ローリング

転がりは、回転（一般的には軸対称の物体の回転）と、その物体の表面に対する平行移動（どちらか一方が動く）を組み合わせた運動の一種であり、理想的な条件が存在する場合、この 2 つは滑ることなく互いに接触します。

滑りのない転がりは、純粋な転がりと呼ばれます。定義により、転がる物体のすべての接触点が、物体が転がる表面上の対応する点と同じ速度を持つ参照フレームがある場合、滑りは発生しません。特に、転がり面が静止している参照フレームの場合 (アニメーションを参照)、転がる物体のすべての接触点 (たとえば、円筒の母線分) の瞬間速度はゼロです。

実際には、接触領域付近の小さな変形により、いくらかの滑りとエネルギーの散逸が発生します。それでも、結果として生じる転がり抵抗は滑り摩擦よりもはるかに低いため、転がる物体は通常、滑る物体よりも移動するために必要なエネルギーがはるかに少なくなります。その結果、傾斜した表面上の重力、風、押す、引っ張る、またはエンジンからのトルクなど、表面に沿った成分を持つ力を受けると、このような物体はより簡単に移動します。円筒形の軸対称物体とは異なり、円錐の転がり運動では、平面上を転がるときに、その重心は直線運動ではなく円運動を実行します。転がる物体は必ずしも軸対称ではありません。軸対称でないローラーとしてよく知られているのは、ルーローの三角形とマイスナー小体です。オロイドと球面体は、平面を転がり落ちるときに表面全体を展開する特殊な展開可能なローラーのファミリーのメンバーです。サイコロなどの角のある物体は、表面と接触している端または角の周りを連続的に回転しながら転がります。特定の表面の構造により、完全な正方形の車輪であっても、その重心が基準面から一定の高さにある状態で転がることができます。

ほとんどの陸上車両は車輪を使用しているため、移動には転がりを使用します。スリップは最小限に抑える必要があります (純粋な転がりに近づける)。そうしないと、制御不能になり、事故が発生する可能性があります。これは、道路が雪、砂、または油で覆われている場合、高速で曲がる場合、または急ブレーキや急加速を試みた場合に発生する可能性があります。

転がる物体の最も実用的な用途の 1 つは、回転装置におけるボール ベアリングなどの転がり軸受の使用です。金属製の転がり要素は通常、互いに独立して回転できる 2 つのリングの間に収められています。ほとんどの機構では、内輪が固定シャフト (または車軸) に取り付けられています。したがって、内輪が固定されている間、外輪はほとんど摩擦なしで自由に動きます。これは、ほとんどすべてのモーター(天井扇風機、車、ドリルなどに見られるものなど) が動作するために依存している基礎です。あるいは、外輪を固定サポート ブラケットに取り付けて、内輪が車軸をサポートできるようにし、車軸が自由に回転できるようにすることもできます。機構部品の摩擦の量は、ボール ベアリングの品質と機構内の潤滑剤の量によって異なります。

転がる物体は、輸送手段としてもよく使われます。最も基本的な方法の 1 つは、一列に並んだローラーまたは車輪の上に (通常は平らな) 物体を置くことです。車輪の上の物体は、車輪の前部が継続的に交換されている限り、車輪に沿って直線的に移動できます (ベアリングの歴史を参照)。この原始的な輸送方法は、他の機械が利用できない場合に効率的です。今日、車輪の付いた物体の最も実用的な用途は、自動車、電車、その他の人間の輸送手段 です。

ローリングは、金属加工、印刷、ゴム製造、塗装などのさまざまなプロセスで、移動する接触線に法線力を加えるために使用されます。

転がりの最も単純なケースは、剛体が軸を平面に平行にして（または同等に、表面法線に垂直にして）、滑ることなく平面に沿って転がるケースです。

任意の点の軌道はトロコイドです。特に、物体軸上の任意の点の軌道は直線であり、物体縁上の任意の点の軌道はサイクロイドです。

転がる物体の任意の点の速度は で与えられ、ここで は粒子と転がる物体の表面との接触点（または接触線）間の変位、 ω は角速度ベクトルです。^[1]したがって、転がりは固定軸の周りの回転とは異なりますが、転がる物体のすべての粒子の瞬間速度は、接触点を同じ角速度で通過する軸の周りを回転している場合と同じです。 ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

