アレクサンダー角球

アレクサンダー角球は、 JW アレクサンダー(1924)によって発見された位相幾何学における異常なオブジェクトです 。これは、2 次元球を 3 次元空間に位相的に埋め込んだ特殊なオブジェクトです。内部とともに位相的な3 次元球、つまりアレクサンダー角球であるため、単連結です。つまり、すべてのループは内部にとどまったまま 1 点に縮小できます。ただし、通常の球の外部とは異なり、 外部は単連結ではありません。

アレクサンダー角球は、標準的なトーラスから始めて、次の構成によって得られる3次元ユークリッド空間における球の特定の（位相的な）埋め込みである：^[1]

1. トーラスの放射状スライスを削除します。
2. 標準的な穴あきトーラスをカットの両側に接続し、反対側のトーラスと連結します。
3. 追加した 2 つのトーラスに対して手順 1 ～ 2 を無限に繰り返します。

ある段階で除去されないトーラスの点のみを考慮すると、カントール集合が除去された球の埋め込みが実現します。この埋め込みは、球全体からの連続マップに拡張されます。これは、球内の点がカントール集合の 2 つの異なる点に近づくと、ある段階で異なる「角」になり、したがって異なるイメージを持つため、単射です (球がコンパクトなので、位相的埋め込みです)。

角球は、その内部とともに位相的な3 次元球体、つまりアレクサンダー角球であり、単連結である。つまり、すべてのループは、内部にとどまったまま 1 点に縮めることができる。外部は、通常の球体の外部とは異なり単連結ではない。つまり、上記の構成でトーラスをリンクするループは、角球に触れることなく 1 点に縮めることはできない。これは、アレクサンダーが当初考えていたように、ジョーダン-シェーンフリースの定理が3 次元では成り立たないことを示す。アレクサンダーはまた、この定理が区分線形/滑らかな埋め込みに対して 3 次元で成り立つことを証明した。これは、位相多様体、微分可能多様体、区分線形多様体のカテゴリを区別する必要があることが明らかになった最も初期の例の 1 つである。

ここで、 3次元ユークリッド空間R ^3の一点コンパクト化として考えられる、3次元球面への埋め込みとしてのアレクサンダーの角球について考える。非単純連結領域の閉包は、立体アレクサンダー角球と呼ばれる。立体角球は多様体ではないが、RH ビングは、その二重（角球の2つのコピーをそれらの境界の対応する点に沿って貼り合わせることで得られる3次元多様体）が実際には3次元球面であることを示した。^[2]境界球面とそれ自身の異なる同相から生じる、立体角球とそれ自身のコピーとのその他の貼り合わせを考えることもできる。これもまた、3次元球面であることが示されている。立体アレクサンダー角球は、しわくちゃの立方体、すなわち、2次元球面を3次元球面に埋め込む閉じた相補領域の一例である。

アレクサンダーの構築を一般化して、アレクサンダーの構築の各段階で角の数を増やすか、より高次元での類似の構築を検討することにより、他の角のある球を生成することができます。

このような「ワイルド」な球体を構築するための、実質的に異なる他の構成も存在します。 アレクサンダーによって発見された別の例は、アントワーヌの角球です。これは、アントワーヌのネックレスに基づいており、カントール集合を​​ 3 次元球体に病的に埋め込んだものです。

• カンターツリー表面
• ワイルドノット
• ワイルドアーク、特にフォックス・アーティンアーク

• Alexander, JW (1924)、「単純連結面が単純連結でない領域を囲む例」、米国科学アカデミー紀要、10 (1)、米国科学アカデミー: 8–10、Bibcode :1924PNAS...10....8A、doi : 10.1073/pnas.10.1.8、ISSN  0027-8424、JSTOR  84202、PMC  1085500、PMID  16576780
• フックス、ドミトリー、タバチニコフ、セルジュ（2007）、数学オムニバス。古典数学に関する30の講義、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、doi：10.1090/mbk/046、ISBN 978-0-8218-4316-1、MR  2350979
• ハッチャー、アレン、 代数的位相幾何学、 http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
• ホッキング、ジョン・ギルバート; ヤング、ゲイル・セラーズ (1988) [1961]。トポロジー。ドーバー。ISBN 0-486-65676-4。
• スピヴァック、マイケル(1999)。微分幾何学の総合入門 (第 1 巻) 。Publish or Perish。ISBN 0-914098-70-5。

• Weisstein, Eric W.「Alexander's Horned Sphere」。MathWorld。
• ズビグニエフ・フィエドロヴィッチ。数学655 – トポロジー入門。[1] 2005-08-25にWayback Machineでアーカイブ– 講義ノート
• アレクサンダー球の構築
• 回転アニメーション
• PC OpenGLデモのレンダリングと尖端の拡大