球面のホモトピー群

代数的位相幾何学という数学の分野では、球面のホモトピー群は、さまざまな次元の球面が互いにどのように巻き付くかを記述します。これらは位相不変量の例であり、球面の正確な形状を忘れて位相空間として見た球面の構造を代数的に反映します。同じく位相不変量であるホモロジー群とは異なり、ホモトピー群は驚くほど複雑で、計算が困難です。

この図はホップファイバリングの一部を模倣したもので、3 次元球面から 2 次元球面への興味深いマッピングです。このマッピングは、2 次元球面の 3 番目のホモトピー群の生成元です。

n $次元$ 単位球面(簡略化のため $n$ 球面と呼ばれ、 $S n$ と表記) は、よく知られている円( $S 1$ ) と通常の球面( $S 2$ ) を一般化したものです。 $n$ 球面は、原点から単位距離にある次元 $n$ $+ 1の$ ユークリッド空間内の点の集合として幾何学的に定義できます。 $i$ 番目のホモトピー群 $π$ $i$ $($ $S$ $n$ $)は、$ $i$ 次元球面 $S$ $i を$ $n$ 次元球面 $S$ $n$ に連続的にマッピングできるさまざまな方法をまとめたものです。このまとめでは、一方が他方に連続的に変形できる場合、2 つのマッピングを区別しません。したがって、マッピングの同値類のみがまとめられています。これらの同値類に対して定義された「加算」演算により、同値類の集合がアーベル群になります。

$π i (S n)$ を決定する問題は、 $i が$ $n$ より小さいか、等しいか、大きいかによって 3 つの状態に分類されます。

$0 < i < n$ の場合、 $S i$ $からS n$ への任意の写像は定数写像、すなわち $S i$ $の全体をS n$ の単一点に写像する写像にホモトピー（すなわち連続的に変形可能）である。したがってホモトピー群は自明群である。
$i = n$ のとき、 $S n$ からそれ自体へのすべての写像には、球がそれ自体に何回巻き付けられているかを測定する次数があります。この次数は、ホモトピー群 $π n (S n)を加法による$ 整数の群と同一視します。たとえば、円上のすべての点は、別の円の点に連続的に写像できます。つまり、最初の点が最初の円の周りを移動すると、特定の写像に応じて、2 番目の点が 2 番目の円の周りを数回循環する場合があります。
最も興味深く驚くべき結果は、 $i > n$ のときに発生します。最初の驚きは、ホップファイバと呼ばれるマッピングの発見でした。これは、 3 次元球面 $S 3 を$ 通常の球面 $S 2$ の周りに非自明な方法で巻き付けるため、1 点マッピングと同等ではありません。

$正のk$ に対するホモトピー群 $π n + k (S n)$ を計算する問題は、代数的位相幾何学における中心的な問題であることが判明し、その基本的な手法の多くを開発する上で貢献し、刺激的な研究の焦点となってきました。主な発見の 1 つは、ホモトピー群 $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)は、$ $n$ $\geq$ $k$ $+ 2$ に対して $n$ に依存しないということです。これらは球面の安定ホモトピー群と呼ばれ、 $k$ の値が90 までの場合に計算されています。 ^{[1]安定ホモトピー群は、}安定コホモトピー理論と呼ばれる特別なコホモロジー理論の係数環を形成します。不安定ホモトピー群 ( $n$ $<$ $k$ $+ 2$ の場合) はより不安定ですが、 $k$ $< 20$ について表にまとめられています。現代の計算のほとんどはスペクトル列を使用しており、これは Jean-Pierre Serreが球面のホモトピー群に初めて適用した手法です。いくつかの重要なパターンが確立されていますが、まだ多くのことが不明で説明されていません。

背景

球面のホモトピー群の研究は、ここで簡単に概観した膨大な背景資料に基づいています。代数的位相幾何学は、ホモトピー群を基本的な例として、位相幾何学と抽象代数に基づいて構築された、より広い文脈を提供します。

$ん$ -球

3 次元空間内の通常の球体(固体の球ではなく表面) は、位相幾何学における球体の意味の 1 つの例にすぎません。幾何学では、球体を形状として厳密に定義します。次に、いくつかの代替例を示します。

暗黙の曲面: $x 20 + \times 21 + \times 22 = 1$

これは、3次元ユークリッド空間において原点からちょうど1単位離れた点の集合である。これは、以下の理由から2次元球面

S 2

と呼ばれる。同じ考え方は任意の次元

n

にも適用され、方程式

x 20 + \times 21 + \dots + x 2 位 = 1は、 (

n

+ 1

)次元空間における幾何学的オブジェクトとして

n

球面を生成します。たとえば、1球面

S

1

は円です。^[2]

縁が潰れた円盤：位相幾何学では $D 2 / S 1と表記される$

この構成は幾何学から純粋な位相幾何学へと移行する。円板

D 2

は、不等式

xで表される円で囲まれた領域である。 20 + \times 21 \leq 1 であり

、その縁（または「境界」）は円

S 1

であり、等式

x 20 + \times 21 = 1

。風船に穴を開けて平らに広げると円盤ができる。この作図は、引き紐を引っ張るように穴を修復する。スラッシュは「モジュロ」と発音し、左側の位相空間（円盤）を取り、その中で右側のすべての点（円）を 1 つに結合することを意味する。この領域は 2 次元であるため、位相学では結果として得られる位相空間を 2 次元球面と呼ぶ。一般化すると、

