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ユークリッド幾何学は、古代ギリシャの数学者 ユークリッドが幾何学の教科書『原論』で述べた数学体系である。ユークリッドのアプローチは、直感的に訴える公理（公準）の小さな集合を仮定し、そこから他の多くの命題（定理）を演繹するというものである。ユークリッドの結果の多くは以前にも述べられていたが、[1]ユークリッドはこれらの命題を論理体系にまとめ、それぞれの結果が公理と以前に証明された定理から証明されるようにした最初の人物であった。 [2]
『原論』は平面幾何学から始まる。平面幾何学は、最初の公理体系および数学的証明の最初の例として、今でも中等学校（高校）で教えられている。そして、 3次元の立体幾何学へと続く。『原論』の大部分は、現在では代数学や数論と呼ばれているものの結果を幾何学的な言葉で説明している。[1]
2000年以上もの間、「ユークリッド」という形容詞は不要でした。なぜなら、ユークリッドの公理は直感的に明らかだったため（平行線公理を除いて）、そこから証明される定理は絶対的に正しいとみなされ、したがって他の種類の幾何学は不可能だったからです。しかし、今日では、他の多くの自己矛盾の ない非ユークリッド幾何学が知られており、最初のものは19世紀初頭に発見されました。アルバート・アインシュタインの一般相対性理論の含意は、物理的空間自体はユークリッドではなく、ユークリッド空間は（重力場の強さに比べて）短い距離でのみその良い近似であるということです。[3]
ユークリッド幾何学は、点や線などの幾何学的対象の基本的性質を記述する公理から、それらの対象に関する命題へと論理的に進むという点で、総合幾何学の一例である。これは、座標を使用して代数式によって幾何学的性質を表現する、ほぼ2,000年後にルネ・デカルトによって導入された解析幾何学とは対照的である。
の要素
『原論』は主に幾何学に関する初期の知識を体系化したものです。初期の扱いに対するその改善は急速に認識され、その結果、初期のものを保存することにほとんど関心が寄せられなくなり、現在ではほぼすべてが失われています。
『Elements』には13冊の本があります。
第 1 巻から第 4 巻、および第 6 巻では平面幾何学について論じています。平面図形に関する多くの結果が証明されています。たとえば、「任意の三角形では、2 つの角度をどのような方法で組み合わせても、2 つの直角より小さくなります。」(第 1 巻命題 17) や、ピタゴラスの定理「直角三角形では、直角を囲む辺の正方形は、直角を含む辺の正方形に等しい。」(第 1 巻命題 47)
第 V 巻と第 VII 巻から第 X 巻では数論を扱い、線分の長さや表面領域の面積など、幾何学的に数を扱います。素数、有理数、無理数などの概念が導入されます。素数は無限に存在することが証明されます。
第 11 巻から第 13 巻は立体幾何学に関するものです。典型的な結果は、高さと底辺が同じ円錐と円柱の体積の比率が 1:3 になることです。プラトン立体が構築されます。
公理
ユークリッド幾何学は公理体系であり、すべての定理（「真の命題」）は少数の単純な公理から導かれる。非ユークリッド幾何学の出現まで、これらの公理は物理世界では明らかに真であると考えられていたため、すべての定理は等しく真であった。しかし、仮定から結論までのユークリッドの推論は、物理的現実とは無関係に有効であり続けている。[4]
ユークリッドは『原論』第一巻の冒頭近くで、平面幾何学に関する5つの公理（構成法）を示している（トーマス・ヒース訳）。 [5]
- 次のことを仮定します。
- 任意の点から任意の点まで直線を引くこと。
- 有限の直線を連続的に直線で作る（延長する） 。
- 任意の中心と距離 (半径) を持つ円を描画します。
- すべての直角は互いに等しい。
- [平行線公理]: 2 本の直線が交差する直線が同じ側の内角を 2 直角未満にする場合、その 2 本の直線を無限に延長すると、その内角が 2 直角未満になる側で交わる。
ユークリッドは、構築されたオブジェクトの存在のみを明示的に主張していますが、彼の推論では、暗黙のうちにそれらが一意であると想定しています。
要素には次の5つも含まれます。共通の概念:
- 同じものに等しいものは、互いにも等しい (ユークリッド関係の推移的性質)。
- 等しいものを等しいものに加えると、全体は等しくなります (等式の加法性)。
- 等しいものから等しいものを減算すると、その差は等しくなります (等式の減算特性)。
