ は0 からπまで変化します。0から2πまで変化する。
3次元空間では、球の内部の体積（つまり、ボールの体積だが、古典的には球の体積と呼ばれる）は
ここで、rは球の半径、dは球の直径です。アルキメデスは、球の内部の体積が、球と、その球の外接円筒（高さと直径が球の直径に等しい）の間の体積の 2 倍であることを示すことによって、この公式を最初に導き出しました (紀元前 225 年頃の「球と円筒について」)。[ 6 ]これは、円錐を逆さまにして半球に内接させ、円錐の断面積と球の断面積の合計が外接円筒の断面積と同じであることに注目し、カヴァリエリの原理を適用することによって証明できます。[ 7 ]この式は、半径 r の球が原点を中心としていると仮定して、x軸に沿ってx = − rからx = rまで横に積み重ねられた無限に小さな厚さの円盤の体積を合計するために、積分計算(つまり、円盤積分)を使用しても導出できます。
ほとんどの場合、立方体に内接する球の内部の体積は、立方体の体積の 52.4% と近似できます。これは、V = π / 6 d 3という式で表され、dは球の直径であり、同時に立方体の一辺の長さでもあり、π / 6 ≈ 0.5236だからです。たとえば、直径 1 m の球は、一辺の長さが 1 m の立方体の体積の 52.4% 、つまり約 0.524 m 3になります。
半径rの球の表面積は次のとおりである。
アルキメデスは、外接円柱の側面への投影が面積保存であるという事実から、この公式を最初に導き出しました[ 9 ] 。 [ 10 ]この公式を得るための別のアプローチは、半径rの球の内部の総体積は、半径0から半径rまで互いに同心円状に積み重ねられた無限に多くの微小な厚さの球殻の表面積の合計と考えることができるため、体積の公式のrに関する導関数に等しいという事実に基づいています。微小な厚さでは、任意の球殻の内側と外側の表面積の差は微小であり、半径rの要素体積は、半径rの表面積と微小な厚さの積になります。
球は、与えられた体積を囲むすべての表面の中で表面積が最小であり、与えられた表面積を持つすべての閉じた表面の中で最大の体積を囲みます。[ 11 ]そのため、球は自然界に現れます。たとえば、泡や小さな水滴は、表面張力が局所的に表面積を最小化するため、ほぼ球形です。
ボールの質量に対する表面積は比表面積と呼ばれ、上記の式から次のように表すことができます。
ここでρは密度（質量と体積の比）である。
球は、円をその直径のいずれかを中心に半回転させてできる表面として構成できます。これは、ユークリッドの『原論』で示されている球の伝統的な定義と非常によく似ています。円は楕円の特殊なタイプなので、球は回転楕円体の特殊なタイプです。円を長軸を中心に回転させた楕円に置き換えると、形状は長球になり、短軸を中心に回転させると扁球になります。[ 12 ]
球は、同一平面上にない4つの点によって一意に決定されます。より一般的には、球は、ある点を通過する、平面に接するなどの4つの条件によって一意に決定されます。[ 13 ]この性質は、3つの非共線点が平面上の一意の円を決定するという性質と類似しています。
したがって、球は、円と、その円の平面上にない点とによって一意に決定される（つまり、その円を通過する）。
2 つの球の方程式の共通解を調べると、2 つの球は円で交わり、その円を含む平面は、交わる球の根基平面と呼ばれることがわかります。 [ 14 ]根基平面は実平面ですが、円は虚数（球に共通する実点がない）または一点（球がその点で接している）で構成される場合があります。[ 15 ]
2 つの球が実際に交わる点における角度は、その点における球の接平面によって決定される二面角です。2 つの球は、その交円のすべての点で同じ角度で交わります。 [ 16 ] 2 つの球が直角に交わる（直交する）のは、それらの中心間の距離の 2 乗が、それらの半径の 2 乗の和に等しい場合に限ります。[ 4 ]
f ( x , y , z ) = 0とg ( x , y , z ) = 0が2 つの異なる球の方程式である場合、