接触点よりも軸から遠い転がり物体の任意の点は、転がり面のレベルより下にある場合、一時的に全体の動きの方向とは反対方向に移動します（たとえば、列車の車輪のフランジ部分のレールより下にある任意の点）。

運動エネルギーは物体の質量と速度の関数であるため、上記の結果を平行軸定理と組み合わせて単純な転がり運動に関連する運動エネルギーを求める ことができる。

$${\displaystyle K_{\text{転がり}}=K_{\text{平行移動}}+K_{\text{回転}}}$$

線速度と角速度の関係を時間に関して微分すると、線加速度と角加速度を関連付ける式が得られます。ニュートンの第2法則を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle v_{\text{com}}=r\omega }$ ${\displaystyle a=r\alpha }$

$${\displaystyle a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}=r\alpha ={\frac {r\tau}{I}}.}$$

したがって、物体を加速するには、正味の力とトルクの両方が必要です。 回転する物体‐表面系にトルクのない外力が作用すると、表面と回転する物体の接触点に接線力が生じ、純粋な回転運動である限り、必要なトルクが提供されます。 この力は通常、道路と車輪の間、またはボウリングのレーンとボウリングのボールの間などの静摩擦です。 静摩擦が十分でない場合は、摩擦が動摩擦になり、滑りが発生します。 接線力は外力と方向が反対であるため、外力を部分的に打ち消します。 結果として生じる正味の力と加速度は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}\\[1ex]a&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{I}/{r^{2}}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$は質量の次元を持ち、回転軸から離れたところで回転慣性を持つ質量です。したがって、この項は、転がる物体の回転慣性（その質量の中心の周り）と同等の線形慣性を持つ質量と考えることができます。単純な回転における物体への外力の作用は、実質量と回転慣性を表す仮想質量の合計を加速するものとして概念化できます。これは です。外力によって行われる仕事は並進慣性と回転慣性に打ち勝つことの間で分割されるため、外力は無次元乗法係数によってより小さな正味の力になります。ここで、は前述の仮想質量と物体の実際の質量の比を表し、 に等しくなります。ここで、は純粋な回転における物体の回転慣性（純粋な転がりにおける回転慣性ではありません）に対応する回転半径です。二乗乗は、質点の回転慣性が軸からの距離の二乗に比例して変化するという事実によるものです。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$${\displaystyle m+{\tfrac {I}{r^{2}}}}$${\displaystyle 1/\left(1+{\tfrac {I}{mr^{2}}}\right)}$${\displaystyle {\tfrac {I}{mr^{2}}}}$${\textstyle \left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}$${\displaystyle r_{\text{g}}}$

静止摩擦、垂直抗力、および自身の重量のみを受ける傾斜面内を転がる物体の特定のケース（空気抵抗がない）では、斜面を転がり落ちる方向の加速度は次のようになります。

$${\displaystyle a={\frac {g\sin(\theta )}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}}$$

${\displaystyle {r_{\text{g}}}/{r}}$は物体の形状と質量分布に固有のものであり、スケールや密度には依存しません。ただし、物体が異なる半径で転がるように作られている場合は変化します。たとえば、列車の車輪セットが通常通り転がる場合 (タイヤによる) と車軸による場合では変化します。したがって、基準となる転がる物体があれば、それよりも大きい、または密度が異なる別の物体が同じ加速度で転がることになります。この動作は、自由落下する物体や、傾斜面を摩擦なしで滑る (転がるのではなく) 物体の動作と同じです。

軸対称の変形可能な物体が表面に接触すると、垂直力とせん断力が伝達されるインターフェースが形成されます。たとえば、道路に接触しているタイヤは、車の重量（垂直荷重）だけでなく、加速、ブレーキ、ステアリングによって生じるせん断力も支えます。定常回転体の変形と動きは、剛体回転のオイラー記述と変形のラグランジュ記述を使用して効率的に特徴付けることができます。 ^{[2] [3]}このアプローチは、時間依存性を排除することで解析を大幅に簡素化し、変位、速度、応力、ひずみのフィールドが空間的にのみ変化するようにします。定常回転の有限要素解析の解析手順は、最初にPadovanによって開発され、現在ではいくつかの商用コードに採用されています。