D n / S n -1 は

S n を

生成する。たとえば、

D 1

は線分であり、作図ではその端を結合して円を形成する。同等の記述は、

n

次元円盤の境界が点に接着され、CW 複体を生成することである。^[3]

赤道の吊り下げ：位相幾何学では $Σ$ $S$ $1$ と表記される

この構成は単純ではあるが、理論的には非常に重要である。円

S 1 を

赤道とし、その上の各点を 1 点上 (北極) まで掃引すると北半球が、1 点下 (南極) まで掃引すると南半球が生成される。各正の整数

n

に対して、

n

球

x 20 + \times 21 + \dots + x 2 位 = 1 は

(

n - 1

) 球面

x を赤道として持つ 20 + \times 21 + \dots + x 2 n -1 = 1で

あり、懸濁液

ΣS n -1 は

S n を

生成する。^[4]

いくつかの理論では、球面上の固定点を選択する必要があり、 $(球面、点) のペア$ を尖った球面と呼びます。一部の空間では選択が重要ですが、球面の場合はすべての点が同等であるため、選択は便宜上の問題です。^[5]繰り返しサスペンションとして構築された球面の場合、すべてのサスペンションレベルの赤道上にある点 $(1, 0, 0, ..., 0)$ が適切です。縁が潰れた円板の場合、縁の潰れによって生じる点も当然の選択です。

ホモトピー群

位相空間の特徴は連続構造であり、開集合または近傍として形式化される。連続写像は連続性を保つ空間間の関数である。ホモトピーは連続写像間の連続経路である。ホモトピーによって接続された 2 つの写像はホモトピックであると言われる。^[6]これらすべての概念に共通する考え方は、関心のある結果に影響を与えない変化を破棄することです。重要な実例としては、複素解析の留数定理があります。ここで「閉曲線」は円から複素平面への連続写像であり、2 つの閉曲線は、平面から特異点を除いた位相空間でホモトピックである場合、同じ積分結果を生成します。^[7]

したがって、（パス連結）位相空間 $X$ の最初のホモトピー群、または基本群 $π 1 (X)$ は、尖った円 $($ $S$ $1$ $、$ $s$ $)$ から尖った空間 $($ $X$ $、$ $x$ $)$ への連続写像で始まります。ここで、1 つのペアから別のペアへの写像は、 $sを$ $x$ に写します。これらの写像（または同等の閉曲線）は、ホモトピー（「基点」 $x を固定）に基づいて$ 同値類にグループ化されるため、2 つの写像がホモトピックである場合は同じクラスになります。1 つの点が区別されるように、1 つのクラスが区別されます。定数写像 $S$ $1$ $\mapsto$ $x$ にホモトピックなすべての写像（または曲線）は、ヌルホモトピックと呼ばれます。クラスは、「赤道ピンチ」によって定義される加算の導入により抽象代数群になります。このピンチは、尖った球（ここでは円）の赤道を区別された点にマッピングし、「球の花束」、つまり区別された点で結合された2つの尖った球を生成します。追加される2つのマップは、区別された点に一致するように上部の球と下部の球を別々にマッピングし、ピンチと合成すると合計マップが得られます。^[8]

より一般的には、 $i$ 番目のホモトピー群 $π i (X)$ は、尖った $i$ 球面 $(S i 、 s)$ から始まり、それ以外は同じ手順に従います。ヌルホモトピック類は、群の加法の恒等式として機能し、 $X が$ $S n$ に等しい場合( $n$ が正の場合)、つまり球面のホモトピー群の場合、群はアーベルかつ有限生成です。ある $i$ に対してすべての写像がヌルホモトピックである場合、群 $π i は$ 1 つの要素で構成され、自明群と呼ばれます。

2 つの位相空間間の連続写像は、関連するホモトピー群間の群準同型性を誘導する。特に、写像が連続的な一対一写像（同相写像）であり、2 つの空間が同じ位相を持つ場合、それらの $i$ 番目のホモトピー群はすべての $iに対して$ 同型である。しかし、実平面は孤立点とまったく同じホモトピー群を持ち（任意の次元のユークリッド空間と同様）、点を 1 つ除いた実平面は円と同じ群を持つため、群だけでは空間を区別するのに十分ではない。識別力が失われるのは残念だが、特定の計算を容易にすることもできる。^[^要出典^]

低次元の例

球面のホモトピー群の低次元の例は、これらの特殊なケースを通常の 3 次元空間で視覚化できるため、主題の感覚を提供します。ただし、このような視覚化は数学的な証明ではなく、球面間のマップの可能性のある複雑さを捉えていません。

$π 1 (S 1) = Z$

最も単純なケースは、円（1次元球面）を別の円に巻き付ける方法に関するものである。これは、指に輪ゴムを巻くことで視覚化できる。輪ゴムは1回、2回、3回と巻くことができる。巻き付けは2方向のいずれかで行うことができ、反対方向の巻き付けは変形後に打ち消される。ホモトピー群 $π 1 (S 1)$ は、したがって無限巡回群であり、加法の下で整数の群 $Zと$ 同型である。ホモトピー類は、ホモトピー類内の写像が円に巻き付く回数を数えることによって整数と同一視される。この整数は、平面における原点の周りのループの巻き数と考えることもできる。^[9]