これは、パラメータsとtの任意の値に対する球の方程式でもあります。この方程式を満たすすべての球の集合は、元の 2 つの球によって決定される球の束と呼ばれます。この定義では、球は平面 (無限半径、中心は無限遠) であってもよく、元の球が両方とも平面であれば、束のすべての球は平面になります。そうでない場合は、束には 1 つの平面 (根基平面) しかありません。[ 4 ]
デイヴィッド・ヒルベルトとステファン・コーン＝フォッセンは著書『幾何学と想像力』の中で、球の11の性質について述べ、これらの性質が球を一意に決定するかどうかを論じている。[ 17 ]無限半径の球と考えることができる平面には、いくつかの性質が成り立つ。これらの性質は次のとおりである。
ユークリッド平面幾何学の基本要素は点と線です。球面上では、点は通常の意味で定義されます。「線」に相当するのは測地線、すなわち大円です。大円の特徴は、そのすべての点を含む平面が球の中心を通ることです。弧長で測定すると、球面上にある2点間の最短経路は、それらの点を含む大円の短い方の線分であることがわかります。
古典幾何学の多くの定理は球面幾何学にも当てはまりますが、球面は平行線公準を含む古典幾何学のいくつかの公準を満たさないため、すべて当てはまるわけではありません。球面三角法では、角度は大円の間で定義されます。球面三角法は、多くの点で通常の三角法とは異なります。たとえば、球面三角形の内角の和は常に 180 度を超えます。また、相似な2 つの球面三角形は合同です。
球面上の中心（すなわち直径）を通る直線上にある2つの点の組は、対蹠点と呼ばれます。球面上では、これらの点間の距離は円周のちょうど半分になります。[注2 ]球面上のその他の（つまり対蹠点ではない）異なる点の組は、
球面幾何学は楕円幾何学の一種であり、双曲幾何学とともに非ユークリッド幾何学を構成する。
球は、各点で 1/r² に等しい一定のガウス曲率を持つ滑らかな表面です。 [ 9 ]ガウスの驚異の定理によれば、この曲率は球が 3 次元空間に埋め込まれているかどうかに依存しません。また、ガウスによれば、球は面積と角度の両方を維持しながら平面にマッピングすることはできません。したがって、いかなる地図投影も何らかの形の歪みをもたらします。
半径rの球の面積要素はこれは、 rを一定に保った球面座標における体積要素から求めることができる。 [ 9 ]
この式は、ある点における位置ベクトルと接平面が常に互いに直交することを示しています。さらに、外向きの法線ベクトルは、位置ベクトルを1/rでスケーリングしたものに等しくなります。
驚くべきことに、通常の球体を三次元空間内で、自己交差を起こしながらも折り目をつけずに裏返すことが可能であり、このプロセスは球体反転と呼ばれる。
球面上の円は、平面上の円と同様に、球面上の固定点から一定の距離にあるすべての点から構成されます。球面と平面の交点は、円、点、または空です。[ 18 ]大円は、球面の中心を通る平面と球面との交点です。その他の円は小円と呼ばれます。
より複雑な曲面も、球と円で交わる場合があります。球の中心を含む軸を持つ回転面（同軸）と球との交線は、空でない限り、円や点、あるいはその両方で構成されます。例えば、右の図は球と円柱の交線を示しており、これは2つの円で構成されています。円柱の半径が球の半径と同じであれば、交線は1つの円になります。円柱の半径が球の半径よりも大きい場合、交線は空になります。
航海において、等角航路または航跡線とは、その接線と真北との間の角度である方位が一定である航路のことである。等角航路はメルカトル図法では直線に投影される。南北にまっすぐな経線と東西にまっすぐな緯線という2つの特殊なケースがある。その他の方位については、等角航路は各極の周りを無限に螺旋状に回る。地球を球体としてモデル化した場合、または球面座標系を与えられた一般的な球体の場合、このような等角航路は一種の球面螺旋となる。[ 19 ]
