共線性

幾何学において、点の集合の共線性とは、それらが単一の直線上にある性質のことである。^[¹^]この性質を持つ点の集合は共線である（colinearと綴られることもある^[²^]）。より一般的には、この用語は整列した物体、つまり「一直線上にある」または「一列に並んでいる」ものに対して使用されてきた。

直線上の点

どのような幾何学においても、直線上の点の集合は共線であると言われます。ユークリッド幾何学では、この関係は「直線」上に一列に並んだ点として直感的に視覚化されます。しかし、ほとんどの幾何学（ユークリッド幾何学を含む）では、直線は通常、原始的（未定義）なオブジェクト型であるため、このような視覚化は必ずしも適切ではありません。幾何学のモデルは、点、直線、その他のオブジェクト型が互いにどのように関連しているかについての解釈を提供し、共線性などの概念はそのモデルの文脈の中で解釈されなければなりません。たとえば、球面幾何学では、標準モデルでは直線は球面の大円で表され、共線点の集合は同じ大円上にあります。このような点は、ユークリッド幾何学的な意味での「直線」上にはなく、一列に並んでいるとは考えられません。

幾何学的空間をそれ自身に写像し、線を線に写像するものを共線写像と呼び、共線性を保持します。ベクトル空間の線形写像（または線形関数）は、幾何学的写像として見ると、線を線に写像します。つまり、共線点集合を共線点集合に写像するため、共線写像となります。射影幾何学では、これらの線形写像はホモグラフィと呼ばれ、共線写像の一種です。

ユークリッド幾何学の例

三角形

任意の三角形において、以下の点の集合は同一直線上にある。

垂心、外心、重心、エクセター点、ド・ロンシャン点、および九点円の中心は同一直線上にあり、すべてオイラー線と呼ばれる直線上に位置する。
ド・ロンシャン点には他にも共線性がある。
任意の頂点、対辺と外接円との接点、およびナーゲル点は、三角形の分割線と呼ばれる直線上で同一直線上にある。
任意の辺の中点、三角形の境界線に沿ってその辺から両方向に等距離にある点（つまり、この2点が周長を二等分する点）、そしてシュピーカー円の中心は、三角形の切断線と呼ばれる直線上で同一直線上にある。（シュピーカー円は中点三角形の内接円であり、その中心は三角形の周長の重心である。）
任意の頂点、内接円と反対側の接線、およびゲルゴンヌ点は同一直線上にある。
三角形の外接円上の任意の点から、三角形の3辺を延長したそれぞれの辺上の最も近い点は、外接円上の点を通るシムソン線上で同一直線上にある。
標高線の足を結ぶ線は、反対側の辺と一直線上の点で交わる。^{[ 3 ]}^{： p.199}
三角形の内心、垂線の中点、およびその辺とそれに対応する外接円との接点は同一直線上にある。^{[ 4 ]}^{： p.120、#78}
メネラウスの定理によれば、3つの点が $P_{1}、P_{2}、P_{3}$ 三角形の頂点の反対側の辺（一部は延長） $A_{1},A_{2},A_{3}$ それぞれが共線であるのは、以下の線分の長さの積が等しい場合に限る。^{[ 3 ]}^{： p.147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

内心、重心、およびスピーカー円の中心は同一直線上にある。
三角形の外心、ブロカール中点、ルモワン点は同一直線上にある。 ^{[ 5 ]}
三角形の垂心で交わる2本の垂直な直線は、それぞれ三角形の延長された各辺と交わる。これらの交点の3辺の中点は、ドロズ・ファルニー線上で同一直線上にある。

四角形

凸四角形 $ABCD$ において、対辺が $E$ と $F$ で交わる場合、 $AC$ $、$ $BD$ $、$ $EF$ の中点は同一直線上にあり、それらを通る直線はニュートン線と呼ばれる。四角形が接線四角形であれば、その内心もこの直線上にある。^[⁶^]
凸四角形では、準直交中心 $H$ 、面積重心 $G$ 、準外心 $O$ はこの順に同一直線上にあり、 $HG = 2 GO$ である。^{[ 7 ]} （凸四角形の注目すべき点と線を参照）。

接線四角形のその他の共線性については、「接線四角形#共線点」を参照してください。
円に内接する四角形では、外心、頂点の重心（2つの二分線の交点）、および反心は同一直線上にある。^{[ 8 ]}
円に内接する四角形では、面積の重心、頂点の重心、および対角線の交点は同一直線上にある。^{[ 9 ]}
接線台形において、内接円と2つの底辺との接線は、内心と同一線上にある。
接線台形では、2辺の中点は内心と同一線上にある。

六角形

パスカルの定理（六芒星の神秘の定理とも呼ばれる）は、円錐曲線（楕円、放物線、双曲線など）上の任意の6点を選び、任意の順序で線分を結んで六角形を作ると、六角形の向かい合う3組の辺（必要に応じて延長）は、パスカル線と呼ばれる直線上にある3点で交わる、と述べている。逆もまた真である。ブライケンリッジ・マクローリンの定理は、六角形の向かい合う辺を通る3組の直線の3つの交点が直線上にある場合、六角形の6つの頂点は円錐曲線上にある、と述べている。この円錐曲線は、パップスの六角形定理のように退化している場合もある。