ホモトピー群と整数との同一視（群同型性）はしばしば等式として書かれる： $π 1 (S 1) = Z$ 。^[10]

$π 2 (S 2) = Z$

2 次元球面から 2 次元球面への写像は、ビニール袋をボールに巻き付けて密封するものとして視覚化できます。密封された袋は、ボールの表面と同様に、位相的に 2 次元球面と同等です。袋は、ねじってボールに巻き戻すことで、複数回巻くことができます。(連続写像が単射である必要はないため、袋は袋自体を通過できます。) ねじれは 2 方向のいずれかで、反対のねじれは変形によって打ち消されます。打ち消されたねじれの総数は整数であり、写像の次数と呼ばれます。円から円への写像の場合と同様に、この次数はホモトピー群を整数のグループ $Z$ で識別します。^{[引用が必要]}

これら2つの結果は一般化されます。つまり、すべての $n > 0$ に対して、 $π n (S n) = Zとなります$ （以下を参照）。

$π 1 (S 2) = 0$

円から通常の球への連続写像は、連続的に変形して一点写像にすることができるため、そのホモトピー類は自明である。これを視覚化する一つの方法は、摩擦のないボールに巻き付けられた輪ゴムを想像することである。輪ゴムはいつでもボールから滑り落ちることができる。したがって、ホモトピー群は自明な群であり、単位元という唯一の要素を持つため、数ゼロのみからなる $Z$ の部分群と同一視できる。この群はしばしば 0 と表記される。しかし、これを厳密に示すには、空間充填曲線の存在のため、より注意が必要である。^[11]

$この結果は$ 高次元にも一般化される。低次元球面から高次元球面へのすべての写像は同様に自明である。i $<$ $n$ ならば、 $π$ $i (S n) = 0 である。これは$ 細胞近似定理の結果として示すことができる。^[12]

$π 2 (S 1) = 0$

球面のホモトピー群の興味深いケースはすべて、高次元の球面から低次元の球面への写像を伴う。残念ながら、簡単に視覚化できる唯一の例は興味深いものではない。通常の球面から円への非自明な写像は存在しない。したがって、 $π 2 (S 1) = 0 で$ ある。これは、 $S 1 が$ 実数直線をその普遍被覆として持ち、それが収縮可能である（点のホモトピー型を持つ）ためである。さらに、 $S 2 は$ 単連結であるため、持ち上げ基準^[13]により、 $S 2から$ $S 1$ への任意の写像を実数直線への写像に持ち上げることができ、ヌルホモトピーは（合成を介して）下の階の空間に下がる。

$π 3 (S 2) = Z$

$i > n$ となる最初の非自明な例は、3次元球面から通常の2次元球面への写像に関するもので、ハインツ・ホップによって発見されました。ホップは、 $S 3から$ $S 2$ への非自明な写像を構築しました。これは現在ホップファイバと呼ばれています。^[14]この写像はホモトピー群 $π$ $3$ $($ $S$ $2$ $) = Z を$ 生成します。^[15]

歴史

19世紀後半、カミーユ・ジョルダンはホモトピーの概念を導入し、群論の言語を使わずにホモトピー群の概念を使用した。^{[16]より厳密なアプローチは、}アンリ・ポアンカレが1895年に発表した論文集「Analysis situs」で採用され、ホモロジーや基本群といった関連する概念も導入された。^[17]

高次ホモトピー群は、1932年にエドゥアルト・チェフによって初めて定義されました。 ^[18]（彼の最初の論文は、群が可換であるため基本群の正しい一般化ではないという理由で、パベル・セルゲイヴィチ・アレクサンドロフとハインツ・ホップの助言により撤回されました。）ヴィトルド・ヒューレヴィッツも、1935年の論文でホモトピー群を導入し、いくつかの群を計算するために使用できるヒューレヴィッツの定理を提案したことで知られています。 ^[19] さまざまな群を計算するための重要な方法は、次元に依存しない特性を見つける安定代数位相幾何学の概念です。通常、これらはより大きな次元にのみ当てはまります。そのような最初の結果は、 1937年に発表されたハンス・フロイデンタールのサスペンション定理でした。安定代数位相幾何学は、多くの重要な結果を伴って1945年から1966年の間に繁栄しました。^[19] 1953年、ジョージ・W・ホワイトヘッドは球面のホモトピー群に準安定範囲があることを示した。ジャン＝ピエール・セールはスペクトル列を用いて、これらの群のほとんどが有限であり、例外は $π n (S n)$ と $π 4 n -1 (S 2 n)$ であることを示した。この分野で研究した他の研究者には、ホセ・アデム、戸田宏、フランク・アダムス、J・ピーター・メイ、マーク・マホウォルド、ダニエル・イサクセン、王国鎮、徐周立などがいた。安定ホモトピー群 $π n + k (S n)は$ $kが$ 90まで知られているが、2023年現在、それより大きい $k$ では未知である。^[1]

一般理論

すでに述べたように、 $i が$ $n$ より小さいとき、 $π i (S n) = 0 で$ あり、自明群である。その理由は、 $i$ $<$ $n$ である $i$ 球面から $n$ 球面への連続写像は常に変形可能であり、射影的ではなくなるからである。その結果、その像は1 点を除いた $S$ $n$ に含まれ、これは収縮可能な空間であり、そのような空間への写像はいずれも 1 点写像に変形できる。^[12]

