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位相幾何学において、曲面とは2次元多様体のことである。曲面の中には、3次元立体図形の境界として現れるものもある。例えば、球は立体球の境界である。また、2変数関数のグラフとして現れる曲面もある（右図参照）。しかし、曲面は周囲の空間を参照することなく、抽象的に定義することもできる。例えば、クラインの壺は3次元ユークリッド空間に埋め込むことのできない曲面である。
位相曲面には、リーマン計量や複素構造といった追加情報が付加されることがあり、それによって微分幾何学や複素解析など、数学の他の分野と関連付けられる。曲面に関する様々な数学的概念は、物理世界における曲面をモデル化するために利用できる。
数学において、曲面とは変形した平面に似た幾何学的形状のことである。最も身近な例は、通常の3次元ユークリッド空間R³における球体などの立体の境界である。曲面の正確な定義は文脈によって異なる場合がある。一般的に、代数幾何学では曲面は自身と交差する可能性があり（また、他の特異点を持つ可能性もある）、一方、位相幾何学や微分幾何学では交差しない可能性がある。
表面は 二次元空間です。つまり、表面上の移動点は二方向に移動できます（自由度が2つあります）。言い換えれば、ほぼすべての点の周囲には、二次元座標系が定義される座標領域が存在します。例えば、地球の表面は（理想的には）二次元球に似ており、緯度と経度によってその上の二次元座標が与えられます（極と西経180度線を除く）。
表面という概念は、物理学、工学、コンピュータグラフィックス、その他多くの分野で広く用いられており、主に物理的な物体の表面を表現する際に使用されます。例えば、飛行機の空力特性を解析する際には、その表面に沿った空気の流れが中心的な考慮事項となります。
（位相）曲面とは、すべての点がユークリッド平面E 2の何らかの開部分集合と同相な開近傍を持つ位相空間のことである。このような近傍とそれに対応する同相写像は、（座標）チャートと呼ばれる。このチャートを通して、近傍はユークリッド平面上の標準座標を継承する。これらの座標は局所座標と呼ばれ、これらの同相写像によって、曲面は局所的にユークリッド的であると記述される。
この主題に関するほとんどの文献では、位相空間としての曲面は空でなく、第二可算であり、ハウスドルフ空間であると、明示的または暗黙的に仮定されていることが多い。また、考察対象の曲面は連結であると仮定されることも多い。
特に断りのない限り、この記事の残りの部分では、曲面は空でなく、ハウスドルフ空間であり、第二可算であり、連結であると仮定する。
より一般的には、境界を持つ（位相）曲面は、すべての点がCにおける上半平面H 2の閉包の何らかの開部分集合と同相な開近傍を持つハウスドルフ位相空間です。これらの同相写像は（座標）チャートとしても知られています。上半平面の境界はx軸です。チャートを介してx軸に写像された曲面上の点は境界点と呼ばれます。このような点の集合は曲面の境界として知られており、これは必然的に 1 次元多様体、つまり閉曲線の和集合です。一方、x軸より上に写像された点は内部点です。内部点の集合は曲面の内部であり、これは常に空ではありません。閉円盤は境界を持つ曲面の簡単な例です。円盤の境界は円です。
限定なしに用いられる「曲面」という用語は、境界を持たない曲面を指します。特に、境界が空である曲面は、通常の意味での曲面です。境界が空でコンパクトな曲面は、「閉曲面」と呼ばれます。2次元球面、2次元トーラス、実射影平面は、閉曲面の例です。
メビウスの帯は、時計回りと反時計回りの区別が局所的には定義できるが、全体的には定義できない曲面である。一般に、曲面がメビウスの帯の同相コピーを含まない場合、その曲面は向き付け可能であると言われる。直感的には、曲面には2つの異なる「面」がある。例えば、球面とトーラスは向き付け可能であるが、実射影平面は向き付け不可能である（実射影平面から1点を取り除いたものが、開いたメビウスの帯と同相であるため）。
