四次関数

• もし${\displaystyle \Delta >0,}$価値${\displaystyle Q}$は非実数の複素数です。この場合、すべての根が非実数であるか、すべて実数であるかのどちらかです。後者の場合、 の値は${\displaystyle S}$は、表現されているにもかかわらず、現実でもある。${\displaystyle Q;}$これは、 3次関数の既約ケースを4次関数の現在の文脈に拡張したものです。三角関数を用いて、次のように純粋に実数的な方法で表現することもできます。

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

どこ

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• もし${\displaystyle \Delta \neq 0}$そして${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$の兆候${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ 選択する必要がある${\displaystyle Q\neq 0,}$つまり、定義する必要がある$\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$として${\displaystyle \Delta _{1},}$サインを維持する$\displaystyle \Delta _{1}.}$
• もし${\displaystyle S=0,}$すると、立方根の選択を変更しなければならない。${\displaystyle Q}$持つために${\displaystyle S\neq 0.}$これは、4次式が因数分解できる場合を除き、常に可能です。$\displaystyle \left(x+\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$結果は正しいが、この場合は立方根が必要ないという事実を隠しているため、誤解を招く。実際、このケースは分子が${\displaystyle q}$がゼロの場合、関連する縮約四次方程式は双二次方程式になります。したがって、以下の方法で解くことができます。
• もし${\displaystyle \Delta =0}$そして${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$そしてそれゆえに${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$少なくとも3つの根が互いに等しく、根は係数の有理関数である。三重根${\displaystyle x_{0}}$は、4次方程式とその2階微分の共通根である。${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$したがって、それはまた、4次式をその2階微分でユークリッド除算したときの剰余の唯一の根でもあり、それは線形多項式である。単純根${\displaystyle x_{1}}$から推測できる${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• もし${\displaystyle \Delta =0}$そして${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$上記の根の式は正しいが、誤解を招く恐れがあり、多項式が既約であり、根を表すのに立方根は必要ないという事実を隠している。

一般の4次関数を考える

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Q ( x ) = R ( x ) × S ( x )の場合、これは還元可能である。ここで、R ( x )とS ( x )は有理係数を持つ非定数多項式である（より一般的には、 Q ( x )の係数と同じ体上の係数を持つ）。このような因数分解は、次の 2 つの形式のいずれかをとる。

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

または

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

いずれの場合も、 Q ( x )の根は因数の根であり、二次関数または三次関数の根の公式を使用して計算できます。

このような因数分解の存在を検出するには、Q ( x )のレゾルベント3次式を用いるとよい。結果は以下の通りである。

• R上で作業する場合(つまり、係数が実数に制限されている場合) (または、より一般的には、何らかの実閉体上) には、常にそのような因数分解が存在します。
• Qを扱っている場合(つまり、係数が有理数に制限されている場合)、Q ( x )が既約であるかどうか、また既約である場合は、それをより低い次数の多項式の積としてどのように表現するかを決定するアルゴリズムが存在します。

実際、4次方程式を解くためのいくつかの方法（フェラーリの方法、デカルトの方法、そして程度は低いもののオイラーの方法）は、このような因数分解を見つけることに基づいています。

a ₃ = a ₁ = 0の場合、関数

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

これは双二次関数と呼ばれ、これをゼロに等しいとおくと双二次方程式が定義され、次のように簡単に解くことができます。

補助変数z = x ²とする。するとQ ( x )はzに関する二次式qとなる。q ( z ) = a 4 z ² + a ₂ z + a ₀ 。z ₊とz _−をq ( z )の根とする。すると、四次式Q ( x )の根は次のようになる_。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

多項式

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

P ( mx ) = x⁴ / ^m² P ( m / x )なので、^ほぼ回文です（m = 1の場合は回文です） 。 P ( x ) / x² = 0 の変数変換 z = x + m/xにより、二次方程式a₀z² + a₁z + a₂ - 2ma₀ = 0が^得られます_。x² - _xz + m = 0 なので、二次方程式P ( _x ⁾ = 0は、二次方程式の解^の公式を₂回適用することで解くことができます。