$i = n の$ 場合も既に述べたとおりで、これはHurewicz の定理から容易に導かれる。この定理は、一般に計算が容易なホモトピー群とホモロジー群を結び付けるものである。特に、単連結空間Xに対して、 $k$ $> 0$ となる最初の非ゼロホモトピー群 $π k (X)$ が最初の非ゼロホモロジー群 $H$ $k$ $($ $X$ $)と同型であることを示す$ $。n$ 球面に対しては、このことから直ちに $n$ $\geq 2$ に対して $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $) =$ $H$ $n$ $($ $S$ $n$ $) = Z と$ なることがわかる。^[^{引用が必要}^]

ホモロジー群 $H i (S n)$ （ $i > n$ ）はすべて自明です。したがって、対応するホモトピー群が一般に自明ではないことは歴史的に大きな驚きでした。これは本当に重要なケースです。高次のホモトピー群 $π i (S n)$ （ $i > n$ ）は驚くほど複雑で計算が難しく、それを計算するための努力によって大量の新しい数学が生み出されました。^{[引用が必要]}

テーブル

次の表は、次元が 8 以下の球面であっても、高次のホモトピー群の複雑さがわかるようになっています。この表のエントリは、a)自明な群0、無限巡回群 $Z 、b) 位数$ $n$ の有限巡回群( $Z$ $n$ と表記)、または c)そのような群の直積(たとえば、 $Z$ $24$ $\timesZ$ $3$ または $Zと表記) のいずれかです。$ $22 = Z 2 \timesZ 2$ ）。球面のホモトピー群の拡張表は記事の最後に示す。

この表の最初の行は単純である。1次元球面のホモトピー群 $π i (S 1)は、$ $i > 1$ に対して自明である。なぜなら、同じ高次のホモトピー群を持つ普遍被覆空間は収縮可能であるからである。^[20] $\mathbb {R}$

最初の行を超えると、高次のホモトピー群 ( $i > n$ ) は混沌としているように見えますが、実際には多くのパターンがあり、その中には明白なものもあれば、非常に微妙なものもあります。

ギザギザの黒い線の下のグループは、対角線に沿って一定です (赤、緑、青の色で示されています)。
グループのほとんどは有限です。無限のグループは、主対角線上またはギザギザの線のすぐ上 (黄色で強調表示) にあります。
表の2行目と3行目は3列目から始まって同じです（つまり、 $i$ $\geq 3$ の場合、 $π i (S 2) = π i (S 3) ）。この同型性はホップファイバ$ $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ によって誘導されます。
$n = 2, 3, 4, 5$ および $i \geq n$ の場合、ホモトピー群 $π i (S n)$ はゼロにならない。ただし、 $n$ $\geq 6$ の場合、 $π n +4 (S n) = 0と$ なる。

これらのパターンは、さまざまな理論的結果から導き出されます。^[要出典]

安定グループと不安定グループ

上の表のギザギザの線の下の群が対角線に沿って一定であるという事実は、ハンス・フロイデンタールの懸垂定理によって説明され、 $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)から$ $π$ $n$ $+$ $k$ $+1$ $($ $S$ $n$ $+1$ $)$ への懸垂準同型は $n$ $>$ $k$ $+ 1$ の同型であることを意味します。n $>$ $k$ $+ 1$ の $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ 群は球面の安定ホモトピー群と呼ばれ、 $πと表記さ$ $れます。$ $S k$ $: k \neq 0$ に対して有限アーベル群であり、多くのケースで計算されているが、一般的なパターンはまだ不明である。^[21] $n \leq k +1$ に対して、群は球面の不安定ホモトピー群と呼ばれる。^[要出典]

ホップファイバ

古典的なホップファイバはファイバ束である:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.

$ファイバー束F \to E \to B$ の一般理論は、ホモトピー群の長い正確な列が存在することを示している。

\cdots \to \pi _{i}(F)\to \pi _{i}(E)\to \pi _{i}(B)\to \pi _{i-1}(F)\to \cdots .

この特定の束に対して、包含 $S$ $1$ $\to$ $S$ $3$ によって誘導される各群準同型 $π i (S 1) \to π i (S 3)$ は、低次元球面 $S$ $1 が高次元球面$ $S$ $3$ 内の点に変形できるため、 $π$ $i$ $($ $S$ $1$ $)$ のすべてをゼロにマップします。これは、 $π$ $1$ $($ $S$ $3$ $)$ の消失に対応します。したがって、長い完全列は短い完全列に分解されます。

0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.

$S n +1は$ $S$ $n$ の懸濁物なので、これらの列は懸濁準同型 $π$ $i$ $-1$ $($ $S$ $1$ $) \to π$ $i$ $($ $S$ $2$ $)$ によって分割され、同型となる。

\pi _{i}(S^{2})=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).

