チャネル面

幾何学と位相幾何学において、チャネル面または運河面は、中心が空間曲線、その準線上にある球族の包絡線として形成される表面です。生成球の半径が一定の場合、運河面はパイプ面と呼ばれます。簡単な例を以下に示します。

• 直円筒（パイプ面、準線は直線、円筒の軸）
• トーラス（パイプ表面、準線は円）、
• 直円錐（管面、準線は直線（軸）、球の半径は一定ではない）、
• 回転面（運河面、準線は直線）、

正投影の場合、その輪郭曲線を円の包絡線として描くことができる ため、運河面は記述幾何学において重要な役割を果たします。

• 技術分野では、キャナル サーフェスを使用してサーフェスを滑らかにブレンドできます 。

暗黙曲面の鉛筆が与えられた場合

${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$、

2つの隣接する面は、 次の式を満たす曲線で交差する。 ${\displaystyle \Phi_{c}}$${\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}$そして。${\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}$

極限ではが得られます 。最後の式が次の定義の理由です。 ${\displaystyle \Delta c\to 0}$${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$

• を1パラメータの正則な陰関数面（少なくとも2回連続微分可能） の束とする。2つの方程式で定義される面${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}$

与えられた曲面の束の包絡線である。 ^[1]

を正則空間曲線、をおよびとする-関数とします。最後の条件は、曲線の曲率が対応する球の曲率よりも小さいことを意味します。1パラメータ球束の包絡線 ${\displaystyle \Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}$

は管面と呼ばれ、その準線はと呼ばれます。半径が一定の場合、それは管面と呼ばれます。 ${\displaystyle \ガンマ}$

封筒の状態

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$

上記の運河面の は、準線の接線に直交する平面の方程式の任意の値に対して成り立ちます 。したがって、エンベロープは円の集合です。この特性は、運河面のパラメトリック表現の鍵となります。円の中心（パラメータ の場合）は、対応する球の中心から の距離 （上記の条件を参照）を持ち、その半径は です。したがって、 ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}$${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r} }(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}( u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}$

ここでベクトルと接線ベクトルは正規直交基底を形成し、管表面のパラメトリック表現である。^[2]${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$

パイプ表面のパラメトリック表現は次のようになります。 ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

a) 最初の写真は運河の表面を示しており、

1. 螺旋を準線として${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0,4]}$
2. 半径関数。${\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }$
3. 選択肢は次のとおりです。${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e } } }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}$。

b) 2 番目の図では半径は一定です: 、つまり、運河の表面はパイプの表面です。${\displaystyle r(u):=0.2}$

c) 3. 図の場合、パイプ表面 b) にはパラメータがあります。${\displaystyle u\in [0,7.5]}$

d) 4番目の図はパイプノットを示しています。その準線はトーラス上の曲線です。

e) 5. 図はデュパンサイクライド（運河面）を示しています。

• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝フォッセン、ステファン（1952年）。『幾何学と想像力』（第2版）。チェルシー。219ページ。ISBN 0-8284-1087-9。

• M. Peternell と H. Pottmann: 運河面の有理パラメータ化の計算