- 互いに一致するものは互いに等しい（反射的性質）。
- 全体は部分よりも大きい。
現代の学者は、ユークリッドの公理はユークリッドが提示するのに必要とした完全な論理的基礎を提供していないことに同意している。[6]現代の扱いでは、より広範で完全な公理のセットが使用されている。
平行線公理
古代人にとって、平行線公理は他の公理ほど自明ではないようだった。彼らは絶対確実な命題の体系を作ろうとしたが、彼らには平行線公理はより簡単な命題からの証明を必要とするかのように思われた。現在では、平行線公理が真である（他の公理に従う）一貫した幾何学体系と、それが偽である体系を構築できるため、そのような証明は不可能であることがわかっている。[7]ユークリッド自身も、平行線公理は他の公理とは質的に異なると考えていたようで、それは『原論』の構成からも明らかである。彼の最初の28の命題は、平行線公理がなくても証明できるものである。
平行線公理と論理的に同等な代替公理は数多く存在します(他の公理の文脈において)。たとえば、プレイフェアの公理は次のように述べています。
- 平面上では、与えられた直線上にない点を通り、与えられた直線と交わらない直線は最大で 1 本しか引くことができません。
残りの公理から少なくとも 1 本の平行線が存在することが証明できるため、「最大で」という節だけが必要です。
証明の方法
ユークリッド幾何学は構成的である。公理 1、2、3、5 は、特定の幾何学的図形の存在と一意性を主張しており、これらの主張は構成的な性質のものである。つまり、特定のものが存在すると告げられるだけでなく、コンパスと目盛りのない定規だけでそれらを作成する方法も示されている。[8]この意味で、ユークリッド幾何学は、集合論などの多くの現代の公理体系よりも具体的である。集合論では、オブジェクトの存在を主張しながらもその構築方法を述べなかったり、理論の範囲内で構築できないオブジェクトの存在を主張したりすることが多い。[9]厳密に言えば、紙の上の線は、形式体系内で定義されたオブジェクトのモデルであり、それらのオブジェクトのインスタンスではない。たとえば、ユークリッド直線には幅がないが、実際に描かれた線には幅がある。現代の数学者のほとんどが、非構成的証明を構成的証明と同じくらい妥当であると考えているが、それらはエレガントさ、直感性、実用性において劣ると考えられることが多い。ユークリッドの構成的証明は、しばしば誤った非構成的証明に取って代わった。例えば、すべての数が有理数であると仮定したピタゴラスの証明では、通常「…の最大公約数を見つけよ」といった文が要求された[10]。
ユークリッドは背理法による証明を頻繁に用いた。[11]
表記法と用語
点と図形の命名
点は通常、アルファベットの大文字を使用して命名されます。線、三角形、円などの他の図形は、関連する図形から明確に選択できる十分な数の点をリストすることによって命名されます。たとえば、三角形 ABC は通常、点 A、B、C を頂点とする三角形になります。
補角と補助角
合計が直角になる角度は、補角と呼ばれます。補角は、光線が同じ頂点を共有し、直角を形成する 2 つの元の光線の間の方向を向いているときに形成されます。2 つの元の光線の間にある光線の数は無限です。
合計が直角になる角度は補角です。補角は、1 本の光線が同じ頂点を共有し、直角 (180 度の角度) を形成する 2 本の元の光線の間にある方向を向いているときに形成されます。2 本の元の光線の間にある光線の数は無限です。
ユークリッド記法の現代版
現代の用語では、角度は通常、度またはラジアンで測定されます。
現代の教科書では、直線(無限)、半無限の放射線、有限の長さの線分と呼ばれる別々の図形が定義されていることがよくあります。ユークリッドは、放射線を一方向に無限に伸びる物体として論じるのではなく、通常は「線が十分な長さまで伸びた場合」などの表現を使用していましたが、時折「無限の線」に言及しました。ユークリッドにとって「線」は直線でも曲線でもあり、必要に応じてより具体的な「直線」という用語を使用しました。
いくつかの重要な、あるいはよく知られている結果
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ポンス・アシノラムまたはロバの橋の定理は、二等辺三角形では α = β かつ γ = δ であると述べています。 -
三角形の角の和の定理は、任意の三角形の 3 つの角 (この場合は角 α、β、γ) の合計は常に 180 度になるというものです。 -