$π i -1 (S 1)は$ $i$ が3 以上であればゼロになるため、最初の行は、上で述べたように、 $i が$ 3 以上であれば $π i (S 2)$ と $π i (S 3)$ が同型であることを示しています。

$ホップファイバは次のように構成できる: |$ $z$ $0$ $|$ $2$ $+ |$ $z$ $1$ $|$ $2$ $= 1$ を満たす複素数ペア $(z 0, z 1)$ は3次元球面を形成し、それらの比は $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}0倍/1 1⁠ は$ 複素平面プラス無限大、つまり 2 次元球面を覆います $。ホップ写像S 3 \to S 2$ はそのような任意のペアをその比に送ります。^{[引用が必要]}

同様に（束射影が二重被覆であるホップファイバに加えて）、一般化されたホップファイバが存在する。 $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}$

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

複素数の代わりに四元数または八元数のペアを使用して構築されます。 ^[22]ここでも、 $π 3 (S 7)$ と $π 7 (S 15)$ はゼロです。したがって、長完全列は再び分割された短完全列の族に分割され、2つの関係族を意味します。

\pi _{i}(S^{4})=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),

\pi _{i}(S^{8})=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).

3 つのファイバ空間は、 $n$ $= 2$ $m$ $（ m$ $= 1, 2, 3$ ）の基底空間 $S n$ を持ちます。ファイバ空間は、前述のように $S$ $1$ ( $m$ $= 0 ) には存在しますが、$ $S$ $16$ ( $m$ $= 4 ) 以降には存在しません。$ $S$ $16$ への関係の一般化は多くの場合正しいですが、失敗することもあります。たとえば、

\pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15})。

したがって、繊維化は起こり得ない

S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},

ホップ不変量の最初の非自明なケースは、そのようなファイバ化は失敗した関係が真であることを意味するため、問題が1つあります。^[要出典]

フレームド・コボルディズム

球面のホモトピー群は多様体のコボルディズム類と密接に関係している。1938年にレフ・ポントリャーギンはホモトピー群 $π n + k (S n)$ と群 $Ωの間に同型性を確立した。フレーム付き k (S n + k)は、$ $S$ $n$ $+$ $k$ の微分可能 $k$ 部分多様体のコボルディズム類で、「フレーム化」されている、つまり自明な正規バンドルを持つ。すべての写像 $f$ $:$ $S$ $n$ $+$ $k$ $\to$ $S$ $n$ $は、 M$ $k$ $=$ $f$ $-1$ $(1, 0, ..., 0) \subset$ $S$ $n$ $+$ $k$ がフレーム化された $k$ 次元部分多様体である微分可能写像にホモトピックである。たとえば、 $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $) = Z は、$ $S$ $n$ のフレーム化された 0 次元部分多様体のコボルディズム群であり、写像 $f$ $:$ $S$ $n$ $\to$ $S$ $n$ の次数に対応して、それらの点の代数和によって計算される。ホップファイバレーション $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ の射影は、 $π$ $3$ $($ $S$ $2$ $) = Ω$ の生成元を表す。 $フレーム 1 (S 3) = Z$ は、標準埋め込み $S$ $1$ $\subset$ $S$ $3によって定義される$ $S 3$ のフレーム付き 1 次元部分多様体に対応し、通常の 2 平面バンドルの非標準自明化を伴う。1950 年代初頭 (Serre) にさらに洗練された代数的手法が登場するまで、ポントリャギン同型は球面のホモトピー群を計算するための主なツールでした。1954 年にポントリャギン同型はRené Thomによって一般化され、コボルディズム類の他のグループ (たとえば、すべての多様体のグループ) を空間とスペクトルのホモトピー群として表現する同型になりました。最近の研究では、議論は通常逆で、コボルディズム群はホモトピー群の観点から計算されます。^[23]

有限性とねじれ

1951年、ジャン＝ピエール・セールは、球面のホモトピー群は、無限巡回群と有限アーベル群の積である $π n (S n)$ または $π 4 n -1 (S 2 n)$ （正の $nの場合）$ の形式を除いてすべて有限であることを示した。^[24]特に、ホモトピー群はすべての素数 $pに対する$ $p$ 成分によって決定される。2成分は計算が最も難しく、奇数の素数に対する $p$ 成分とはいくつかの点で異なる動作をする。^[^要出典^]

同論文で、セールは、 $k$ $< 2$ $p$ $- 3$ の場合には $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)に p$ ねじれがなく、 n ≥ 3 かつ k = 2 p − 3 の場合には位数 p の一意な部分群を持つこと $を$ $示し$ 、 $n$ $次元$ $球面$ $の$ ホモトピー $群$ $で$ pねじれ $が$ $生じる$ 最初の場所を発見した。 2 次元球面の場合は少し異なり、最初の $pねじれは$ $k$ $= 2$ $p$ $- 3 + 1$ のときに生じる。奇数ねじれの場合はより正確な結果が得られる。この場合は、奇数次元球面と偶数次元球面の間には大きな違いがある。 $p$ が奇数素数で $n$ $= 2$ $i$ $+ 1$ の場合には、 $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ の $p$ 成分の元の位数は最大で $p$ $i$ である。^{[25]これはある意味では最良の結果である。なぜなら、これらの群は} $k$ のある値に対してこの位数の元を持つことが知られているからである。^[26]さらに、この場合、安定範囲を拡張することができる $。n$ が奇数の場合、 $π$ $k$ $($ $S$ $n$ $)から$ $π$ $k$ $+2$ $($ $S$ $n$ $+2$ $)$ への $二重懸架は、$ $k$ $<$ $p$ $($ $n$ $+ 1) - 3であれば$ $p$ 成分の同型であり、等式が成り立つ場合はエピモフィズムである。^[27]中間群 $π$ $k$ $+1$ $($ $S$ $n$ $+1$ $)$ のpねじれは厳密に大きくなる可能性がある。^[^要出典^]