微分幾何学および代数幾何学では、曲面のトポロジーに付加的な構造が加えられます。この付加的な構造は、滑らかさ構造（曲面との間の微分可能な写像を定義できるようにする）、リーマン計量（曲面上の長さと角度を定義できるようにする）、複素構造（曲面との間の正則写像を定義できるようにする。この場合、曲面はリーマン面と呼ばれる）、または代数構造（自己交差や尖点など、基礎となるトポロジーだけでは記述できない特異点を検出できるようにする）のいずれかです。
歴史的に、曲面は当初、ユークリッド空間の部分空間として定義されていました。多くの場合、これらの曲面は特定の関数、通常は多項式関数の零点の軌跡でした。このような定義では、曲面はより大きな（ユークリッド）空間の一部とみなされ、そのため外在的と呼ばれていました。
前節では、曲面は、ハウスドルフ性と局所ユークリッド性という特定の性質を持つ位相空間として定義されました。この位相空間は、他の空間の部分空間とはみなされません。この意味で、上記の定義（現在数学者が用いている定義）は本質的なものです。
内在的として定義された曲面は、ユークリッド空間の部分空間であるという追加の制約を満たす必要はありません。内在的に定義された曲面の中には、外在的な意味では曲面ではないものもあるように思えるかもしれません。しかし、ホイットニーの埋め込み定理によれば、すべての曲面は実際にはユークリッド空間、実際にはE 4に同相的に埋め込むことができます。つまり、外在的アプローチと内在的アプローチは等価であることがわかります。
実際、向き付け可能または境界を持つコンパクト曲面はすべてE 3に埋め込むことができます。一方、コンパクトで向き付け不可能かつ境界を持たない実射影平面は、E 3に埋め込むことはできません(グラマンを参照)。シュタイナー曲面(ボーイ曲面、ローマ曲面、クロスキャップを含む) は、 E 3における実射影平面のモデルですが、埋め込み曲面はボーイ曲面のみです。これらのモデルはすべて、互いに交差する点で特異点を持ちます。
アレクサンダー角球は、2つの球体が3つの球体に埋め込まれるという、よく知られた病理学的現象である。
曲面を別の空間に埋め込む方法（もしあれば）は、外在的な情報とみなされ、曲面自体にとって本質的なものではありません。例えば、トーラスは「標準的な」方法（ベーグルのような形）または結び目のある方法（図を参照）でE 3に埋め込むことができます。埋め込まれた2つのトーラスは同相ですが、同位ではありません。つまり、位相的には同等ですが、埋め込み方は同等ではないということです。
R 2から高次元R nへの連続単射関数の像は、パラメトリック曲面と呼ばれます。このような像は、領域R 2のx方向とy方向が像をパラメータ化する 2 つの変数であることから、このように呼ばれます。パラメトリック曲面は、位相曲面である必要はありません。回転面は、パラメトリック曲面の特殊な形態とみなすことができます。
f がR 3からRへの滑らかな関数で、勾配がどこにもゼロでない場合、 fの零点の軌跡は、陰関数曲面と呼ばれる曲面を定義します。勾配がゼロでないという条件を外すと、零点の軌跡に特異点が生じる可能性があります。
それぞれの閉曲面は、偶数個の辺を持つ向き付けられた多角形（曲面の基本多角形と呼ばれる）の辺をペアごとに識別することによって構成できます。例えば、以下の各多角形において、対応するラベル（ AとA、BとB）を持つ辺を矢印が同じ方向を向くように接続すると、図に示す曲面が得られます。
任意の基本多角形は、次のように記号で表すことができます。任意の頂点から始め、多角形の周囲をどちらかの方向に進み、開始頂点に戻ります。この走査中に、各辺のラベルを順番に記録します。ただし、辺が走査方向と反対方向を向いている場合は、指数を -1 とします。上記の 4 つのモデルを左上から時計回りに走査すると、次のようになります。
