等価半径

応用科学では、等価半径（または平均半径）は、非円形または非球形の物体と同じ周長、面積、または体積を持つ円または球の半径です。等価直径（または平均直径）（${\displaystyle D}$）は等価半径の2倍です。

半径Rの円の周長は${\displaystyle 2\pi R}$非円形物体Pの周囲長が与えられた場合、次のように設定することで、その周囲長相当半径を計算できます。

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{eq}}}$

または、別の言い方をすれば：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {P}{2\pi }}}$

例えば、一辺Lの正方形の周囲長は${\displaystyle 4L}$その周囲長を円の周囲長と等しく設定すると、

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {4L}{2\pi }}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

アプリケーション:

• アメリカの帽子のサイズは、頭囲をインチで測定し、円周率πで割って、最も近い1/8インチに四捨五入したものです。これは1D平均直径に相当します。^{[ 1 ]}
• 胸高直径は、高さ4.5フィートで測定した木の幹の周囲を円周率πで割ったものです。これは1D平均直径に相当します。これは周周テープで直接測定できます。^{[ 2 ]}

半径Rの円の面積は$\displaystyle \pi R^{2}}$非円形物体の面積Aが与えられた場合、を設定することでその面積相当半径を計算できます。

${\displaystyle A=\pi R_{\text{eq}}^{2}}$

または、別の言い方をすれば：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

多くの場合、考慮される領域は断面である。

例えば、辺の長さがLの正方形の面積は$\displaystyle L^{2}}$その面積を円の面積と等しく設定すると、

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {L^{2}}{\pi }}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.5642L}$

同様に、半長軸を持つ楕円${\displaystyle a}$短軸${\displaystyle b}$エリアがあります${\displaystyle \pi ab}$したがって

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {\pi ab}{\pi }}}={\sqrt {ab}}}$。

アプリケーション:

• 水力直径は、同様にパイプの断面積Aの4 倍をその「濡れた」周長Pで割ったものとして定義されます。半径Rの円形パイプの場合、全流量では、これは次のようになります。

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

予想通り。これは上記の2D平均直径の定義と同等です。ただし、歴史的な理由から、水力半径はパイプの断面積Aを濡れ周長Pで割ったものとして定義され、${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\text{H}}}$、水力半径は2D平均半径の半分である。 ^{[ 3 ]}

• 骨材分類において、等価直径は「骨材の断面積が等しい円の直径」であり、これは次のように計算される。${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$多くのデジタル画像処理プログラムで使用されています。^{[ 4 ]}

半径Rの球の体積は${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$非球形物体の体積Vが与えられた場合、以下の式を用いて体積相当半径を計算できる。

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{eq}}^{3}}$

または、別の言い方をすれば：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

例えば、辺の長さがLの立方体の体積は${\displaystyle L^{3}}$その体積を球の体積と等しいと設定すると、

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3L^{3}}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

同様に、軸が3 の三軸楕円体${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$ボリュームは${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$したがって^{[ 5 ]}

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3{\frac {4}{3}}\pi abc}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{abc}}}$。

回転楕円体の公式は、次の特殊な場合である。${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$[ ^{6 ]​}

アプリケーション:

• 地球は半径が 1 の扁平回転楕円体として近似できます。6 378.1  km​​6 356 .8  km、3D平均半径は${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}}$[ ^{6 ]​}

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