ハイネ・ボレル定理

集合がコンパクトであれば、それは必ず閉じた集合でなければならない。

させて${\displaystyle S}$のサブセットである$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$まず、以下を観察してください。${\displaystyle a}$限界点​${\displaystyle S}$すると、任意の有限集合${\displaystyle C}$開集合の、各開集合が${\displaystyle U\in C}$ある近隣地域とは分離している${\displaystyle V_{U}}$の${\displaystyle a}$カバーにはなりません${\displaystyle S}$実際、有限集合族の共通部分は${\displaystyle V_{U}}$近隣地域${\displaystyle W}$の${\displaystyle a}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。 以来${\displaystyle a}$限界点${\displaystyle S}$、${\displaystyle W}$ポイントを含まなければならない${\displaystyle x}$で${\displaystyle S}$。 これ${\displaystyle x\in S}$家族には適用されません${\displaystyle C}$なぜなら、${\displaystyle U}$で${\displaystyle C}$は${\displaystyle V_{U}}$したがって、${\displaystyle W}$これには${\displaystyle x}$。

もし${\displaystyle S}$コンパクトだが閉じていない、その場合限界点が存在する${\displaystyle a\not \in S}$コレクションを考えてみましょう${\displaystyle C'}$開放的な近隣地域から成る${\displaystyle N(x)}$各${\displaystyle x\in S}$近隣地域と重ならないように十分小さいサイズを選択した${\displaystyle V_{x}}$の${\displaystyle a}$。 それから${\displaystyle C'}$開いたカバーは${\displaystyle S}$しかし、有限サブコレクション${\displaystyle C'}$形式は${\displaystyle C}$前述の通り、したがって、${\displaystyle S}$これはコンパクトさと矛盾する${\displaystyle S}$したがって、すべての限界点は${\displaystyle S}$は${\displaystyle S}$、 それで${\displaystyle S}$閉店しました。

上記の証明は、コンパクト部分集合が${\displaystyle S}$ハウスドルフ位相空間の${\displaystyle X}$閉鎖中${\displaystyle X}$。

集合がコンパクトであれば、その集合は有界である。

させて${\displaystyle S}$コンパクトセットになる$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 そして${\displaystyle U_{x}}$半径1の球で、中心は${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$。次に、中心が${\displaystyle x\in S}$明らかに開いたカバー${\displaystyle S}$、 以来$\displaystyle \cup _{x\in S}U_{x}}$すべてが含まれています${\displaystyle S}$。 以来${\displaystyle S}$がコンパクトである場合、この被覆の有限部分被覆を取ります。この部分被覆は、半径 1 の球の有限個の和集合です。これらの (有限個の) 球 (半径 1) の中心のすべてのペアを考え、${\displaystyle M}$それらの間の距離の最大値とする。${\displaystyle C_{p}}$そして${\displaystyle C_{q}}$は、それぞれ任意の${\displaystyle p,q\in S}$三角不等式は次のように述べている。

$$\displaystyle d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1=M+2.}$$

したがって、直径は${\displaystyle S}$境界は${\displaystyle M+2}$。

補題：コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトである。

させて${\displaystyle K}$コンパクト集合の閉部分集合である${\displaystyle T}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle C_{K}}$開いたカバー${\displaystyle K}$。 それから${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}\setminus K}$は開集合であり、

$${\displaystyle C_{T}=C_{K}\cup \{U\}}$$

開いたカバーは${\displaystyle T}$。 以来${\displaystyle T}$コンパクトであれば、${\displaystyle C_{T}}$有限部分被覆を持つ${\displaystyle C_{T}'}$より小さなセットもカバーしています${\displaystyle K}$。 以来${\displaystyle U}$いかなる点も含まれていない${\displaystyle K}$セット${\displaystyle K}$すでにカバーされています${\displaystyle C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\}}$つまり、元のコレクションの有限部分集合である。${\displaystyle C_{K}}$したがって、開いたカバーから抽出することが可能です。${\displaystyle C_{K}}$の${\displaystyle K}$有限部分被覆。