ピタゴラスの定理によれば、直角三角形の両辺 ( aとb )上の 2 つの正方形の面積の合計は、斜辺 ( c )上の正方形の面積に等しくなります。 -
タレスの定理によれば、AC が直径であれば、B における角度は直角になります。
橋脚骨
ポンス・アシノラム（ロバの橋）は、二等辺三角形の底辺の角度は互いに等しく、さらに等しい直線を引けば底辺の下の角度も互いに等しくなることを示しています。[12]この名前は、この図形が原論で読者の知性を試す最初の本当のテストとして、またその後に続くより難しい命題への架け橋として頻繁に登場したことに由来しているのかもしれません。また、この幾何学図形が、足の確かなロバだけが渡れる急な橋に似ていることからも、この名前が付けられたのかもしれません。[13]
三角形の合同
三角形は、3 辺がすべて等しい (SSS)、2 辺とその間の角度が等しい (SAS)、または 2 つの角度と 1 辺が等しい (ASA) 場合、合同です (第 1 巻、命題 4、8、および 26)。3 つの角度が等しい三角形 (AAA) は相似ですが、必ずしも合同であるとは限りません。また、2 つの辺が等しく、隣接する角度を持つ三角形は、必ずしも等しい、または合同であるとは限りません。
三角形の角度の合計
三角形の角度の合計は直角（180度）に等しい。[14]これにより、正三角形には60度の内角が3つある。また、すべての三角形には少なくとも2つの鋭角と最大1つの鈍角または直角がある。
ピタゴラスの定理
有名なピタゴラスの定理（第 1 巻、命題 47）は、任意の直角三角形において、斜辺（直角の反対側の辺）を辺とする正方形の面積は、2 つの脚（直角で交わる 2 つの辺）を辺とする正方形の面積の合計に等しいと述べています。
タレスの定理
ミレトスのタレスにちなんで名付けられたタレスの定理は、A、B、Cが円上の点であり、線分ACが円の直径である場合、角ABCは直角であると述べています。カントルは、タレスがユークリッドの第1巻の命題32をユークリッドの第3巻の命題31と同じように使って定理を証明したと推測しました。[15] [16]
面積と体積のスケーリング
現代の用語では、平面図形の面積はその線寸法の2乗に比例し、立体の体積は立方体に比例します。ユークリッドは、円の面積[17]や平行六面体の体積[18]など、さまざまな特殊なケースでこの結果を証明しました。ユークリッドは比例定数の一部（すべてではありません）を決定しました。たとえば、球の体積は外接円柱の2/3であることを証明したのは、彼の後継者であるアルキメデスでした。 [19]
測定と算数のシステム
ユークリッド幾何学には、角度と距離という 2 つの基本的な測定方法があります。角度スケールは絶対的であり、ユークリッドは直角を基本単位として使用します。そのため、たとえば 45度の角度は直角の半分と呼ばれます。距離スケールは相対的です。つまり、特定の非ゼロの長さを持つ線分を単位として任意に選択し、他の距離はそれとの相対関係で表されます。距離の加算は、1 つの線分を別の線分の端にコピーしてその長さを延長する構造で表され、減算についても同様です。
面積と体積の測定は距離から導き出されます。たとえば、幅が 3、長さが 4 の長方形の面積は、積 12 を表します。この乗算の幾何学的解釈は 3 次元に限定されていたため、4 つ以上の数の積を直接解釈する方法はなく、ユークリッドはそのような積を避けましたが、たとえば第 IX 巻の命題 20 の証明ではそのような積が暗示されています。
ユークリッドは、一対の直線、または一対の平面図形や立体図形の長さ、面積、または体積がそれぞれ等しい場合、それらを「等しい」(ἴσος) と呼び、角度についても同様です。より強い用語である「合同」は、図形全体が別の図形と同じサイズと形状であるという考えを指します。あるいは、2 つの図形が合同である場合、一方を他方の上に移動して正確に一致させることができます (反転することは許可されています)。したがって、たとえば、2x6 の長方形と 3x4 の長方形は等しいですが合同ではありません。また、文字 R はその鏡像と合同です。サイズが異なることを除けば合同である図形は、相似であると呼ばれます。相似な図形のペアの対応する角度は等しく、対応する辺は互いに比例しています。
エンジニアリング
設計と分析
- 応力解析:応力解析- ユークリッド幾何学は、機械部品の応力分布を決定する上で極めて重要であり、構造の完全性と耐久性を確保するために不可欠です。
