デュパンシクリッド

楕円サイクライドは、以下の式でパラメトリックに表現できます（「チャネル表面としてのサイクライド」のセクションを参照）。

${\displaystyle x={\frac {d(ca\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{ac\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle y={\frac {b\sin u(ad\cos v)}{ac\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle z={\frac {b\sin v(c\cos ud)}{ac\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle 0\leq u,v<2\pi \ .}$

数字${\displaystyle a,b,c,d}$半長軸と半短軸は、${\displaystyle c}$楕円の線形離心率：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,z=0\ .}$

双曲線${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,y=0}$ は楕円の焦点円錐曲線です。つまり、楕円の焦点/頂点は双曲線の頂点/焦点と一致します。この2つの円錐曲線は、サイクライドの2つの退化した焦点面を形成します。

${\displaystyle d}$これは、生成球の平均半径と考えることができる。

のために${\displaystyle u=const}$、${\displaystyle v=const}$それぞれ、曲面の曲率線（円）が得られる。

対応する暗黙的表現は、${\displaystyle b^{2}+c^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}-4b^{2}y^{2}=0\ .}$

の場合 ${\displaystyle a=b}$1つ手に入れる${\displaystyle c=0}$つまり、楕円は円になり、双曲線は直線に退化する。対応するサイクライドは回転トーラスである。

より直感的な設計パラメータとしては、サイクライドとx軸との交点があります。x軸上の4点を通るサイクライドのセクションを参照してください。

放物線サイクライドは、以下のパラメトリック表現で表すことができます（「チャネル表面としてのサイクライド」のセクションを参照）。

${\displaystyle x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle -\infty <u,v<\infty \ .}$

番号${\displaystyle p}$焦点円錐曲線である放物線の形状を決定します。

${\displaystyle y^{2}=p^{2}-2px,\ z=0\ }$そして${\displaystyle \ z^{2}=2px,\ y=0\ .}$

${\displaystyle k}$2つの穴の直径の関係を決定します（図を参照）。${\displaystyle k=0.5}$つまり、両方の直径が等しいということです。図は${\displaystyle k=0.7}$。

対応する暗黙的表現は

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .}$

注記：円を表示すると、パラメータの必要な制限によって生じる隙間が生じます。${\displaystyle u,v}$。

xy平面では、準線は方程式で表される楕円である。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ z=0\quad }$そして${\displaystyle \ a>b}$。

パラメトリック表現を持つ

${\displaystyle \ x=a\cos \varphi \;,\ y=b\sin \varphi \;,\ z=0\ .}$

${\displaystyle a}$はセミメジャーで${\displaystyle b}$短軸。 ${\displaystyle c}$は楕円の線形離心率である。したがって：${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$生成球の半径は

${\displaystyle r(\varphi )=d-c\cos \varphi \ .}$

${\displaystyle d}$は設計パラメータです。球の半径の平均と考えることができます。${\displaystyle c=0}$楕円は円であり、サイクライドは回転トーラスである。${\displaystyle d}$生成円（母線）の半径。

図において：${\displaystyle \;a=1,\;b=0.99,\ d=0.25\;}$。

実際の球の中心（楕円の点）と対応する球の半径との間の以下の単純な関係は、マックスウェルによるものです。^{[ 5 ]}

• 球の半径と、球の中心（楕円の中心点）から（固定された）焦点の1つまでの距離との差／和は一定である。

証拠

楕円の焦点${\displaystyle \ E=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\ }$は ${\displaystyle \ F_{i}=(\pm c,0,0)\ }$選択すれば${\displaystyle \ F_{1}=(c,0,0)\ }$距離を計算します${\displaystyle \ |EF_{1}|\ }$すると、${\displaystyle \ |EF_{1}|=a-c\cos \varphi \ }$実際の球の半径（上記参照）と合わせると、${\displaystyle \ |EF_{1}|-r=a-d\ }$ もう一方の焦点を選択すると、次のようになります。 ${\displaystyle \ |EF_{2}|+r=a+d\ .}$

したがって：

xy平面では、球の円の包絡線は、楕円の焦点を中心とし、半径が 2 つの円になります。${\displaystyle a\pm d}$（図を参照）。

マクスウェル特性は、環状サイクリッドをx軸との交点によって決定する理由を与える。

与えられた条件： 4点${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$x軸上に配置します（図を参照）。

求む：センター${\displaystyle m_{0}}$半軸${\displaystyle a,b}$線形偏心率${\displaystyle c}$準線楕円の焦点とパラメータ${\displaystyle d}$対応する環状サイクリドの。

マクスウェル特性から、

${\displaystyle 2(a+d)=x_{1}-x_{4}\;,\quad \ 2(a-d)=x_{2}-x_{3}\ .}$

解決する${\displaystyle a,c}$収量

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right),\quad }$${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\ .}$

焦点（x軸上）は

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{3}),\quad f_{2}={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{4})}$そしてそれゆえに

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left(-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