球面と射影平面はどちらも2角形の商として実現できるのに対し、トーラスとクラインの壺は4角形（正方形）を必要とすることに注意してください。
このように曲面の基本多角形から導出された式は、多角形の辺のラベルを生成元とする曲面の基本群の表示において唯一の関係式となる。これはザイフェルト・ファン・カンペン定理の結果である。
多角形の辺を貼り合わせることは、特殊な商空間操作の一種です。商の概念は、より一般的に適用することで、新しい、あるいは別の曲面構成を生み出すことができます。例えば、実射影平面は、球面上の対向する点のペアをすべて同一視することで、球面の商として得られます。商のもう一つの例は、連結和です。
2つの曲面MとNの連結和（ M # Nと表記）は、それぞれの曲面から円盤を取り除き、得られた境界成分に沿って貼り合わせることによって得られる。円盤の境界は円なので、これらの境界成分も円である。オイラー標数M # Nは、被加数のオイラー標数の合計から 2 を引いたものです。
球面Sは連結和の単位元であり、 S # M = Mが成り立つ。これは、球面から円盤を1つ削除すると円盤が残り、それがMから削除された円盤を単純に置き換えるためである。
トーラスTを用いた連結和は、もう一方の項Mに「取っ手」を付けることとも表現されます。Mが向き付け可能であれば、T # Mも向き付け可能です。連結和は結合法則を満たすため、有限個の曲面の連結和は明確に定義されます。
2 つの実射影平面の連結和P # Pは、クラインの壺Kです。実射影平面とクラインの壺の連結和は、実射影平面とトーラスの連結和と同相です。式で表すと、P # K = P # Tとなります。したがって、3 つの実射影平面の連結和は、実射影平面とトーラスの連結和と同相です。実射影平面を含む任意の連結和は、向き付け不可能です。
閉曲面とは、コンパクトで境界のない曲面のことです。閉曲面の例としては、球、トーラス、クラインの壺などがあります。閉曲面でない曲面の例としては、開円盤（穴が開いた球）、開円筒（穴が2つ開いた球）、メビウスの帯などがあります。
3次元空間に埋め込まれた曲面は、それが立体の境界である場合に限り閉じている。任意の閉多様体と同様に、継承されたユークリッド位相に関して閉じているユークリッド空間に埋め込まれた曲面は、必ずしも閉曲面ではない。例えば、に埋め込まれた円盤はその境界を含む面は、位相的に閉じているが、閉曲面ではない。
閉曲面の分類定理によれば、連結した閉曲面は、次の3つの族のいずれかに属するものと同相である。
最初の 2 つの族の曲面は向き付け可能です。球面を 0 個のトーラスの連結和とみなすことで、2 つの族を組み合わせると便利です。関係するトーラスの数gは、曲面の種数と呼ばれます。球面とトーラスのオイラー標数はそれぞれ 2 と 0 であり、一般にg個のトーラスの連結和のオイラー標数は2 − 2 gです。
第３の族の曲面は向き付け不可能である。実射影平面のオイラー標数は１であり、一般に、それらの連結和kのオイラー標数は2 − kである。
したがって、閉曲面は、同相写像を除いて、オイラー標数と向き付け可能かどうかという2つの情報によって決定される。言い換えれば、オイラー標数と向き付け可能性によって、閉曲面は同相写像を除いて完全に分類される。
複数の連結成分を持つ閉曲面は、それぞれの連結成分のクラスによって分類されるため、一般的にはその曲面は連結しているとみなされる。
この分類を連結和に関連付けると、同相写像までの閉曲面は連結和の演算の下で可換モノイドを形成し、実際、任意の固定次元の多様体も同様である。恒等写像は球面であり、実射影平面とトーラスはこのモノイドを生成し、単一の関係P # P # P = P # Tを持ち、これはK = P # PなのでP # K = P # Tとも書ける 。この関係は、ウォルター・フォン・ダイク（ダイク 1888）で証明したダイクの定理、そしてそれに伴い三重交差曲面P # P # Pは、ディックの表面。 [ 1 ]
