ボリューム要素

数学において、体積要素は、球面座標や円筒座標などのさまざまな座標系で、関数を体積に関して積分する手段を提供します。したがって、体積要素は、 という形式の式です。ここで、 は 座標 であり、任意の集合の体積は 、たとえば球面座標では、 などによって計算できます 。 $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2} \,\mathrm {d} u_{3}}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \operatorname {ボリューム} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\ mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d}u_{3}}$${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

体積要素の概念は、3次元に限定されません。2次元では、体積要素と呼ばれることが多く、この設定では表面積分 を実行するのに役立ちます。座標変換では、体積要素は、座標変換のヤコビ行列式の絶対値によって変化します(変数変換の公式による)。この事実により、体積要素を多様体上の一種の測度として定義できます。向き付け可能な微分可能多様体では、体積要素は通常、体積形式、つまり最高次微分形式から生じます。向き付け不可能な多様体では、体積要素は通常、 (局所的に定義された) 体積形式の絶対値であり、 1-密度を定義します。

ユークリッド空間では、体積要素は直交座標の微分の積で与えられる。 、、 の形式の異なる座標系では、体積要素は座標変化の ヤコビ行列式によって変化する。 例えば、球座標（数学的慣例）では、 ヤコビ行列式 は 次のように なる。 これは、微分形式が引き戻しによって次のように変換されるという事実の特別なケースとみなすことができる。 $${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned} }}$$$${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$${\displaystyle F^{*}}$$${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

線形独立ベクトル の集合によって張られるn次元ユークリッド空間R ⁿの線形部分空間を考えます。部分空間の体積要素を見つけるには、によって張られる平行六面体の体積がのグラミアン行列の行列式の平方根である という事実を線型代数から知っておくと便利です。 $${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

部分空間内の任意の点pには、次のような 座標を与えることができます。 点pにおいて、辺 を持つ小さな平行六面体を形成すると、その平行六面体の体積は、グラミアン行列の行列式の平方根です。 したがって、これは線形部分空間における体積形式を定義します。 ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$$${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$

n次元の有向 リーマン多様体では、体積要素は単位定数関数のホッジ双対に等しい体積形式です。 同様に、体積要素はレヴィ・チヴィタテンソルとまったく同じです。^[1]座標では、 は座標系で書かれた計量テンソルgの行列式です。 ${\displaystyle f(x)=1}$$${\displaystyle \omega =\star 1.}$$ ${\displaystyle \epsilon }$$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$${\displaystyle \det g}$

体積要素の簡単な例は、 n次元ユークリッド空間に埋め込まれた2次元表面を考えることで調べることができます。このような体積要素は、面積要素と呼ばれることもあります。 に埋め込まれた表面を定義する部分集合とマッピング関数 を考えてみましょう。2次元では、体積は単なる面積であり、体積要素は表面の部分面積を決定する方法を提供します。したがって、体積要素は、積分を計算することによって表面上にある 集合Bの面積を計算できる形式の式です。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {面積} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$$

ここで、通常の意味で面積を定義する表面上の体積要素を見つけます。マッピングの ヤコビ行列は、 インデックスiが 1 からnまで、インデックスjが 1 から 2 までです。 n次元空間のユークリッド計量は、行列要素が $${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$$${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$$

メトリックの行列式は次のように与え られる。$${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}$$

正規表面の場合、この行列式はゼロではありません。つまり、ヤコビ行列の階数は 2 です。

ここで、微分同相写像によって与えられるU上の座標変換を考えます。この変換のヤコビ行列は 次のよう に与えられます。 $${\displaystyle f\colon U\to U,}$$${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$$${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$$

新しい座標では、となり 、計量は次のように変換されます 。 ここで、はv座標系におけるプルバック計量です。行列式は $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$$$${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$$${\displaystyle {\tilde {g}}}$$${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$$

上記の構成を考慮すると、方向を維持する座標変更に対して体積要素がどのように不変であるかを簡単に理解できるはずです。

2次元では、体積は面積に等しい。部分集合の面積は積分で与えられる。 ${\displaystyle B\subset U}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$$

したがって、どちらの座標系でも、体積要素は同じ表現を取ります。つまり、体積要素の表現は座標の変更に対して不変です。

上記の説明では 2 次元に特有のことは何もなかったことに注意してください。上記は任意の次元に簡単に一般化されます。

例えば、半径rの球をR ³の原点を中心に考える。これは球座標を使ってマップで パラメータ化することができ 、 面積要素は $${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$$$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$$

• 円筒座標系 § 線分と体積要素
• 球面座標系 § 球面座標における積分と微分
• 体積積分
• 表面積分
• 線積分
• 線要素

• Besse、Arthur L. (1987)、アインシュタイン多様体、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xii+510、ISBN 978-3-540-15279-8