奇数ねじれに関する上記の結果は、奇数次元球面に対してのみ成り立つ。偶数次元球面に対しては、ジェームズファイバレーションは奇数素数 $p$ におけるねじれを奇数次元球面のねじれとして与える。

\pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{ 2m+k}(S^{4m-1})(p)

（ここで $（ p ）は$ $p$ 成分を取ることを意味する）。^[28]このシーケンスはホップファイブレーションから得られるシーケンスとまったく同じである。違いは、2次元捩れを無視するという犠牲を払ってはいるものの、すべての偶数次元球に対して機能するという点である。奇数次元球と偶数次元球の結果を組み合わせると、不安定ホモトピー群の奇数捩れの多くは、安定ホモトピー群の奇数捩れによって決定されることがわかる。^[要出典]

$安定ホモトピー群については、 p-$ ねじれについてより正確な結果が得られる。例えば、素数 $pに対して$ $k < 2 p (p - 1) - 2$ の場合、安定ホモトピー群 $πの$ $p-主成分は$ $S k$ $k + 1$ が $2(p -1)$ で割り切れない限りは消滅し、その場合には $p$ 次の巡回行列となる。^[29]

J準同型

$π n + k (S n)$ の重要な部分群は、 $k \geq 2に対して、$ J 準同型 $J : π k (SO(n)) \to π n + k (S n)$ の像であり、ここで $SO(n) は$ 特殊直交群を表す。^[30]安定範囲 $n \geq k + 2$ では、ホモトピー群 $π k (SO(n))は$ $k (mod 8)$ のみに依存する。この周期 8 のパターンはボット周期性として知られており、 $J$ 準同型の像を介して球面の安定ホモトピー群に反映される。

$k が8 を$ 法として0 または 1 と同値である場合、位数 2 の巡回群。
$k が$ 8 を法として 2、4、5、または 6 と合同であれば自明であり、
分母に等しい位数の巡回群 $⁠$ $B 2 メートル / 4 メートル ⁠$ 、ただし、 $k$ $= 4$ $m$ $- 1 \equiv 3 (mod 4)$ の場合、 $B 2 m は$ ベルヌーイ数です。

この最後のケースは、 $k$ の値がそのような場合、 $π n + k (S n)$ の異常に大きな有限位数の元を説明する。例えば、安定群 $π$ $n$ $+11$ $($ $S$ $n$ $)$ は、 $⁠$ $B6 6番 / 12 ⁠ = ⁠ 1 / 504 ⁠$ .^[要出典]

$球面の安定ホモトピー群は、 J 準$ 同型の像と、アダムス $e$ 不変量の核、つまりこれらの群からへの準同型との直和です。大まかに言えば、 $J$ 準同型の像は、安定ホモトピー群の「よく理解されている」または「簡単な」要素の部分群です。これらのよく理解されている要素は、小さな次元の球面の安定ホモトピー群のほとんどの要素を説明します。π の $商$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $S n$ $J$ 準同型の像は球面の安定ホモトピー群の「難しい」部分であると考えられている（アダムス1966）。（アダムスは $π$ の特定の2次元 $μnも導入した。$ $S n$ 球面のホモトピー群の表では $、$ スペースを節約するために「簡単な」部分 $im($ $J$ $)を省略することがある。$ ^[^要 $出典$ ^]

リング構造

直和

\pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}

球面の安定ホモトピー群のは超可換次数環であり、乗法は表現写像の合成によって与えられ、非零次数の任意の元は冪零である。^[31]複素コボルディズムに関する冪零定理は西田の定理を意味する。^[^要出典^]

例: $ηが$ $π$ の生成元である場合 $11$ （2次の）ならば $η 2$ はゼロでなく、 $π S2 $ $η 3 は$ ゼロでなく、 $π$ の生成元数の12倍である。 $S3 $ $η 4 は$ 0であるが、 $π$ 群は $S4 $ 些細なことだ。^[要出典]

$f$ と $g$ と $hが$ $π$ の要素である場合 $S *$ $f g = 0$ かつ $g \cdot h = 0$ のとき、これらの要素のToda 括弧 $⟨ f, g, h ⟩$ ^{が存在する。 [32]} Toda 括弧は、他の特定の要素の積の加算までしか定義されないため、安定ホモトピー群の要素とは言えない。Hiroshi Toda は、合成積と Toda 括弧を使用して、ホモトピー群の多くの要素にラベルを付けた。また、適切な下側の Toda 括弧が消えるときに定義される、いくつかの要素の高次の Toda 括弧も存在する。これは、コホモロジーにおけるMassey 積の理論と類似している。^[^要出典^] 球面の安定ホモトピー群のすべての要素は、ホップ要素と呼ばれるよく知られた特定の要素を使用して、合成積と高次の Toda 括弧を使用して表すことができる。^[33]

計算方法

$X が$ 有限基本群を持つ任意の有限単体複体である場合、特に $X が$ 次元が 2 以上の球面である場合、そのホモトピー群はすべて有限生成アーベル群である。これらの群を計算するには、各素数 $p$ について $p$ 成分に因数分解し、これらの $p$ 群をそれぞれ個別に計算することが多い。球面のホモトピー群の最初のいくつかは、上記のアイデアのアドホックなバリエーションを使用して計算できます。この点を超えると、球面のホモトピー群を計算するほとんどの方法はスペクトル列に基づいています。^[34]これは通常、適切なファイブレーションを構築し、関連するホモトピー群の長い正確な列を取ることによって行われます。スペクトル列は、このプロセスによって生成される複雑な情報を整理する体系的な方法です。^[^要出典^]

