球状

回転楕円体の赤道周長は、その赤道に沿って測定され、次のように表されます。

${\displaystyle C_{\text{e}}=2\pi a}$

回転楕円体の経度または極周は、その極を通るように測定され、次のように表されます。 $${\displaystyle C_{\text{p}}\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$回転楕円体の体積円周は、その回転楕円体と同じ体積を持つ球の円周であり、次のように表されます。

${\displaystyle C_{\text{v}}=2{\sqrt[{3}]{a^{2}c}}}$

c < aの扁平回転楕円体の表面積は

${\displaystyle S_{\text{o}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e_{o}^{2}}{e_{o}}}\operatorname {arctanh} e_{o}\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e_{o}}}\ln \left({\frac {1+e_{o}}{1-e_{o}}}\right)}$

どこ${\displaystyle e_{o}^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$c > a の長球の表面積は

${\displaystyle S_{\text{p}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae_{p}}}\arcsin \,e_{p}\right)}$

どこ${\displaystyle e_{p}^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$ どちらの場合も、e _oとe _{p は}離心率として識別できます(楕円を参照)。^{[ 2 ] [ 3 ]}

これらの式は、 S _oの式を用いて長球の表面積を計算でき、またその逆も可能であるという意味で同一である。ただし、 e _oは虚数となり、離心率と直接同一視することはできなくなる。これらの結果は、楕円のパラメータ間の標準的な数学的恒等式と関係を用いて、他の多くの形式に変換することができる。

球体（どのような種類でも）の内部体積は

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

A = 2 aが赤道直径、C = 2 cが極直径の場合、体積は

${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

回転楕円体を次のようにパラメータ化する。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

ここで、βは縮約緯度またはパラメトリック緯度、λは経度であり、それぞれ−π/2 < β < + π / 2および−π < λ < + πの範囲を持つ。すると、回転楕円体のガウス曲率は次のようになる。

${\displaystyle K(\beta )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

そしてその平均曲率は

${\displaystyle H(\beta )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

これらの曲率はどちらも緯度のみの関数であり、常に正の値をとるため、回転楕円体上のすべての点は楕円形となる。

扁平回転楕円体の縦横比c :  aは極線の長さと赤道線の長さの比であり、扁平率(扁平度とも呼ばれる) fは赤道線と極線の長さの差と赤道線の長さの比である。

${\displaystyle f={\frac {ac}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

最初の偏心率（通常は上記のように単に偏心率と呼ばれる）は、扁平率の代わりによく用いられる。^{[ 4 ]}これは次のように定義される。

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

偏心率と扁平率の関係は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

現代の測地楕円体はすべて、長半径に短半径（アスペクト比を表す）、扁平率、または第一離心率のいずれかを加えた値で定義されます。これらの定義は数学的には互換性がありますが、実際の計算では精度が多少失われます。混乱を避けるため、楕円体の定義では、その定義で示される値が正確であるとみなされます。

扁平楕円体は、地球、土星、木星、高速回転する恒星アルタイルなど、自転する惑星やその他の天体のおおよその形状です。土星は太陽系で最も扁平な惑星で、扁平率は0.09796です。^{[ 5 ]}詳細については、惑星の扁平率と赤道膨らみを参照してください。

啓蒙時代の科学者アイザック・ニュートンは、ジャン・リシェの振り子実験とクリスティアーン・ホイヘンスの理論に基づいて、木星と地球は遠心力によって扁平な球体であると推論した。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}地球の多様な地図作成システムと測地システムは、すべて扁平な楕円体である基準楕円体に基づいている。

長球は、アメリカンフットボールやラグビーで使用されるボールのおおよその形状である。

太陽系の衛星のいくつかは、形状的には長球に近いが、三軸楕円体に近い。例としては、土星の衛星ミマス、エンケラドゥス、テティス、そして天王星の衛星ミランダなどが挙げられる。

高速回転によって扁平楕円体に変形するのとは対照的に、天体は、大質量天体の周りを近距離軌道で公転する際に潮汐力によってわずかに長球状に変形する。最も極端な例は木星の衛星イオで、わずかな離心率のために軌道上でわずかに長球状になり、激しい火山活動を引き起こしている。この場合、長球の長軸は衛星の極を通るのではなく、主星に直接向いている点と主星から遠ざかっている点の赤道上の2点を通る。これが同期回転による小さな扁平変形と組み合わさって、天体は三軸構造になる。

この用語は、かに星雲などの星雲の形状を表すのにも使われます。^{[ 9 ]}フレネルゾーンは、空間における波の伝播と干渉を分析するために使用され、送信機と受信機の間の直接的な視線に沿って主軸が揃った同心円状の長球の連続です。

アクチニド元素とランタニド元素の原子核は長球形をしている。^{[ 10 ]}解剖学では、精巣などのほぼ球形の臓器は、長軸と短軸で測定されることがある。^{[ 11 ]}

多くの潜水艦は、長球形と表現できる形状をしている。^{[ 12 ]}

密度が均一な回転楕円体の場合、慣性モーメントは対称軸が追加された楕円体の慣性モーメントになります。回転楕円体を長軸c 、短軸a = bと記述すると、これらの主軸に沿った慣性モーメントはC、A、Bになります。ただし、回転楕円体では短軸は対称です。したがって、長軸に沿った慣性項は次のようになります。^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

ここで、Mは物体の質量であり、次のように定義される。

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$