球面円錐

数学では、球面円錐曲線または球面円錐曲線は、球面と同心円錐との交線である球面上の曲線です。これは平面上の円錐曲線（楕円、放物線、または双曲線）の球面版であり、平面の場合と同様に、球面円錐曲線は、2つの焦点への大円距離の和または差が一定である点の軌跡として定義できます。^{[ 1 ]}一方の焦点に反対蹠点を取ると、すべての球面楕円は球面双曲線にもなり、その逆もまた然りです。空間曲線として、球面円錐曲線は4次曲線ですが、3つの主軸への直交投影は平面円錐曲線です。平面円錐曲線と同様に、球面円錐曲線も「反射特性」を満たします。すなわち、2つの焦点から円錐曲線上の任意の点への大円弧は、その点における円錐曲線の接線と法線を角の二等分線として持ちます。

平面上の円錐曲線に関する多くの定理は、球面円錐曲線にも拡張できます。例えば、共焦点円錐曲線に関するグレイブスの定理とアイボリーの定理は、球面上でも証明できます。平面版については、共焦点円錐断面を参照してください。 ^{[ 2 ]}

楕円の弧長が第2種の不完全楕円積分で与えられるのと同様に、球面円錐の弧長は第3種の不完全楕円積分で与えられる。^{[ 3 ]}

同心球と二次円錐に基づくユークリッド空間の直交座標系は、円錐座標系または球面円錐座標系と呼ばれます。球面上に限定すると、残りの座標は共焦点球面円錐となります。これは、平面楕円座標系との類推から、球面上の楕円座標系と呼ばれることもあります。このような座標は、球面から平面への等角写像の計算に使用できます。^{[ 4 ]}

一様な正曲率の空間におけるケプラー問題の解は球面円錐であり、そのポテンシャルは測地距離の余接に比例する。 ^{[ 5 ]}

2点等距離投影は、指定された2点までの距離を保持するため、球面上の共焦点円錐曲線の族を平面上の2つの共焦点楕円と双曲線の族にマッピングします。^{[ 6 ]}

地球の一部を球体としてモデル化する場合、例えば回転楕円体上の点における接触球を用いる場合、双曲線航法（固定無線送信機からの受信信号タイミングの差に基づいて位置を決定する）で使用される双曲線は球面円錐曲線となる。^{[ 7 ]}

• シャスル、ミシェル（1831年）。Mémoire de géométrie sur les propriétés générales des coniqes sphériques [球面円錐の一般特性に関する幾何学的回想録] (フランス語)。ラアカデミー・ド・ブリュッセル。英語版：—（1841）。2次円錐の一般性質と球面円錐曲線に関する2つの幾何学的覚書。チャールズ・グレイブス訳。グラント・アンド・ボルトン。
• シャスル、ミシェル（1860）。"Résumé d'une théorie des coniques sphériques hofocales" [共焦点球面円錐の理論の概要]。Comptes rendus de l'Académie des Sciences (フランス語)。50 : 623–633 .Journal de mathématiques pures et appliquéesに再掲載されました。サー。 2. 5 : 425-454。mathdoc.fr からの PDF。
• Glaeser, Georg ; Stachel, Hellmuth ; Odehnal, Boris (2016). "10.1 球面円錐曲線". The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments . Springer. pp. 436– 467. doi : 10.1007/978-3-662-45450-3_10 . 
• Izmestiev, Ivan (2019). 「球面円錐曲線と双曲円錐曲線」 .非ユークリッド幾何学に関する18のエッセイ. ヨーロッパ数学会. pp. 262–320 . doi : 10.4171/196-1/15 . 
• サーモン、ジョージ（1927）。「X. 円錐と球面円錐曲線」。『3次元解析幾何学論』（第7 版）。チェルシー。pp. 249–267。 
• Story, William Edward (1882). 「円錐曲線の非ユークリッド的性質について」(PDF) . American Journal of Mathematics . 5 (1): 358– 381. doi : 10.2307/2369551 .
• Sykes, Gerrit Smith (1877). 「球面円錐曲線」 .アメリカ芸術科学アカデミー紀要. 13 : 375– 395. doi : 10.2307/25138501 .
• トラナッハー、ハラルド (2006)。Sphärische Kegelschnitte – Didaktisch aufbereitet [球面円錐曲線 – 教訓的に準備された] (PDF) (論文) (ドイツ語)。ウィーン工科大学。