円錐曲線

モンジュの定理によれば、平面上の任意の３つの円（いずれも他の円の内部に完全には入っていない）について、それぞれの円のうち２つに外接する３組の直線の３つの交点は同一直線上にある。
楕円においては、中心、2つの焦点、および曲率半径が最小の2つの頂点は同一直線上にあり、中心と曲率半径が最大の2つの頂点も同一直線上にある。
双曲線では、中心、2つの焦点、および2つの頂点は同一直線上にある。

コーン

密度が均一な円錐体の重心は、底面の中心から頂点までの距離の4分の1の位置にあり、底面と頂点を結ぶ直線上にある。

正四面体

正四面体の重心は、モンジュ点と外心の中間点です。これらの点は、三角形のオイラー線に相当する正四面体のオイラー線を定義します。正四面体の12点球の中心も、このオイラー線上にあります。

代数

座標が与えられた点の共線性

座標幾何学において、 $n$ 次元空間では、3つ以上の異なる点の集合が共線であるのは、これらのベクトルの座標行列のランクが1以下である場合に限る。例えば、3つの点が与えられた場合

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}

行列が

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

ランクが1以下であれば、点は共線である。

同様に、 $X、Y、Z$ のすべての部分集合に対して、行列が

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

ランクが 2 以下であれば、点は共線です。特に、平面上の 3 点 ( $n = 2 ) の場合、上記の行列は正方行列であり、その$ 行列式がゼロである場合に限り、点は共線です。この 3 × 3 行列式は、これら 3 点を頂点とする三角形の面積の 2 倍にプラスまたはマイナスされるため、これは、これら 3 点が共線であるのは、これら 3 点を頂点とする三角形の面積がゼロである場合に限る、という記述と同等です。

点間の距離が与えられている点の共線性

少なくとも 3 つの異なる点の集合は直線と呼ばれ、すべての点が共線であるのは、それらの点 $A、B、C の任意の 3 つについて、$ ケイリー・メンガー行列式の次の行列式がゼロである場合に限ります ( $d (AB)は$ $A$ と $B$ の間の距離などを意味します)。

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

この行列式は、ヘロンの公式によれば、辺の長さが $d$ $($ $AB$ $) 、$ $d$ $($ $BC$ $) 、$ $d$ $($ $AC$ $)$ の三角形の面積の二乗の− 16 倍に等しくなります。したがって、この行列式がゼロに等しいかどうかを確認することは、頂点が $A、B、C$ である三角形の面積がゼロであるかどうか (つまり、頂点が一直線上にあるかどうか) を確認することと同じです。

言い換えれば、少なくとも３つの異なる点の集合が共線であるのは、それらの点の任意の３点 $A、B、C$ について、 $d (AC)が$ $d (AB)$ および $d (BC)$ のそれぞれ以上である場合、三角形不等式 $d (AC)\leqd (AB) + d (BC)$ が等号で成り立つ場合に限る。

数論

2 つの数 $m$ と $n が$ 互いに素ではない、つまり 1 以外の共通因数を持つのは、頂点が $(0, 0)、($ $m$ $, 0)、($ $m$ $,$ $n$ $)、(0,$ $n$ $)$ にある正方形格子上に描かれた長方形について、少なくとも 1 つの内部点が $(0, 0)$ と $($ $m, n$ $)$ と共線である場合に限る。

並行処理（平面双対）

様々な平面幾何学において、「点」と「線」の役割を入れ替えながらも両者の関係性を維持する概念を平面双対性と呼びます。共線点の集合が与えられた場合、平面双対性によって、すべて共通点で交わる線分の集合が得られます。この線分の集合が持つ性質（共通点で交わること）を共線性（ concurrency ）と呼び、これらの線分は共線線と呼ばれます。したがって、共線性は共線性に対する平面双対概念と言えます。

共線性グラフ

部分的な幾何学 $P$ が与えられたとき、2 つの点が最大で 1 つの直線を決定する場合、 $P$ の共線グラフは、頂点が $P$ の点であるグラフであり、2 つの頂点が隣接しているのは、それらが $P$ 内の直線を決定する場合のみである。

統計学および計量経済学における使用法

統計学において、共線性とは2つの説明変数間の線形関係を指します。2つの変数が完全に共線的であるとは、両者の間に正確な線形関係が存在し、相関係数が1または-1に等しい場合を指します。つまり、 $X1$ と $X2 は$ 、パラメータが存在する場合に完全に共線的です $。$ $\lambda _{0}$ そして $\lambda _{1}$ つまり、すべての観測値 $i$ に対して、

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

これは、さまざまな観測値 $(X 1 i 、 X 2 i)を$ $(X 1 、 X 2)$ 平面上にプロットすると、これらの点はこの記事で先に定義した意味で共線になることを意味します。