焦点円錐曲線（楕円と双曲線）の中心のx座標は

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\ .}$

上記のパラメトリック表現を用いてサイクライドを表示したい場合は、シフトを考慮する必要があります。${\displaystyle m_{0}}$中心の ！

数字の順序の意味${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

（上記の計算は、${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$（図を参照。）

（H）スワッピング${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ホーンサイクリドを生成する。 （S）スワッピング${\displaystyle x_{2},x_{3}}$スピンドル環状化合物を生成する。( H1)${\displaystyle x_{1}=x_{2}=2}$1-角サイクリッドが得られる。( R)${\displaystyle x_{2}=x_{3}=0}$原点で自身に接する環状サイクリドが得られる。

パラメータを増減することで${\displaystyle d}$型が変わらないようにすると、同じ型の平行な曲面（平行曲線に似ている）が得られます（図を参照）。

リングサイクライドをチャネル表面として生成する2番目の方法は、焦点双曲線を準線として使用するものです。その式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ y=0\ .}$

この場合、球は第2の円群（曲率線）でサイクライドに外側から接しています。双曲線の各腕には、円のサブファミリーが属しています。一方のファミリーの球はサイクライドを囲んでいます（図では紫色）。もう一方のファミリーの球は、サイクライド（青色）に外側から接しています。

双曲線の媒介変数表示：

${\displaystyle (\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\ .}$

対応する球の半径は

${\displaystyle R(\psi )=a\cosh \psi \mp d\ .}$

トーラスの場合（${\displaystyle c=0}$双曲線はトーラスの軸に退化する。

双曲線の焦点${\displaystyle \;H_{\pm }(\psi )=(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$は${\displaystyle \;F_{i}=(\pm a,0,0)\;}$双曲線上の点の距離${\displaystyle \;H_{+}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$焦点へ${\displaystyle F_{1}}$は${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|=a\cosh \psi -c\;}$そして球の半径とともに${\displaystyle R_{+}(\psi )=a\cosh \psi -d}$1つ手に入れる${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|-R_{+}=d-c\;}$同様に、${\displaystyle \;|H_{+}F_{2}|-R_{+}=d+c\;}$双曲線の2番目の腕上の点については、次の式が導かれる。${\displaystyle \;R_{-}-|H_{-}F_{1}|=d-c\;,\ R_{-}-|H_{-}F_{2}|=d+c\;.}$

したがって：

xz平面では、中​​心を持つ球の円は${\displaystyle H_{\pm }(\psi )}$半径${\displaystyle R_{\pm }(\psi )}$中心を持つ 2 つの円 (図の灰色) があります。${\displaystyle F_{1/2}=(\pm a,0,0)}$半径${\displaystyle d\mp c}$封筒として。

a) 原点を含まない線は、球面 (図ではマゼンタ) での反転により原点を含む円に写像されるため、円筒の像は原点で互いに接する円を持つ環状サイクライドになります。図に示されている線分の像として、線上の円のセグメントが像として現れます。円筒の内側で接する球は、サイクライドを溝面として生成する最初の球束に写像されます。円筒の接平面の像は、サイクライドに接する2番目の球束になります。後者は原点を通ります。 b) 2 番目の例では、原点を含む円筒を反転します。原点を通る線はそれ自身に写像されます。したがって、曲面は無限で放物線サイクライドになります。

円錐を生成する線分は円に写像され、それらの円は原点と円錐の頂点の像で交わります。円錐の像は二重角形サイクライドです。図は、円錐の線分（実際には円弧）の像を示しています。

トーラス上の円束（図参照）は、サイクライド上の対応する円束にそれぞれ写像されます。自己交差するトーラスの場合、紡錘状サイクライドが得られます。

ヴィラソーサークル

デュパン環サイクリッドは適切な反転によってトーラスの像と見なすことができ、反転は円を円または直線に写像するため、ヴィラソー円の像はサイクリッド上にさらに2つの円の族を形成します（図を参照）。

設計パラメータの決定${\displaystyle a,b,c,d}$

パラメトリック曲面の反転の公式（上記参照）は、円をパラメトリック曲線とするサイクライド（トーラスの反転として）のパラメトリック表現を提供する。しかし、パラメトリックネットの点は均等に分布していない。そのため、設計パラメータを計算する方が良い。${\displaystyle a,b,c,d}$そして、上記のパラメトリック表現を使用するには：

与えられたもの： x軸に沿って標準位置からずれたトーラス。${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$トーラスとx軸の交点（図を参照）。すべてゼロではない。そうでなければ、トーラスの反転はリングサイクライドにならない。 必要なのは半軸。${\displaystyle a,b}$および線形偏心率${\displaystyle c}$楕円の準線とパラメータ${\displaystyle d}$リングサイクリッドとは、単位球面における反転操作によってトーラスを反転させた像のことである。

反転マップ${\displaystyle x_{i}}$に${\displaystyle {\tfrac {1}{x_{i}}}}$これらは、環状サイクリドの4点のx座標です（図を参照）。x軸上の4点を通るサイクリドのセクションから、次の式が得られます。

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}-{\frac {1}{x_{4}}}\right),\quad }$${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ }$そして

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}-{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

焦点円錐の中心のx座標は

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ .}$