解を求める際には、一般的に、以下の簡単な変数変換によって4次式を縮約4次式に変換するのが望ましい。すべての公式が簡略化され、一部の解法はこの場合にのみ有効となる。元の4次式の根は、縮約4次式の根から逆の変数変換によって容易に求められる。

させて

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

は、私たちが解きたい一般的な4次方程式です。

a ₄で割ると、等価な方程式x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e = 0が得られます。ここで、b = ⁠ a ₃ / a ₄ ⁠、c = ⁠ a ₂ / a ₄ ⁠、d = ⁠ a ₁ / a ₄ ⁠、e = ⁠ a ₀ / a ₄ ⁠です。xにy − ⁠ b / 4 ⁠を代入し、項をまとめると、方程式y ⁴ + py ² + qy + r = 0 が得られます。ここで、

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

y _{0 が}この縮小された 4 次式の根である場合、 y ₀ − ⁠ b / 4 ⁠ (つまり、y ₀ − ⁠ a ₃ / 4 a ₄ ⁠ )は元の 4 次式の根であり、このプロセスによって元の 4 次式のすべての根が得られます。

前のセクションで説明したように、まずは縮退した4次方程式から始めることができます。

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

この縮約四次方程式は、ロドヴィコ・フェラーリによって発見された方法を用いて解くことができる。縮約方程式は次のように書き換えることができる（これは、平方を展開し、すべての項を左辺にまとめることで容易に確認できる）。

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

次に、左辺の因子に変数mを導入するため^、両辺に2y2m + pm + m2^を加えます。右辺のyのべき乗の係数をまとめると、次の式が得られます。

これは、 mにどのような値が与えられても、元の式と等価である。

mの値は任意に選択できるため、右辺の平方完成を満たすようにmを選択します。これは、この二次方程式のyの判別式がゼロであることを意味し、つまりmはこの方程式の根です。

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

これは次のように書き換えることができます

これは4次方程式のレゾルベント3次です。したがって、 mの値はカルダノの公式から得られます。mがこの方程式の根である場合、方程式( 1 )の右辺は2乗になります。

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

しかし、 m = 0の場合、これはゼロ除算を引き起こします。これはq = 0を意味し、したがって縮約された方程式は双二次方程式であり、より簡単な方法で解くことができます (上記を参照)。これは、数値係数を持つ明示的に与えられた方程式のみを解くフェラーリの時代には問題ではありませんでした。常に真となる一般的な式については、m ≠ 0となるような三次方程式の根を選択する必要があります。これは、縮約された方程式y ⁴ = 0を除いて常に可能です。

ここで、m がm ≠ 0となるような三次方程式の根である場合、式 ( 1 ) は次のようになる。

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

この方程式はM ² = N ²の形であり、 M ² − N ² = 0または( M + N )( M − N ) = 0と変形できます。したがって、方程式 ( 1 ) は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

この方程式は、各因数に二次方程式の解の公式を適用することで簡単に解くことができます。それらを解くと、4つの根は次のように表すことができます。

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

ここで、± ₁と± _{2 は}それぞれ+または−を表します。± ₁が 2 回出現する場合は同じ符号を表す必要があるため、各根に対して 4 つの可能性が残ります。

したがって、元の4次方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

上記の一般式と比較すると、 √ 2 m = 2 Sであることがわかります。

デカルト^{[ 14 ]}は1637年に、4次多項式を2つの2次多項式に因数分解することによってその根を求める方法を導入した。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

係数を等しくすることで、次の連立方程式が得られます。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

これは、 y − b /4をxに代入して得られる、縮約された 4 次式y ⁴ + py ² + qy + rからやり直すことで簡略化できます。y ³の係数は0なので、 s = − uとなり、次のようになります。 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

tとvの両方を消去するには、以下の手順を実行すればよい。

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

U = u ²と設定すると、この方程式を解くことは、レゾルベント三次方程式の根を求めることになります。

これは他の場所で行われている。このレゾルベント三次方程式は、U = 2m を代入することでわかるように、上記のレゾルベント三次方程式（式（1a））と等価である。

u がこのレゾルベントの非ゼロ根の平方根である場合(このような非ゼロ根は、自明に因数分解される4 次式x ^{4を除いて存在する)、}

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

この解における対称性は以下のとおりです。3次方程式には3つの根があり、これは4次方程式を2つの2次方程式に因数分解できる3つの方法に対応しています。また、Uの平方根であるuに正または負の値を選択することで、2つの2次方程式が入れ替わるだけです。