幾何学的には、トーラス ( # T ) とのコネクトサムは、両端が曲面の同じ側に接続されたハンドルを追加しますが、クラインの壺 ( # K ) とのコネクトサムは、両端が向き付け可能な曲面の反対側に接続されたハンドルを追加します。射影平面 ( # P ) が存在する場合、曲面は向き付け可能ではないため (側面の概念がない)、トーラスを接続することとクラインの壺を接続することに違いはなく、これが関係性を説明します。
閉曲面の分類は1860年代から知られており、[ 1 ]今日では多くの証明が存在する。
位相的および組み合わせ論的な証明は一般的に、すべてのコンパクトな 2 次元多様体が単体複体と同相であるという難しい結果に依存しており、これはそれ自体興味深いものです。分類の最も一般的な証明は( Seifert & Threlfall 1980 )、[ 1 ]であり、これはすべての三角形分割された曲面を標準形式に変換します。標準形式を回避する簡略化された証明は、 1992 年頃にJohn H. Conwayによって発見され、彼はこれを「ゼロ無関係証明」または「ZIP 証明」と呼び、 ( Francis & Weeks 1999 )で発表しました。
より強力な幾何学的結果をもたらす幾何学的証明は、一様化定理である。これはもともと、1880年代から1900年代にかけて、フェリックス・クライン、ポール・ケーベ、アンリ・ポアンカレによってリーマン面に対してのみ証明されたものである。
境界を持つコンパクト曲面は、有限個の穴（取り除かれた開いた円盤）を持つ閉曲面です。境界を持つコンパクト連結曲面は、対応する閉曲面の向き付け可能性とオイラー標数、および境界成分の数によって分類されます。コンパクト曲面の種数は、対応する閉曲面の種数として定義されます。[ 2 ]境界を持つコンパクト連結曲面の別の分類は、向き付け可能性、種数、および境界成分の数によるものです。
この分類は、閉曲面の分類からほぼ直接的に導かれる。閉曲面から開円盤を取り除くと、境界成分が円であるコンパクト曲面が得られ、k個の開円盤を取り除くと、境界成分がk個の互いに素な円であるコンパクト曲面が得られる。同相群は次元が 2 以上の任意の連結多様体に対してk推移的に作用するため、穴の正確な位置は関係ない。
逆に、コンパクト曲面の境界は閉じた1次元多様体であり、したがって有限個の円の非交和である。これらの円を円盤で満たす（形式的には円錐をとる）と、閉じた曲面が得られる。
種数gでk 個の境界成分を持つ、一意のコンパクトな向き付け可能な曲面は、しばしば次のように表される。例えば、マッピングクラス群の研究において。
非コンパクト曲面は分類がより困難です。簡単な例として、閉多様体から有限個の点を取り除くことで非コンパクト曲面が得られます。一方、コンパクト曲面の任意の開部分集合はそれ自体が非コンパクト曲面です。例えば、球面上のカントール集合の補集合、別名カントール木曲面を考えてみてください。しかし、すべての非コンパクト曲面がコンパクト曲面の部分集合であるとは限りません。典型的な反例として、ヤコブのはしごやネス湖の怪物は、種数が無限の非コンパクト曲面です。
