ホモロジー球

代数トポロジーにおいて、ホモロジー球面とは、ある整数nに対して、n次元球面のホモロジー群を持つn次元多様体Xのことである。${\displaystyle n\geq 1}$つまり、

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

そして

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$他のすべてのiについて。

したがって、Xは連結空間であり、1 つの非ゼロの高次ベッチ数、すなわち、${\displaystyle b_{n}=1}$だからといってXが単連結であるとは限らず、その基本群が完全群であるということだけが分かる（ヒューレビッチの定理を参照）。

有理ホモロジー球面は、同様に定義されるが、有理係数を用いたホモロジーを用いる。

ポアンカレホモロジー球（ポアンカレ十二面体空間とも呼ばれる）は、アンリ・ポアンカレによって最初に構築されたホモロジー球の特殊な例です。球面3次元多様体であるため、有限の基本群を持つ唯一のホモロジー3次元球（ 3次元球自体を除く）です。その基本群は二元二十面体群として知られ、位数は120です。3次元球の基本群は自明であるため、これは、3次元球と同じホモロジー群を持ちながら、3次元球と同相ではない3次元多様体が存在することを示しています。

• 3次元球面S ³の結び目に対して+1または-1のフレーミング手術を行うと、ホモロジー球面が得られます。
• より一般的には、交差数（対角線外）とフレーミング（対角線上）によって与えられる行列の行列式が+1または-1である場合、リンクに対する手術によってホモロジー球面が得られます。
• p、q、rが互いに素な正の整数である場合、特異点x ^p + y ^q + z ^r = 0 のリンク (言い換えれば、0 の周りの小さな 3 次元球面とこの複素曲面との交点) は、ホモロジー 3 次元球面であるブリースコルン多様体であり、ブリースコルン3 次元球面 Σ( p , q , r ) と呼ばれます。p 、q、rのいずれかが 1 の場合、標準 3 次元球面と同相であり、Σ(2, 3, 5) はポアンカレ球面です。
• 向き付けられた2つのホモロジー3球面の連結和は、ホモロジー3球面である。2つのホモロジー3球面の連結和として表せないホモロジー3球面は既約または素数と呼ばれ、すべてのホモロジー3球面は、本質的に一意な方法で素数ホモロジー3球面の連結和として表すことができる。（素数分解（3多様体）を参照。）
• 仮に${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$は、すべて2以上の整数であり、任意の2つは互いに素である。このとき、ザイフェルトファイバー空間は

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

次数a ₁、 ...、a _rの例外ファイバーを持つ球面上では、ホモロジー球面であり、bは次のように選択されます。

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

( b ′の選択方法は常に存在し、ホモロジー球は (同型を除いて) b ′の選択に依存しません。) rが最大 2 の場合、これは通常の 3 球です。それ以外の場合は、これらは異なる非自明なホモロジー球です。a ′が 2、3、5 の場合、これはポアンカレ球になります。a ′が 2、3、5 ではなく、少なくとも 3 個ある場合、これは無限基本群を持つ非巡回ホモロジー 3 球で、SL ₂ ( R )の普遍被覆をモデルにしたサーストン幾何学を持ちます。

• ロクリン不変量は${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ホモロジー3球面の-値不変量。
• カソン不変量は、ホモロジー3球面の整数値不変量であり、そのmod 2への還元はロクリン不変量である。

Aが標準3次元球面と同相でないホモロジー3次元球面である場合、 Aの懸垂は位相多様体ではない4次元ホモロジー多様体の例となる。Aの二重懸垂は標準5次元球面と同相であるが、その三角形分割（ Aの何らかの三角形分割によって誘導される）はPL多様体ではない。言い換えれば、これは位相多様体ではあるがPL多様体ではない有限単体複体の例となる。（点のリンクが常に4次元球面であるとは限らないため、PL多様体ではない。）

GalewskiとSternは、次元が5以上のすべてのコンパクトな位相多様体（境界なし）が単体複体と同相であるのは、Rokhlin不変量が1であるホモロジー3球面Σが存在し、Σとそれ自身との連結和Σ#Σが滑らかな非巡回4多様体を境界とする場合に限られることを示した。Ciprian Manolescuは^{[ 5 ]}、そのような性質を持つホモロジー球面は存在しないため、単体複体と同相でない5多様体が存在することを示した。特に、GalewskiとSternが最初に挙げた例^{[ 6 ]}は三角形化できない。

• アイレンバーグ・マクレーン空間
• ムーア空間（代数トポロジー）

• Dror, Emmanuel (1973). "ホモロジー球面". Israel Journal of Mathematics . 15 (2): 115–129 . doi : 10.1007/BF02764597 . MR 0328926. S2CID 189796498 .  
• Galewski, David; Stern, Ronald (1980). "位相多様体の単体三角形分割の分類". Annals of Mathematics . 111 (1): 1– 34. doi : 10.2307/1971215 . JSTOR 1971215 . MR 0558395 .  
• Robion Kirby、Martin Scharlemann、「ポアンカレホモロジー3球面の8つの面」。幾何学的トポロジー（ジョージアトポロジー会議議事録、ジョージア州アセンズ、1977年）、pp.  113 – 146、Academic Press、ニューヨーク-ロンドン、1979年。
• Kervaire, Michel (1969). "滑らかなホモロジー球面とその基本群" . Transactions of the American Mathematical Society . 144 : 67–72 . doi : 10.1090 /S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR 1995269. MR 0253347. S2CID 54063849 .   
• ニコライ・サヴェリエフ、「3次元球面ホモロジーの不変量」、数学科学百科事典、第140巻、低次元トポロジー、I、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、2002年 。MR 1941324 ISBN  3-540-43796-7

• ポアンカレホモロジー3球面および少数の頂点を持つ非PL球面の16頂点三角形分割（ Anders BjörnerおよびFrank H. Lutz著）
• デイビッド・ギルマンによる講演「ポアンカレの相同性球の最良の図」