上記の解は、有理係数を持つ4次多項式で、3次項の係数がゼロである場合、分解3次式( 2 )が有理数の2乗である非ゼロ根を持つか、p2 - 4rが有理数の^2乗でq = 0である場合に限り、有理係数を持つ2次式に因数分解できることを示しています。これは、有理根判定法を用いて容易に確認できます。^{[ 15 ]}

前述の方法の変形はオイラーによるものである。^{[ 16 ] [ 17 ]}前述の方法はいずれもレゾルベント三次方程式の根を用いるのに対し、オイラーの方法はすべてを用いる。縮退四次方程式x⁴ + px² + ^qx + r^を考える。次の点に注意する。

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v )、
• r ₁とr _2はx ² + sx + tの根です。
• r ₃とr _4はx ² − sx + vの根です。

それから

• x ⁴ + px ² + qx + rの根はr ₁、r ₂、r ₃、r ₄です。
• r ₁ + r ₂ = − s、
• r ₃ + r ₄ = s。

したがって、( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) = − s ^{2 と}なります。言い換えれば、−( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ )はレゾルベント三次式 ( 2 ) の根の 1 つであり、このことから、その三次式の根は−( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ )、−( r ₁ + r ₃ )( r ₂ + r ₄ )、および−( r ₁ + r ₄ )( r ₂ + r ₃ )に等しいことがわかります。これは確かに正しく、ヴィエタの公式から導かれます。また、ヴィエタの公式と、私たちが縮退四次方程式を扱っているという事実から、r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0が成り立つ。(もちろん、これはr ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + sという事実からも導かれる。) したがって、α、β、γがレゾルベント三次方程式の根である場合、r ₁、r ₂、r ₃、r ₄の値は、

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

最初の 2 つの式から、 r ₁ + r _2はαの平方根であり、r ₃ + r _4はαのもう 1 つの平方根であることがわかります。同じ理由で、

• r ₁ + r _3はβの平方根です。
• r ₂ + r _4はβのもう 1 つの平方根です。
• r ₁ + r _4はγの平方根です。
• r ₂ + r _3はγのもう 1 つの平方根です。

したがって、数r ₁、r ₂、r ₃、r ₄は次のようになります。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

平方根の符号については後述します。この連立方程式の唯一の解は次のとおりです。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

一般に、各平方根には 2 つの選択肢があるため、これは集合{ r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } に対して8 (= 2 ³ )の選択肢を提供するように見えるかもしれませんが、実際には、そのような選択肢は2 つ以下です。これは、1 つの平方根を対称平方根に置き換えると、集合{ r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } が集合{− r ₁ , − r ₂ , − r ₃ , − r ₄ } になるからです。 

平方根の正しい符号を決定するには、各数α、β、γに対して何らかの平方根を選択し、それらを使用して前の等式から数r ₁、r ₂、r ₃、r ₄を計算します。次に、数√ α √ β √ γを計算します。α、β、γ は ( 2 ) の根であるため、ヴィエタの公式から、それらの積はq ²に等しく、したがって√ α √ β √ γ = ± qとなります。しかし、簡単な計算により、

√ α √ β √ γ = r ₁ r ₂ r ₃ + r ₁ r ₂ r ₄ + r ₁ r ₃ r ₄ + r ₂ r ₃ r ₄。

この数が −q であれば、平方根の選択は適切であった（これもまた、ヴィエタの公式による）。そうでなければ、多項式の根は −r1、−r2、−r3、−r4 となり、_これらは平方根の₁つを対称平方根に置き換えた場合（または、実質的に同じことであるが、 3_つの平方根のそれぞれを対称平方根に置き換えた場合）に得られる数である。

この議論は、平方根を選択する別の方法を示唆している。

• αの任意の平方根√ αとβの任意の平方根√ βを選択する。
• √γを次のように定義する${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$。