- 熱交換器の設計:熱交換器-熱工学では、ユークリッド幾何学を使用して熱交換器を設計します。幾何学的構成は熱効率に大きく影響します。詳細については、シェルアンドチューブ熱交換器とプレート熱交換器を参照してください。
ダイナミクス
- 振動解析:振動- ユークリッド幾何学は、機械システムの振動を解析および理解する上で不可欠であり、これらの振動に耐える、または効果的に利用できるシステムの設計に役立ちます。
CAD システム
- 3D モデリング: CAD (コンピュータ支援設計)システムでは、ユークリッド幾何学は機械部品の正確な 3D モデルを作成するための基本です。これらのモデルは、製造前に設計を視覚化してテストするために不可欠です。
- 設計と製造: CAM (コンピュータ支援製造)の多くはユークリッド幾何学に依存しています。CAD/CAM の設計ジオメトリは通常、平面、円柱、円錐、トーラス、およびその他の類似のユークリッド形式で囲まれた形状で構成されます。今日、CAD/CAM は、自動車や飛行機から船舶やスマートフォンまで、幅広い製品の設計に不可欠です。
- 製図手法の進化: 歴史的には、パスカルの定理やブリアンションの定理などの定理を含む高度なユークリッド幾何学は、製図手法に不可欠なものでした。しかし、現代の CAD システムの出現により、現代の設計および製造プロセスでは、これらの定理に関する詳細な知識はそれほど必要ではなくなりました。
回路設計
- PCB レイアウト:プリント回路基板 (PCB) 設計では、ユークリッド幾何学を利用してコンポーネントを効率的に配置および配線し、スペースを最適化しながら機能性を確保します。PCB 上の電子コンポーネントの効率的なレイアウトは、信号干渉を最小限に抑え、回路のパフォーマンスを最適化するために重要です。
電磁場と流体の流れ場
- アンテナ設計:アンテナ設計-アンテナのユークリッド幾何学はアンテナの設計に役立ちます。アンテナの設計では、空間配置と寸法が電磁波の送受信におけるアンテナとアレイのパフォーマンスに直接影響します。
- 場の理論:複素ポテンシャルフロー-非粘性流れ場と電磁場の研究では、ユークリッド幾何学がポテンシャルフローの問題を視覚化して解決するのに役立ちます。これは、3 次元空間における流体速度場と電磁場の相互作用を理解するために不可欠です。その関係は、非回転 ソレノイド場または保存ベクトル場によって特徴付けられます。
コントロール
- 計算ツール:ヤコビアン- ユークリッド幾何学は、機械工学と電気工学の両方の分野で変換と制御システムにヤコビアン行列を使用する際に不可欠であり、システムの動作と特性に関する洞察を提供します。ヤコビアンは、統計的回帰と曲線フィッティングにおける線形設計行列として機能します。非線形最小二乗法を参照してください。ヤコビアンは、ランダム行列、モーメント、統計、および診断にも使用されます。
その他の一般的な用途
ユークリッド幾何学は数学において基本的な地位を占めているため、ここで代表的な応用例をいくつか挙げる以上のことは現実的ではありません。
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測量士はレベルを使用する -
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放物面鏡は平行光線を焦点に集めます。
単語の語源が示唆するように、幾何学への関心の最も古い理由の1つであり、現在最も一般的な用途の1つは測量です。[20]さらに、幾何学は古典力学や、物体の視覚に対する認知的および計算的アプローチにも使用されています。ユークリッド幾何学からの特定の実用的な結果（3-4-5三角形の直角の性質など）は、正式に証明されるずっと前から使用されていました。[21]ユークリッド幾何学における測定の基本的なタイプは距離と角度であり、どちらも測量士が直接測定できます。歴史的に、距離はグンターの鎖などの鎖によって、角度は目盛り付き円と後にセオドライトを使用して測定されることがよくありました。
ユークリッド立体幾何学の応用として、n 次元における球の最も効率的なパッキングを見つける問題など、パッキング配置の決定があります。この問題は、エラー検出と訂正に応用されています。
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幾何学は芸術や建築に使われます。 -