集合が閉じていて有界であれば、その集合はコンパクトである。

セットの場合${\displaystyle S}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$境界が定められている場合、それは${\displaystyle n}$-箱

$${\displaystyle T_{0}=[-a,a]^{n}}$$

どこ${\displaystyle a>0}$上記の補題により、以下を示すだけで十分である。${\displaystyle T_{0}}$コンパクトです。

矛盾を生じさせるため、${\displaystyle T_{0}}$コンパクトではない。その場合、無限に開いたカバーが存在する。${\displaystyle C}$の${\displaystyle T_{0}}$有限部分被覆を許容しない。各辺を二等分することにより、${\displaystyle T_{0}}$箱${\displaystyle T_{0}}$分解すると$2n$サブ${\displaystyle n}$-箱、それぞれの直径は、${\displaystyle T_{0}}$すると、少なくとも次の1つ$2n$セクション${\displaystyle T_{0}}$無限部分被覆を必要とする${\displaystyle C}$、 さもないと${\displaystyle C}$それ自体は、各セクションの有限カバーを結合することによって、有限部分カバーを持つことになる。このセクションを${\displaystyle T_{1}}$。

同様に、${\displaystyle T_{1}}$二等分することができ、$2n$セクション${\displaystyle T_{1}}$少なくともそのうちの１つは無限部分被覆を必要とする${\displaystyle C}$同様の方法で続けると、入れ子になった減少シーケンスが得られます。${\displaystyle n}$-ボックス:

$${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots }$$

辺の長さは${\displaystyle T_{k}}$は${\displaystyle (2a)/2^{k}}$これは、${\displaystyle k}$無限大に近づく。数列を定義しよう${\displaystyle (x_{k})}$それぞれ${\displaystyle x_{k}}$は${\displaystyle T_{k}}$この数列はコーシー数列なので、ある極限値に収束するはずです。${\displaystyle L}$それぞれ${\displaystyle T_{k}}$が閉じられ、各${\displaystyle k}$シーケンス${\displaystyle (x_{k})}$最終的には常に内部にある${\displaystyle T_{k}}$我々は、${\displaystyle L\in T_{k}}$各${\displaystyle k}$。

以来${\displaystyle C}$カバー${\displaystyle T_{0}}$すると、メンバーが何人かいる${\displaystyle U\in C}$そのため${\displaystyle L\in U}$。 以来${\displaystyle U}$開いているので、${\displaystyle n}$-ボール${\displaystyle B(L)\subseteq U}$十分に大きい場合${\displaystyle k}$1つは${\displaystyle T_{k}\subseteq B(L)\subseteq U}$しかし、メンバーの数は無限です${\displaystyle C}$カバーする必要があった${\displaystyle T_{k}}$1つだけで置き換えることができます。${\displaystyle U}$それは矛盾だ。

したがって、${\displaystyle T_{0}}$コンパクトです。${\displaystyle S}$は閉じており、コンパクト集合の部分集合である。${\displaystyle T_{0}}$、 それから${\displaystyle S}$もコンパクトである（上記の補題を参照）。

この定理は選択公理を用いずに証明できる。まず、次のことを証明する。

証明:${\displaystyle {\mathcal {U}}}$開いたカバー${\displaystyle I}$集合を考えてみましょう

${\displaystyle E=\{x\in [0,1]\mid [0,x]{\text{は}}\,{\mathcal {U}}\}の有限部分被覆によって覆われている。}$

空集合ではなく、有界集合である。したがって、${\displaystyle b:=\sup(E)}$有限数として存在する。我々は主張する${\displaystyle b=1}$そうでないと仮定すると、${\displaystyle b<1}$。 以来${\displaystyle {\mathcal {U}}}$カバーです、${\displaystyle b}$いくつか${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$sup の定義によれば、${\displaystyle x}$で${\displaystyle E}$と${\displaystyle [x,b]\subset U}$。それから${\displaystyle b'>b}$近い${\displaystyle b}$、

${\displaystyle [0,b']=[0,x]\cup [x,b']}$

有限部分被覆で覆われている${\displaystyle {\mathcal {U}}}$; つまり、${\displaystyle b'\in E}$それと矛盾する${\displaystyle b}$は上限です${\displaystyle E}$したがって、${\displaystyle b=1}$そして、同様の議論により、${\displaystyle b=1}$は${\displaystyle E}$。${\displaystyle \square }$