カルタンとセール (1952a, 1952b) による「ホモトピー群を消去する方法」は、ヒューレヴィッツの定理を繰り返し使用して最初の非自明なホモトピー群を計算し、次にアイレンバーグ-マクレーン空間を含むファイバ化でそれを消去 (除去) するというものです。原理的には、これは任意の有限単連結単体複体のホモトピー群をすべて計算するための効果的なアルゴリズムを提供しますが、実際には、ホモトピー群を消去するたびに単体複体がはるかに複雑になるため、最初のいくつかの非自明なホモトピー群以外の計算に使用するには面倒すぎます。
セールスペクトル列は、前述の結果のいくつかを証明するためにセールによって使用されました。セールは、行儀の良い空間のループ空間を取るとすべてのホモトピー群が 1 だけ下方にシフトするという事実を使用しました。そのため、空間 $Xの$ $n$ 番目のホモトピー群は、その ( $n$ $-1$ ) 倍の繰り返しループ空間の最初のホモトピー群であり、これは Hurewicz の定理により、( $n$ $-1 ) 倍のループ空間の最初のホモロジー群に等しくなります。これにより、$ $X$ のホモトピー群の計算が、その繰り返しループ空間のホモロジー群の計算に簡略化されます。セールスペクトル列は、空間のホモロジーをそのループ空間のホモロジーに関連付けるため、ループ空間のホモロジーを計算するために使用されることがあります。セールスペクトル列には、制御が難しい非ゼロの微分が多く含まれる傾向があり、高次のホモトピー群ではあいまいさが多すぎます。その結果、より強力なスペクトル列に取って代わられ、非ゼロ差分が少なくなり、より多くの情報が得られるようになった。^[^要出典^]
EHPスペクトル列は球面の多くのホモトピー群を計算するために使用できる。これは戸田がホモトピー群の計算に使用したいくつかのファイバリングに基づいている。^[35]^[32]
古典的なアダムススペクトル列は、Ext群 $Ext$ によって与えられる $E 2$ 項を持つ。 $*,* A (p) (Z p, Z p)$ を mod $p$ スティーンロッド代数 $A (p)$ 上で展開すると、安定ホモトピー群の $p成分に密接に関連するものに収束します。アダムススペクトル列の初期項自体は計算が非常に難しいため、$ メイスペクトル列と呼ばれる補助スペクトル列を使用して計算されることがあります。^[36]
奇数の素数では、アダムス・ノビコフスペクトル列は、アダムススペクトル列のより強力なバージョンであり、通常の $pを法とするコホモロジーを、$ 複素コボルディズムや、より一般的にはブラウン・ピーターソンコホモロジーと呼ばれるその一部などの一般化されたコホモロジー理論に置き換えたものである。最初の項は再び計算するのが非常に難しいが、これを行うには彩色スペクトル列を使用することができる。^[37]

この最後のアプローチのバリエーションは、ブラウン・ピーターソンコホモロジーに対するアダムス・ノビコフスペクトル列の逆バージョンを使用するものである。極限は既知であり、初期項には、探している球面の未知の安定ホモトピー群が含まれる。^[38]

モチーフアダムススペクトル列は球面のモチーフ安定ホモトピー群に収束する。複素数上のモチーフ群と古典的なものを比較することで、イサクセンは59-ステムまでの計算の厳密な証明を与えている。特に、イサクセンは56-ステムのコーカーJが0であると計算しており、したがってケルヴェア・ミルノーの研究により、球面 $S56 は$ 一意の滑らかな構造を持つ。^[39]

カーン・プリディ写像は、無限実射影空間の懸垂スペクトルから球スペクトルへのアダムススペクトル列の写像を誘導する。これは、正のステム上のアダムス $E 2$ ページ上で射影的である。王と徐は、カーン・プリディ写像を使用して球スペクトルのアダムス微分を帰納的に演繹する方法を開発した。彼らはいくつかのアダムス微分について詳細な議論を行い、60 および 61 ステムを計算した。彼らの結果の幾何学的帰結は、球 $S 61 が$ 唯一の滑らかな構造を持ち、最後の奇数次元球であるということであり、そのような球は $S 1$ 、 $S 3$ 、 $S 5$ 、および $S 61$ のみである。^[40]

$τ$ のモティヴィックコファイバー法は、今のところ素数 2 で最も効率的な方法です。クラス $τ$ はモティヴィック球面間の写像です。Gheorghe–Wang–Xu 定理は、 $τのコファイバーのモティヴィックアダムススペクトル列を$ $BP *$ の代数的ノビコフスペクトル列として識別します。これにより、純粋に代数的なデータから $τ$ のコファイバーのモティヴィックアダムス微分を演繹できます。次に、これらのモティヴィックアダムス微分をモティヴィック球面に引き戻し、ベッティ実現関数を使用して古典球面に押し進めることができます。^[41]この方法を使用して、Isaksen、Wang、Xu (2023) は 90 ステムまで計算します。^[1]