給水塔は円錐、円筒、半球で構成されており、その体積は立体幾何学を使用して計算できます。 -
幾何学は折り紙のデザインに使用できます。
幾何学は建築において広く使われています。
幾何学は折り紙のデザインに利用できます。幾何学のいくつかの古典的な構築問題はコンパスと定規では不可能ですが、折り紙を使用すると解決できます。[22]
その後の歴史
アルキメデスとアポロニウス
アルキメデス（紀元前 287年頃 - 紀元前 212年頃）は、多くの歴史的逸話が記録されている多彩な人物であり、ユークリッドと並んで古代数学者の中でも最も偉大な人物の一人として記憶されています。彼の研究の基礎はユークリッドによって築かれましたが、彼の研究はユークリッドとは異なり、完全に独創的であったと考えられています。[23]彼は2次元と3次元のさまざまな図形の体積と面積の方程式を証明し、有限数のアルキメデスの性質を唱えました。
ペルガのアポロニウス（紀元前 240年頃 - 紀元前 190年頃）は、主に円錐曲線の研究で知られています。
17世紀: デカルト
ルネ・デカルト（1596-1650）は、幾何学を代数に変換することに焦点を当てた幾何学を形式化する代替方法である解析幾何学を開発した。 [24]
このアプローチでは、平面上の点はその直交座標( x、y ) で表され、線はその方程式で表されます。
ユークリッドの元々のアプローチでは、ピタゴラスの定理はユークリッドの公理から導かれます。デカルトのアプローチでは、公理は代数の公理であり、ピタゴラスの定理を表す方程式はユークリッドの公理の用語の 1 つを定義するものであり、現在では定理と見なされています。
方程式
2点P = ( p x , p y )とQ = ( q x , q y )の間の距離を定義することはユークリッド計量と呼ばれ、他の計量は非ユークリッド幾何学を定義します。
解析幾何学の観点から見ると、古典幾何学をコンパスと定規による作図に制限することは、1 次および 2 次方程式、たとえばy = 2 x + 1 (直線)、またはx 2 + y 2 = 7 (円) に制限することを意味します。
17世紀には、ジラール・デザルグが遠近法の理論に触発されて、無限遠における理想化された点、線、平面の概念を導入した。この結果は、一般化された幾何学の一種である射影幾何学とみなすことができるが、特殊なケースの数を減らした通常のユークリッド幾何学の証明を生成するためにも使用できる。[25]
18世紀
18世紀の幾何学者はユークリッドの境界を定義するのに苦労した。多くの人が最初の4つの公準から5番目の公準を証明しようとしたが、失敗した。1763年までに少なくとも28の異なる証明が発表されたが、すべて誤りであることが判明した。[26]
この時期に至るまで、幾何学者らはユークリッド幾何学でどのような作図が可能かを探ろうともしていた。例えば、コンパスと定規で角を三等分する問題は、公理がそれらの道具を使って実行できる構成的操作を指しているため、理論の中で自然に生じる問題である。しかし、何世紀にもわたる努力にもかかわらずこの問題の解決は見つからず、 1837年にピエール・ワンツェルがそのような作図は不可能であるという証明を発表した。不可能だと証明された他の作図には、立方体を倍にすることや円を二乗することなどがある。立方体を倍にする場合、作図が不可能なのは、コンパスと定規の方法では次数が2の整数乗である方程式が関係するのに対し、[27]立方体を倍にするには3次方程式を解く必要があることに由来する。
オイラーは、アフィン幾何学と呼ばれるユークリッド幾何学の一般化について論じた。これは、第 5 公準を変更せずに第 3 公準と第 4 公準を弱め、角度の概念 (したがって直角三角形は無意味になる) と線分の長さが一般に等しいという概念 (したがって円は無意味になる) を排除する一方で、直線間の同値関係としての平行性の概念と平行線分の長さが等しいという概念 (したがって線分は中点を持ち続ける) を保持するというものである。
19世紀
19世紀初頭、カルノーとメビウスは結果を単純化し統一する方法として、符号付き角度と線分の使用を体系的に開発しました。[28]
高次元
1840年代にウィリアム・ローワン・ハミルトンは四元数を開発し、ジョン・T・グレイブスとアーサー・ケイリーは八元数を開発しました。これらは複素数を拡張したノルム代数です。後に、四元数は4つの実直交座標を持つユークリッド幾何学システムでもあることが理解されました。[29]ケイリーは四元数を使用して4次元ユークリッド空間での回転を研究しました。[30]
