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微分幾何学では、テニスボール定理は、球の表面上の滑らかな曲線で、球を接触したり交差したりすることなく面積が等しい 2 つの部分集合に分割するものは、少なくとも 4 つの変曲点、つまり曲線が接線の一方の側にのみ一貫して曲がらない点を持たなければならないと述べています。[ 1 ] テニスボール定理は、1994 年にウラジミール・アーノルドによってこの名前で初めて発表され、 [ 2 ] [ 3 ]しばしばアーノルドに帰せられますが、密接に関連する結果は、1968 年のベニアミノ・セグレの論文にそれより早く現れており、テニスボール定理自体は、1977 年のジョエル・L・ワイナーの論文にある定理の特殊なケースです。[ 4 ] [ 5 ]定理の名前は、標準的なテニスボールの形状に由来しており、その縫い目は (適切に滑らかにすると) 定理の条件を満たす曲線を形成します。野球ボールの縫い目にも同じような曲線が使われている。[ 1 ]
テニスボール定理は、閉じた半球に含まれない任意の曲線に一般化できる。球面上の中心対称曲線は、少なくとも6つの変曲点を持つ。この定理は、滑らかな閉じた平面曲線は少なくとも4つの極値曲率点を持つという4頂点定理に類似している。
正確には、二重連続微分可能関数の変曲点（球面上の曲線は点である以下のプロパティを持つ:連結成分を含む曲線と接線大円の交点（ほとんどの曲線の場合）単にそれ自体であるが、大円弧である可能性もある。）次に、転換点となるために、あらゆる地域がこの大円によって隔てられた両半球に属する曲線上の点を含まなければならない。定理によれば、すべての球を2つの等しい面積の成分に分割する曲線は、この意味で少なくとも4つの変曲点を持つ。[ 6 ]
テニスボールや野球ボールの縫い目は、4 つの半円弧からなる曲線で数学的にモデル化でき、これらの半円弧のペアが交わる場所にちょうど 4 つの変曲点があります。[ 7 ] 大円も球の表面を二等分し、曲線の各点に 1 つずつ、無限に多くの変曲点があります。ただし、曲線が球の表面積を均等に分割するという条件は、定理の必要条件です。大円ではない円など、面積を均等に分割しない他の曲線には、変曲点がまったくない場合があります。[ 1 ]
テニスボール定理の証明の一つは、曲線の点を局所的な曲率中心に向かって連続的に移動させるプロセスである曲線短縮フローを使用する。このフローを与えられた曲線に適用すると、曲線の滑らかさと面積二等分特性が維持されることが示される。さらに、曲線が流れるにつれて、変曲点の数は決して増加しない。このフローにより、最終的に曲線は大円に変換され、この円への収束はフーリエ級数で近似できる。曲線短縮は他の大円を変更しないため、この級数の最初の項はゼロであり、これをフーリエ級数のゼロの数に関するシュトゥルムの定理と組み合わせると、曲線がこの大円に近づくにつれて、少なくとも4つの変曲点を持つことが示される。したがって、元の曲線も少なくとも4つの変曲点を持つ。[ 8 ] [ 9 ]
テニスボール定理の一般化は、閉じた半球に含まれない球面上の任意の単純な滑らかな曲線に適用されます。元のテニスボール定理と同様に、そのような曲線は少なくとも 4 つの変曲点を持たなければなりません。[ 5 ] [ 10 ]球面上の曲線が中心対称である場合、少なくとも 6 つの変曲点を持たなければなりません。[ 10 ]
セグレ（1968）の密接に関連する定理も、3次元空間に埋め込まれた球面上の単純な閉じた球面曲線に関するものである。そのような曲線の場合、が球面上の滑らかな曲線の三次元凸包の頂点ではない任意の点である場合、曲線の少なくとも４つの点が、その点を通る接触平面を持つ。特に、半球に含まれない曲線の場合、この定理は次のように適用できます。球の中心において。球面曲線のすべての変曲点には、球の中心を通る接触面が存在するが、これは他の点にも当てはまる場合がある。[ 4 ] [ 5 ]
この定理は、平面上のすべての滑らかな単純閉曲線には4つの頂点（曲率の極値点）があるという4頂点定理に類似しています。また、射影平面上のすべての非縮約可能な滑らかな曲線には少なくとも3つの変曲点があるというアウグスト・フェルディナント・メビウスの定理にも類似しています。 [ 2 ] [ 9 ]