非コンパクト曲面Mは、端点空間E ( M )を持ちます。これは、非公式に言えば、曲面が「無限遠に伸びる」方法を記述するものです。空間E ( M ) は常に、カントール集合の閉部分空間と位相的に同値です。M は、有限または可算無限個のハンドル N hと、有限または可算無限個の射影平面N p を持つことができます。N h と N p の両方が有限の場合、これらの2つの数と端点空間の位相型によって、曲面Mは位相的同値性まで分類されます。N h または N p のいずれか、あるいは両方が無限の場合、 Mの位相型は、これらの 2 つの数だけでなく、無限個の数が端点空間にどのように近づくかにも依存します。一般に、M の位相型は、無限個のハンドルと無限個の射影平面の極限点、ハンドルのみの極限点、射影平面のみの極限点、およびどちらでもない極限点であるE ( M )の 4つの部分空間によって決定されます。[ 3 ]
曲面の定義から可算性の仮定を取り除くと、位相の基底が可算でない（必然的に非コンパクトな）位相曲面が存在する。おそらく最も単純な例は、直線と実数空間の直積であろう。
位相の可算基底を持たないが、その存在を証明するために選択公理を必要としない別の曲面は、プリューファー多様体であり、これは実解析曲面であることを示す単純な方程式で記述できます。プリューファー多様体は、上半平面と、各実数xに対して点 ( x ,0) の真下に垂れ下がる追加の「舌」 T xと合わせて考えることができます。
1925年、ティボール・ラドーは、すべてのリーマン面（すなわち、1次元複素多様体）は必ず第2可算であることを証明した（ラドーの定理）。これに対し、プリューファー面の構成において実数を複素数に置き換えると、可算基底を持たない2次元複素多様体（これは必ず4次元実多様体である）が得られる。
立方体の境界のような多面体は、幾何学において最初に出会う曲面の一つです。また、各点がE2内の何らかの開集合と微分同相な近傍を持つような滑らかな曲面を定義することも可能であり、この定義によって微積分を曲面に適用し、多くの結果を証明することができます。
2つの滑らかな曲面が微分同相であるのは、それらが同相である場合に限る。（同様の結果は高次元多様体には当てはまらない。）したがって、閉曲面は、オイラー標数と向き付け可能性によって微分同相を除いて分類される。
リーマン計量を備えた滑らかな曲面は、微分幾何学において基礎的に重要なものです。リーマン計量は、曲面に測地線、距離、角度、面積といった概念を与えます。また、曲面の各点における曲率や曲がり具合を表すガウス曲率も生み出します。曲率は、曲面の一般的な微分同相写像では保存されない、厳密な幾何学的性質です。しかし、閉曲面に関する有名なガウス・ボンネの定理によれば、曲面S全体にわたるガウス曲率Kの積分は、オイラー標数によって決定されます。
この結果は、曲面（そして、程度は低いものの、高次元多様体）の幾何学とトポロジーの間の深い関係を例示している。
幾何学において曲面が現れるもう一つの方法は、複素領域への移行です。複素1多様体は滑らかな向き付けられた曲面であり、リーマン面とも呼ばれます。複素多様体として見なされる任意の複素非特異代数曲線はリーマン面です。実際、すべてのコンパクトな向き付け可能な曲面はリーマン面として実現可能です。したがって、コンパクトリーマン面は、その種数: 0、1、2、... によって位相的に特徴付けられます。一方、種数は複素構造を特徴付けるものではありません。たとえば、種数1の非同型コンパクトリーマン面は数えきれないほど多く存在します（楕円曲線）。
閉じた向き付けられた曲面上の複雑な構造は、その曲面上のリーマン計量の等角同値類に対応する。ポアンカレによる一様化定理の一バージョンは、向き付けられた閉じた曲面上の任意のリーマン計量は、本質的に一意な定曲率計量と等角同値であると述べている。これは、オイラー標数のみによる位相的分類よりも細かいリーマン面の分類を提供するタイヒミュラー理論へのアプローチの出発点となる。
複素曲面は複素2次元多様体であり、したがって実数4次元多様体である。これは本稿でいう意味での曲面ではない。同様に、複素数以外の体上で定義される代数曲線も、実数以外の体上で定義される代数曲面も存在しない。
{{citation}}: CS1 maint: postscript (リンク)