20 世紀半ば、ルートヴィヒ・シュレーフリはユークリッド空間の一般概念を発展させ、ユークリッド幾何学を高次元に拡張しました。彼は多角形と多面体の高次元版である多面体(のちに多面体と呼ばれる)を定義しました。彼はその理論を発展させ、すべての正多面体 (つまり正多角形とプラトン立体の次元版) を発見しました。彼は、次元 4 には 6 つの正凸多面体があり、高次元すべてに 3 つ あることを発見しました。
シュレーフリはこの作品を比較的無名のまま演奏し、1901年に死後にようやく全文が出版されました。この作品は、 1948年にHSMコクセターによって再発見され、完全に文書化されるまで、ほとんど影響力を持ちませんでした。
1878 年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは、現在では幾何代数と呼ばれるものを導入し、ハミルトンの四元数をヘルマン・グラスマンの代数と統合し、特に 4 次元におけるこれらのシステムの幾何学的性質を明らかにしました。幾何代数の演算には、モデル化されている幾何学的オブジェクトを新しい位置にミラーリング、回転、変換、およびマッピングする効果があります。3次元球面上のクリフォード トーラスは、2 つの円の直積の最も単純で最も対称的な平面埋め込みです (円筒の表面が「平面」であるのと同じ意味で)。
非ユークリッド幾何学
1830年頃、ヤーノシュ・ボヤイとニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーが別々に非ユークリッド幾何学に関する研究を発表し、その中で平行線公理は成り立たないと主張したとき、今世紀の幾何学における最も影響力のある発展が起こった。[31]非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学と比較的一貫していることが証明されているため、平行線公理は他の公理から証明することはできない。
19 世紀には、ユークリッドの 10 の公理と共通概念が『原論』で述べられている定理のすべてを証明するのに十分ではないことも認識されました。たとえば、ユークリッドは暗黙のうちに任意の直線には少なくとも 2 つの点が含まれていると仮定しましたが、この仮定は他の公理からは証明できないため、それ自体が公理でなければなりません。上の図に示されているように、 『原論』の最初の幾何学的証明は、任意の線分が三角形の一部であるというものです。ユークリッドはこれを通常の方法、つまり両端の周囲に円を描き、その交点を 3 番目の頂点として構築しています。ただし、彼の公理は円が実際に交差することを保証していません。なぜなら、それらは連続性の幾何学的性質を主張していないためです。これは、デカルト的な用語で言えば、実数の完全性の性質に相当します。 1882年のモーリッツ・パッシュに始まり、幾何学の公理系は数多く改良され、その中で最もよく知られているのはヒルベルト[32]、 ジョージ・バーコフ[33]、タルスキ[34]の公理系である。
20世紀と相対性
アインシュタインの特殊相対性理論は、非ユークリッドである4 次元時空、ミンコフスキー空間を扱っています。これは、平行線公理が証明できないことを示すために数年前に導入された非ユークリッド幾何学が、物理世界を記述するのにも役立つことを示しています。
しかし、ミンコフスキー空間の 3 次元「空間部分」は、ユークリッド幾何学の空間のままである。これは一般相対論には当てはまらない。一般相対論では、時空の空間部分の幾何学はユークリッド幾何学ではない。[35]たとえば、3 本の光線で三角形が作られている場合、一般に、重力により内角の合計は 180 度にならない。地球や太陽のような比較的弱い重力場は、ユークリッドに近いが、正確にはユークリッドではない測定基準で表されます。20 世紀まで、ユークリッド幾何学からの光線のこれらの偏差を検出できる技術はなかったが、アインシュタインはそのような偏差が存在すると予測した。これらは後に、1919 年の日食中に太陽が星の光をわずかに曲げるなどの観測によって検証され、このような考慮は現在、GPSシステムを実行するソフトウェアの不可欠な部分となっている。[36]
空間構造の説明として
