球形セクター

幾何学において、球面扇形^[1]、球面円錐形^[2]とも呼ばれる球または球体の一部分であり、その頂点は球の中心にある円錐状の境界で定義されます。球面のキャップと、球の中心とキャップの底面によって形成される円錐の結合として説明できます。これは、円の扇形の3次元版です。

球の半径をr、キャップの高さをhとすると、球面セクターの 体積は$${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.}$$

これは、φが円錐角の半分、つまり、φ が球の中心から見たキャップの縁とキャップの中央の方向との間の角度である、と表記されることもあります 。 φ が180 度に近づく場合が極限であり、その場合完全な球体を表します。 $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$

高さhは次のように表される 。$${\displaystyle h=r(1-\cos \varphi )\,.}$$

セクターの体積V は、キャップの 面積Aと次の関係にあります。$${\displaystyle V={\frac {rA}{3}}\,.}$$

球面セクターの曲​​面面積（球面上、円錐面を除く）は $${\displaystyle A=2\pi rh\,.}$$

また、 Ωは球面セクターの立体角で、単位 はSI 単位の立体角であるステラジアンです 。1 ステラジアンは、キャップ領域A = r ²によって囲まれる立体角として定義されます。 $${\displaystyle A=\Omega r^{2}}$$

体積は、積分関数をそれぞれ 1 つのダミー変数を持つ関数の積に分離できるため、積分が分離されている 球面セクターの体積にわたって 微分体積要素 を積分することによって計算できます。$${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }$$$${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \, d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi ) \,,}$$

面積は、 球面セクター上の 微分球面面積要素を積分することによって同様に計算でき、次の式が得られます。 ここで、φは傾斜 (または仰角)、θ は方位角 (右) です。rは定数であること に注意してください。この場合も、積分は分離できます。$${\displaystyle dA=r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta }$$$${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta =r^ {2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,,}$$

• 扇形— 類似の 2D 図形。
• 球形キャップ
• 球面セグメント
• 球状くさび