もちろん、αまたはβが0に等しい場合は意味がありませんが、0はq = 0の場合、つまり双二次方程式を扱っている場合にのみ ( 2 )の根になります。この場合、はるかに簡単なアプローチがあります。

4つの要素上の対称群 S4は_、クライン4群を正規部分群として持つ。これは、根が離散フーリエ変換または根のアダマール行列として様々に記述できるレゾルベント3次式。一般的な方法についてはラグランジュレゾルベントを参照。x4+ bx 3 + ^cx 2 + ^dx + eの4つの根を、 i^が0から3までであるx _{iで表す。}  

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

変換は対合であるため、4 つのs _iを用いて根を全く同じ方法で表すことができます。s ₀ = − ⁠ b / 2 ⁠の値がわかっているので、 s ₁、s ₂、s ₃の値だけが必要です。 これらは多項式の根です。

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

s _{i を}x _iの値で置き換えると、この多項式は、係数がx _iの対称多項式であるsの多項式に展開できます。対称多項式の基本定理により、これらの係数は、単項四次式の係数の多項式として表すことができます。簡略化のために、四次式が縮約されている、つまりb = 0であると仮定すると、次の多項式が得られます。

この多項式は 6 次ですが、s ²に関しては 3 次なので、対応する方程式は、 3 次関数に関する記事で説明されている方法で解くことができます。 s _iに関するx _iの式に根を代入すると、根の式が得られます。 実際には、3 次多項式の根の番号と平方根に与えられる符号に応じて、いくつかの式が得られるようです。 これらの異なる式はすべて、 x _iの番号を変更するだけで、そのうちの 1 つから導き出すことができます。

これらの式は不必要に複雑で、1の立方根が含まれていますが、次のようにして回避できます。sが( 3 )の任意の非ゼロ根である場合、そしてと設定すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

したがって、 sを解いてから、二次方程式の解の公式を使用して 2 つの因数の根を解くことで、 4 次方程式を解くことができます。

これは、デカルトの方法で得られたものと全く同じ根の公式を与える。

代数幾何学を用いた別の解法もある^{[ 18 ]。}簡単に言うと、根を2つの二次曲線の交点として解釈し、これらの点を通る3つの既約二次曲線（直線のペア）を見つけ（これはレゾルベント3次式に対応し、直線のペアはラグランジュレゾルベントである）、これらの線形方程式を用いて二次方程式を解く。

縮約された4次方程式x ⁴ + px ² + qx + r = 0の4つの根は、 2つの2次方程式y ² + py + qx + r = 0とy − x ² = 0の交点のx座標としても表すことができます。つまり、置換y = x ²を使用すると、2つの2次方程式が4点で交わることは、ベズーの定理の一例です。具体的には、4つの点は、 4次方程式の4つの根x _iに対してP _i ≔ ( x _i , x _i ² )です。

^{これら4点は、既約二次関数}y = x²上にあるため、共線ではありません。したがって、これらの点を通る1パラメータの二次関数族（曲線束）が存在します。2つの二次関数の射影化を3変数の二次形式で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

射影線上の任意の点[ λ , μ ]に対して、ペンシルはλF ₁ + μF ₂の形式で与えられます。つまり、λとμ が両方ともゼロではなく、2 次形式に定数を掛けてもその 2 次曲線のゼロは変わりません。

この鉛筆には、それぞれが2つの直線に対応する3つの簡約可能な二次式が含まれており、それぞれが4つの点のうち2つを通っています。${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$ = 6通りの異なる方法があります。これらをQ ₁ = L ₁₂ + L ₃₄、Q ₂ = L ₁₃ + L ₂₄、 Q ₃ = L ₁₄ + L ₂₃とします。これらのうち任意の 2 つを選んだ場合、それらの交点はちょうど 4 つの点になります。 

可約二次式は、二次形式λF ₁ + μF _{2 を}3×3行列として表すことによって決定できます。可約二次式は、この行列が特異であることに対応し、これは行列式がゼロであることと同等です。また、行列式はλとμ に関する同次 3 次多項式であり、レゾルベント三次式に対応します。