ユークリッドは、彼の公理は物理的現実についての自明の陳述であると信じていた。ユークリッドの証明は、ユークリッドの基本公理では明らかではないかもしれない仮定に依存しており、[37]特に、図形の特定の動きはその辺の長さや内角などの幾何学的特性を変えないという、いわゆるユークリッド運動には図形の並進、反射、回転が含まれる。[38]空間の物理的記述としてとらえると、公理 2 (直線の延長) は空間に穴や境界がないこと、公理 4 (直角の等式) は空間が等方性であり図形は合同を維持しながら任意の場所に移動できること、公理 5 (平行線公理) は空間が平坦である (固有の曲率を持たない) ことを主張している。[39]
上で述べたように、アルバート・アインシュタインの相対性理論はこの見解を大きく修正します。
ユークリッドが最初に定式化した公理の曖昧な性質により、空間が無限であるかどうか[40]（下記参照）やその位相がどのようなものかなど、空間の構造に対する他のいくつかの含意について、異なる解説者の間で意見の相違が生じる可能性があります。このシステムの現代のより厳密な再定式化[41]は通常、これらの問題をより明確に分離することを目指しています。このより現代的なアプローチの精神でユークリッドの公理を解釈すると、公理1〜4は無限空間または有限空間（楕円幾何学の場合など）のいずれにも一致し、5つの公理はすべてさまざまな位相（たとえば、2次元ユークリッド幾何学の 平面、円筒、またはトーラス）と一致します。
無限大の扱い
無限のオブジェクト
ユークリッドは「有限直線」（例えば、公準2）と「無限直線」（第1巻、命題12）を明確に区別することもあった。しかし、彼は通常、必要でない限りそのような区別をしなかった。公準は明示的に無限直線を指してはいないが、例えば、公準3、任意の半径の円の存在は空間が無限であることを意味していると解釈する評論家もいる。[40]
微小量の概念はエレア派によって以前にも広く議論されていたが、誰もそれをしっかりとした論理的根拠に置けず、ゼノンのパラドックスのようなパラドックスが普遍的に満足のいく形で解決されなかった。ユークリッドは微小量ではなく、枯渇法を用いた。 [42]
プロクロス（410-485年）などの後代の古代の注釈者たちは、無限に関する多くの疑問を証明を要する問題として扱い、例えばプロクロスは、線を構成する点の数が偶数の場合と奇数の場合を考慮した背理法による証明に基づいて、直線の無限分割可能性を証明したと主張した。[43]
20世紀初頭、オットー・シュトルツ、ポール・デュ・ボア＝レーモン、ジュゼッペ・ヴェロネーゼらは、ニュートン・ライプニッツの意味で2点間の距離が無限大または無限小になる可能性があるユークリッド幾何学の非アルキメデスモデルに関する物議を醸す研究を行った。[44] 50年後、アブラハム・ロビンソンはヴェロネーゼの研究に厳密な論理的基礎を与えた。[45]
無限のプロセス
古代の幾何学者は、平行線が交わらないという平行線公理は、空間の無限に遠い領域についての主張であり、物理的に検証できないため、他の公理よりも確実性が低いと考えていた可能性がある。[46]
帰納法による証明の現代的な定式化は17世紀まで発展しなかったが、後世の評論家の中には、例えば素数の無限性の証明など、ユークリッドの証明のいくつかにそれが暗黙的に含まれていると考える者もいる。[47]
ゼノンのパラドックスのような無限級数に関する想定上のパラドックスは、ユークリッド以前に存在していた。ユークリッドはそのような議論を避け、例えば、項の数が無限になる可能性については言及せずに、IX.35 で等比級数の部分和の表現を与えた。
論理的根拠
古典論理
ユークリッドは背理法による証明の方法を頻繁に使用したため、ユークリッド幾何学の伝統的な表現は古典論理を前提としており、古典論理ではすべての命題は真か偽のどちらかであり、つまり、任意の命題 P に対して、「P であるか、P でないか」という命題は自動的に真になります。
現代の厳格な基準
ユークリッド幾何学を確固たる公理的基盤の上に位置づけることは、何世紀にもわたって数学者たちの関心事であった。[48]原始概念、つまり未定義概念の役割は、 1900年のパリ会議でペアノ代表団のアレッサンドロ・パドアによって明確に提唱された。 [48] [49]
...理論を構築し始めると、未定義の記号は完全に意味を欠いており、証明されていない命題は単に未定義の記号に課せられた 条件であると想像することができます。
そうすると、私たちが最初に選択したアイデアの体系は、単に未定義のシンボルの1 つの解釈に過ぎません。しかし、この解釈は読者によって無視され、条件を満たす別の解釈に自由に置き換えることができます。
したがって、論理的な質問は経験的または心理学的な質問 から完全に独立します...