完全な多重共線性とは、多重回帰モデルにおける $k (k \geq 2)$ 個の説明変数が完全に線形関係にある状況を指します。

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

$すべての観測値i$ について。実際には、データセットで完全な多重共線性に遭遇することはめったにありません。より一般的には、多重共線性の問題は、2 つ以上の独立変数間に「強い線形関係」がある場合に発生します。つまり、

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

分散が $\varepsilon _{i}$ 比較的小さい。

横方向共線性の概念は、この伝統的な見解を拡張したもので、説明変数と基準変数（つまり、説明される変数）間の共線性を指します。^{[ 10 ]}

他の分野での使用例

アンテナアレイ

電気通信において、共線アンテナアレイ（またはコリニアアンテナアレイ）とは、各アンテナの対応する素子が平行かつ整列するように配置されたダイポールアンテナのアレイのことである。つまり、それらは共通の線または軸に沿って配置される。

写真

共線方程式は、写真測量やコンピュータステレオビジョンで使用される 2 つの方程式のセットで、画像 (センサー) 平面 (2 次元) の座標と物体の座標 (3 次元) を関連付けます。写真撮影の設定では、カメラの光学中心を通る物体の点の中心投影を画像 (センサー) 平面の画像に考慮することで、方程式が導出されます。物体点、画像点、光学中心の 3 つの点は常に共線です。別の言い方をすると、物体点と画像点を結ぶ線分はすべて光学中心で一点で交わります。^[¹¹^]

注記

↑この概念はあらゆる幾何学に適用できますが（Dembowski (1968 , p. 26)）、特定の幾何学の議論の中でのみ定義されることが多いです（Coxeter (1969 , p. 178)、 Brannan, Esplen & Gray (1998 , p. 106)）。
↑共線（メリアム・ウェブスター辞典）
1 2 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (原著 1929)。
↑ Altshiller Court, Nathan . College Geometry , 2nd ed. Barnes & Noble, 1952 [1st ed. 1925].
↑ Scott, JA「三角形幾何学における面積座標の使用例」 Mathematical Gazette 83、1999年11月、472–477。
↑ Dušan Djukić、Vladimir Janković、Ivan Matić、Nikola Petrović、 The IMO Compendium、Springer、2006、p. 15.
↑ミャキシェフ、アレクセイ（2006）「四角形に関連する2つの注目すべき線について」（PDF）、Forum Geometricorum、6：289–295。
↑ロス・ホンスバーガー(1995)、「4.2 円に内接する四角形」、19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード、ニュー・マセマティカル・ライブラリー、第37巻、ケンブリッジ大学出版局、35–39頁、ISBN 978-0-88385-639-0
↑ブラッドリー、クリストファー (2011)、「円周四角形によって生成される3つの重心(PDF)」
↑ Kock, N.; Lynn, GS (2012). "分散ベースのSEMにおける横方向の共線性と誤解を招く結果：例と推奨事項" (PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546– 580. doi : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .
↑これらの方程式を同時方程式と呼ぶ方が数学的には自然ですが、写真測量の文献ではその用語は使用されていません。

参考文献

ブランナン、デイビッド A.、エスプレン、マシュー F.、グレイ、ジェレミー J. (1998)、幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-59787-0
コクセター、HSM (1969)、『幾何学入門』、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 0-471-50458-0
Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 44、ベルリン: Springer、ISBN 3-540-61786-8MR 0233275

[1] この概念はあらゆる幾何学に適用できますが（Dembowski (1968 , p. 26)）、特定の幾何学の議論の中でのみ定義されることが多いです（Coxeter (1969 , p. 178)、 Brannan, Esplen & Gray (1998 , p. 106)）。

[2] 共線（メリアム・ウェブスター辞典）

[Johnson-3] 1 2 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (原著 1929)。

[AC-4] Altshiller Court, Nathan . College Geometry , 2nd ed. Barnes & Noble, 1952 [1st ed. 1925].

[5] Scott, JA「三角形幾何学における面積座標の使用例」 Mathematical Gazette 83、1999年11月、472–477。

[6] Dušan Djukić、Vladimir Janković、Ivan Matić、Nikola Petrović、 The IMO Compendium、Springer、2006、p. 15.

[Myakishev-7] ミャキシェフ、アレクセイ（2006）「四角形に関連する2つの注目すべき線について」（PDF）、Forum Geometricorum、6：289–295。

[Honsberger-8] ロス・ホンスバーガー(1995)、「4.2 円に内接する四角形」、19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード、ニュー・マセマティカル・ライブラリー、第37巻、ケンブリッジ大学出版局、35–39頁、ISBN 978-0-88385-639-0

[9] ブラッドリー、クリストファー (2011)、「円周四角形によって生成される3つの重心(PDF)」

[10] Kock, N.; Lynn, GS (2012). "分散ベースのSEMにおける横方向の共線性と誤解を招く結果：例と推奨事項" (PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546– 580. doi : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .

[11] これらの方程式を同時方程式と呼ぶ方が数学的には自然ですが、写真測量の文献ではその用語は使用されていません。

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