もう1つの球面螺旋はクレリア曲線で、その経度（または方位角）はそして余緯度（または極角）線形関係にある、クレリア曲線は正距円筒図法の下で直線に投影される。ヴィヴィアーニ曲線（ ) は特殊なケースです。Clelia 曲線は極軌道上の衛星の地上軌道を近似します。
球面上の円錐曲線に相当するものは球面円錐曲線であり、これはいくつかの同等な方法で定義できる4次曲線である。
平面円錐曲線に関する多くの定理は、球面円錐曲線にも拡張できる。
球が別の表面と交差する場合、より複雑な球面曲線が生じる可能性がある。
球と方程式の交点そして方程式のシリンダーそれは単に1つか2つの円ではありません。それは非線形方程式系の解です。
（陰関数曲線と図を参照）
楕円体とは、球面を一方向または複数方向に引き伸ばしたり圧縮したりした図形です。より正確には、アフィン変換によって球面を変換した像です。楕円体と球面の関係は、楕円と円の関係と同じです。
球面は任意の次元の空間に一般化できます。任意の自然数nに対して、n次元球面（しばしばS nと表記される）は、( n + 1 ) 次元ユークリッド空間において、その空間の中心点から一定の距離rにある点の集合です。ここで、rは前述のとおり正の実数です。具体的には、次のようになります。
n > 2 の球は、ハイパースフィアと呼ばれることもあります。
原点を中心とする単位半径のn次元球面はS nと表記され、しばしば「 n次元球面」と呼ばれます。通常の球面は2次元球面であり、3次元空間に埋め込まれた2次元表面です。
位相幾何学において、n次元球面は境界を持たないコンパクトな位相多様体の一例である。位相球面は滑らかである必要はなく、滑らかであるとしても、ユークリッド球面と微分同相である必要はない（異質な球面）。
球は連続関数‖ x ‖による一点集合の逆像であるため、閉集合です。また、 S n は有界であるため、ハイネ・ボレル定理によりコンパクトです。
より一般的には、距離空間( E , d )において、中心xで半径r > 0の球は、d ( x , y ) = rとなる点yの集合である。
中心がノルム空間のようにEの原点とみなされる特別な点である場合、定義や表記にはその点は記載されません。単位球の場合のように半径が1に等しいとみなされる場合も同様です。
ボールとは異なり、大きな球体でも空集合になることがあります。例えば、ユークリッド距離を持つZ nでは、半径rの球体は、r 2 がn個の整数の平方の和として表せる場合にのみ空集合ではありません。
タクシー幾何学では正八面体は球体であり、チェビシェフ距離を用いた幾何学では立方体は球体である。
球の幾何学はギリシャ人によって研究された。ユークリッドの『原論』では、第 11 巻で球を定義し、第 12 巻で球のさまざまな性質について論じ、第 13 巻で 5 つの正多面体を球内に内接させる方法を示している。ユークリッドは球の表面積と体積は含めておらず、球の体積は直径の 3 乗に比例するという定理のみを記している。これはおそらくクニドスのエウドクソスによるものと思われる。体積と表面積の公式は、アルキメデスの『球と円柱について』で、攀出法によって初めて決定された。ゼノドロスは、与えられた表面積に対して、球が最大の体積を持つ立体であると最初に述べた。[ 3 ]
アルキメデスは、球を体積が一定の比率になるセグメントに分割する問題について書いたが、解決はしなかった。放物線と双曲線を用いた解決策はディオニュソドロスによって与えられた。[ 20 ]同様の問題、つまり、与えられたセグメントと体積が等しく、別のセグメントと表面積が等しいセグメントを構成する問題は、後にアル・クヒによって解決された。[ 3 ]
{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）さらに重要なことに、ウィトルウィウス（『建築論』9.8）は円錐形の日時計をディオニュソドロス（紀元前2世紀初頭）と関連付けており、アスカロンのエウトキオス（紀元480年頃～540年）によれば、ディオニュソドロスは円錐曲線を用いて、球を平面で切断して得られる体積の比率が与えられた比率と同じになるようにするというアルキメデスの問題の解決策を完成させた。