未定義記号のシステムは、未定義記号のシステムが各解釈によって順次置き換えられたときに生じる専門理論から得られる抽象化 と見なすことができます...
— パドア、理論的理論の理論、演繹的なケルコンクの序論の論理的理論
つまり、数学は階層的な枠組みの中で文脈に依存しない知識である。バートランド・ラッセルは次のように述べている。[50]
もし私たちの仮説が何かについてであり、特定のものについてではないなら、私たちの推論は数学を構成します。したがって、数学は、私たちが何について話しているのか、また私たちが言っていることが真実であるかどうかが決してわからない主題として定義できます。
— バートランド・ラッセル『数学と形而上学者』
このような基礎的なアプローチは、基礎主義と形式主義の間にあります。
公理的な定式化
幾何学は、間違った図形について正しい推論を行う科学です。
— ジョージ・ポリア『それを解決する方法』p. 208
- ユークリッドの公理：ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに提出した博士論文で、バートランド・ラッセルは、当時の哲学者たちの心の中でユークリッド幾何学が担っていた役割の変化をまとめた。[51]それは、実験に依存しない確かな知識と、実験的な入力を必要とする経験主義との間の対立であった。この問題は、平行線公理が必ずしも有効ではなく、その適用可能性は経験的な問題であり、適用可能な幾何学がユークリッド幾何学か非ユークリッド幾何学かを決定するものであることが発見されたことで明らかになった。
- ヒルベルトの公理: ヒルベルトの公理は、最も重要な幾何学定理を導き出すことができる、単純かつ完全な独立公理のセットを特定することを目標としていました。主な目的は、ユークリッド幾何学を厳密なものにすること (隠れた仮定を避けること) と、平行線公理の影響を明らかにすることでした。
- バーコフの公理：バーコフはユークリッド幾何学の4つの公理を提唱し、スケールと分度器を使って実験的に確認できる。このシステムは実数の性質に大きく依存している。[52] [53] [54]角度と距離の概念は基本的な概念となる。[55]
- タルスキの公理:アルフレッド・タルスキ(1902–1983)とその弟子たちは、初等ユークリッド幾何学を、一階述語論理で表現でき、論理的根拠として集合論に依存しない幾何学と定義した。 [56]これは、点集合を伴うヒルベルトの公理とは対照的である。[57]タルスキは、初等ユークリッド幾何学の公理的定式化が、ある意味で無矛盾かつ完全であることを証明した。すなわち、あらゆる命題に対して、真か偽かを示せるアルゴリズムが存在するということである。[34] (これはゲーデルの定理に違反しない。なぜなら、ユークリッド幾何学は定理を適用するのに十分な量の算術を記述できないためである。 [58] ) これは、初等ユークリッド幾何学がモデルとする実閉体の決定可能性と同等である。
参照
- 絶対幾何学
- 解析幾何学
- バーコフの公理
- 直交座標系
- ヒルベルトの公理
- 入射ジオメトリ
- インタラクティブ幾何学ソフトウェアのリスト
- メートル法空間
- 非ユークリッド幾何学
- 整列した幾何学
- 平行線公理
- 型理論
古典定理
注記
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参考文献
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- ミスナー、チャールズ W. ;ソーン、キップ S. ;ウィーラー、ジョン アーチボルド(1973)。重力。WH フリーマン。
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外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、ユークリッド幾何学に関連するメディアがあります。
- 「ユークリッド幾何学」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- 「平面三角法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- Kiran Kedlaya、Geometry Unbound、2011-10-26 にWayback Machineでアーカイブ(解析幾何学を使用した処理、PDF 形式、GFDL ライセンス)