$S 2$ のホモトピー群の計算は、組合せ群論の問題に帰着した。Berrick et al. (2006) は、これらのホモトピー群を $S$ $2$ のブルン組紐群の特定の商として特定した。この対応関係によれば、 $π$ $n$ $($ $S$ $2$ $)の$ $n$ $> 2$ におけるすべての非自明な元は、円板 $D$ $2$ 上のブルン組紐ではない $S$ $2$ 上のブルン組紐によって表される可能性がある。たとえば、ホップ写像 $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ は、ボロミアン環に対応する。^[42]

アプリケーション

巻き数（ $π 1 (S 1) = Z$ の整数に相当）は、すべての非定数複素多項式には零点が存在するという代数の基本定理を証明するために使用できます。 ^[43]
$π n -1 (S n -1) = Z$ という事実は、 $n$ 次元球からそれ自身への連続写像はすべて不動点を持つというブラウワー不動点定理を意味する。 ^[44]
球面の安定ホモトピー群は、滑らかな写像や代数多様体の特異点の構造を研究する特異点理論において重要である。このような特異点は、 $mから$ $n$ への滑らかな写像の臨界点として生じる。このような写像 $の$ 臨界点付近の幾何学は、臨界点の周りの小さ $な$ $m$ $-$ $1$ 球面が臨界値の周りの位相的な n − 1 球面に写像される $様子$ $を$ $考慮$ することで、 $π$ $m -1 ( S$ $n -1$ $) の$ 要素によって記述できる。^[^要出典^] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
球面の3番目の安定ホモトピー群が24次の巡回群であるという事実は、ウラジミール・ロクリンによって最初に証明され、コンパクトな滑らかなスピン 4次元多様体の符号が16で割り切れるというロクリン定理を意味している。 ^[23]
球面の安定ホモトピー群は、向き付けられたホモトピー $n球面の$ h-コボルディズム類の群 $Θn を$ 記述するために使用される（ $n$ $\neq4$ の場合、これは向きを保存する微分同相写像までの $n$ 球面上の滑らかな構造の群である。この群の非自明な要素はエキゾチックな球面で表される）。より正確には、入射写像が存在する。

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,

ここで、

bP n +1

は、平行化可能な多様体

πを

囲むホモトピー球面によって表される巡回部分群である。

S n

は球面のn

番目の安定ホモトピー群であり、

Jは

J

準同型の像である。これは

nが

2k -2の 形式

でない限り同型であり、その場合像の指数は1または2である。^[45]

上記の群 $Θn 、つまり球面の安定ホモトピー群は、位相的または$ 区分線型多様体 $上$ の可能な滑らかな構造の分類に使用されます。^[23]
$2$ $k$ $- 2$ 次元におけるKervaire 不変量1の多様体の存在に関するKervaire 不変量問題は、球面の安定ホモトピー群に関する問題に還元できます。たとえば、48 次までの安定ホモトピー群の知識は、 $2$ $6$ $- 2 = 62$ 次元における Kervaire 不変量問題を解決するために使用されました。(これは、当時未解決であった $k$ の最小値でした。) ^[46]
バラット・プリディの定理によれば、球面の安定ホモトピー群は対称群の分類空間に適用されたプラス構成によって表現でき、 1つの要素を持つ体のK理論と安定ホモトピー群を同一視できる。 ^[47]

ホモトピー群の表

球面のホモトピー群の表は、 $π n + k (S n)$ を示すことによって最も便利に整理されます。

$次の表はπ n + k (S n)$ の多くの群を示している。安定なホモトピー群は青で強調表示され、不安定なホモトピー群は赤で強調表示されている。各ホモトピー群は、次の規則を使用して、表に示されている順序の巡回群の積である：^[48]

エントリ「⋅」は自明なグループを表します。
要素が整数mの場合、ホモトピー群はその順序の巡回群です（通常は Z m と表記 $さ$ れ $ます）$ 。
エントリが∞の場合、ホモトピー群は無限巡回群Z $です$ 。
エントリが積である場合、ホモトピー群はそれらの順序の巡回群の直積（つまり、直和）です。べき乗は繰り返し積を示します。（ $a$ と $bに$ 共通因数がない場合、 $Z a \timesZ b は$ $Z$ $ab$ と同型であることに注意してください。）

例: $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = Z\timesZ 2 \timesZ 2 \timesZ 2$ 、これは表では $\infty\cdot2 3$ と表されます。

安定ホモトピー群の表

安定ホモトピー群 $π S k$ は、表に示されている無限または素数のべき乗順序の巡回群の積です。（主に歴史的な理由から、安定ホモトピー群は通常、素数のべき乗順序の巡回群の積として与えられますが、不安定ホモトピー群の表では、それらを最小の数の巡回群の積として与えることが多いです。） $p > 5の場合、$ $J$ 準同型で説明される $p$ 成分の部分は、 $2($ $p$ $- 1) が$ $k$ $+ 1$ を割り切る場合は $p$ の順序で巡回し、そうでない場合は 0 です。^[49]表の mod 8 の振る舞いは、J 準同型を介してボット周期性から来ており、そのイメージには下線が引かれています。

参考文献

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外部リンク

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[48] これらの表はToda (1962)の球面のホモトピー群の表に基づいています。

[49] Fuks 2001。2成分についてはIsaksen、Wang & Xu (2023)に記載されており、3成分と5成分についてはRavenel (2003)に記載されています。

背景

ん-球