この定理は容易に導かれる。実際、有限積に関するチホノフの定理によれば、標準立方体は${\displaystyle I^{n}}$はコンパクトである（定理の完全なバージョンは選択公理と同等であるが、有限積の定理ははるかに簡単で、選択公理を使用しない。^{[ 4 ]}）立方体は互いに同相であるため、任意の立方体はコンパクトであり、各閉有界集合は何らかの立方体に含まれる。したがって、コンパクトである。最後に、逆（コンパクト集合が$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$選択公理なしで閉じていて有界である。^{[ 5 ]}${\displaystyle \square }$

また、公理の選択を仮定しない場合、次のようになります。^{[ 6 ]}

実際、「コンパクト」は、選択なしで「順次的にコンパクト」を意味する。次のとおりである。${\displaystyle x_{i}}$コンパクトセットで$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 取る${\displaystyle E_{i}={\overline {\{x_{j}\mid j\geq i\}}}}$家族${\displaystyle E_{i},i\geq 1}$は有限交差性を持つため、コンパクト性により空でない交差を持つ。${\displaystyle x\in \cap _{i}E_{i}}$.次に${\displaystyle U_{m}}$センターにオープンボールがある${\displaystyle x}$半径${\displaystyle 1/m}$。 以来${\displaystyle U_{1}}$交差する${\displaystyle \{x_{j}\mid j\geq 1\}}$、 させて${\displaystyle i_{1}}$最小の整数とする。${\displaystyle x_{i_{1}}}$は${\displaystyle U_{1}}$可能だから${\displaystyle \mathbb {N} }$は整列している。次に、${\displaystyle i_{2}}$最小の整数とする。${\displaystyle i_{2}>i_{1}}$そして${\displaystyle x_{i_{2}}}$は${\displaystyle U_{2}}$など。${\displaystyle x_{i_{k}}}$ならば、それは収束部分列である。${\displaystyle \square }$

上記のバージョンは、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、すなわち、有界数列が$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$収束する数列を持つ。

選択公理を用いると、上記の定理の逆が成り立つ。実際、明らかに「列コンパクト」は「閉集合」を意味する。また、集合が非有界であれば、明らかに列を構成できる。${\displaystyle x_{i}}$集合内で、${\displaystyle |x_{i}-x_{j}|\geq 1}$のために${\displaystyle j<i}$特に、この数列には収束数列が存在しない。このステップでは選択公理（より正確には可算選択公理）を用いる。

選択公理がなければ、上記の定理の逆は成り立たない。実際、ZF のモデルでは、${\displaystyle \mathbb {R} }$は、閉じても有界でもない、順次コンパクトな部分集合を持つ。^{[ 7 ]}

距離空間${\displaystyle (X,d)}$各閉集合が有界である場合、ハイネ・ボレル性質を持つと言われている^{[ 16 ]}${\displaystyle X}$コンパクトです。

多くの距離空間はハイネ・ボレル性を持たない。例えば、有理数の距離空間（あるいは不完全な距離空間）などが挙げられる。完全な距離空間もこの性質を持たない場合がある。例えば、無限次元のバナッハ空間は（距離空間として）ハイネ・ボレル性を持たない。さらに自明な例として、実数直線が通常の距離を備えていない場合、ハイネ・ボレル性を持たない可能性がある。

距離空間${\displaystyle (X,d)}$ハイネ・ボレル計量はコーシー局所的に同一であり、${\displaystyle d}$完全である場合に限り、${\displaystyle \sigma }$-コンパクトであり、局所的にコンパクトである。^{[ 17 ]}

位相ベクトル空間${\displaystyle X}$各閉有界集合が^ハイネ・ボレル性質を持つと言われている^{[ 18 ]} （REエドワーズは有界コンパクト空間という用語を使用している^{[ 19 ] ）。}${\displaystyle X}$コンパクトである。^{[ 21 ]}無限次元バナッハ空間はハイネ・ボレル性を持たない（位相ベクトル空間として）。しかし、いくつかの無限次元フレシェ空間は、例えば空間のように、ハイネ・ボレル性を持つ。${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$開集合上の滑らかな関数${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$^{[ 19 ]}そして空間${\displaystyle H(\Omega )}$開集合上の正則関数の${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$^{[ 19 ]}より一般的には、 任意の準完備核空間はハイネ・ボレル特性を持つ。すべてのモンテル空間もハイネ・ボレル特性を持つ。