球と円柱について

『球と円柱について』（ギリシア語： Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ）は、紀元前225年頃にアルキメデスが2巻で出版した論文である^{。 [1]最も注目すべきは、}球の表面積とその中に含まれる球の体積、および円柱の類似値の求め方を詳しく述べており、これを初めて行った。 ^[2]

『球と円筒について』で導かれる主な公式は、上で述べたとおり、球の表面積、球に含まれる球の体積、円筒の表面積と体積です。を球と円筒の半径、 を円筒の高さとします。ここで、円筒は直円筒、つまり側面が両方のキャップに垂直であると仮定します。アルキメデスは、その著作の中で、円筒の表面積は次の式に等しいことを示しました。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,}$

そしてその体積は次の通りである。

${\displaystyle V_{C}=\pi r^{2}h.\,}$^[3]

彼は球面上で、表面積がその大円の面積の 4 倍であることを示しました。現代の言葉で言えば、これは表面積が次の値に等しいことを意味します。

${\displaystyle A_{S}=4\pi r^{2}.\,}$

含まれているボールの体積の結果は、外接 円柱の体積の3分の2であり、つまり体積は

${\displaystyle V_{S}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

内接円筒がきつく、高さが で、球が円筒の上部と下部に接しているとき、球の体積と表面積はともに円筒の 3 分の 2 になることをアルキメデスは示した。これは、球の面積が円筒の面積からキャップを引いた面積に等しいことを意味している。この結果は、最終的にランベルト正積円筒図法、つまり面積を正確に表す世界の地図作成方法につながる。アルキメデスはこの後者の結果を特に誇りに思っており、円筒に内接する球のスケッチを自分の墓石に刻むように頼んだ。後に、ローマの哲学者マルクス・トゥッリウス・キケロが周囲の植物に覆われていたこの墓を再発見した。^[4]${\displaystyle h=2r}$

アルキメデスが球の体積の公式を証明するために使った議論は幾何学にかなり関わっており、現代の教科書の多くは極限の概念を使った簡略版を載せているが、これはアルキメデスの時代には存在しなかった。アルキメデスは半円に内接する半多角形を使い、その両方を回転させて球の中に錐台の集合体を作り、その体積を求めた。 ^[5]

これはアルキメデスがこの結果を導き出すために使用したオリジナルの方法ではなく、ギリシャの数学の伝統において彼が利用できる最良の形式的議論であると思われる。彼のオリジナルの方法は、おそらくてこの巧妙な使用を伴うものであった。^[6] 20世紀初頭にギリシャ正教会から盗まれた パリンプセストが1998年のオークションで再び現れたが、そこにはアルキメデスの著作の多くが含まれ、その中には天秤、質量中心、微小なスライスを含む体積を決定する方法について説明した『機械的定理の方法』も含まれていた。^[7]

• アルキメデスの性質
• シリンダー

• ダナム、ウィリアム（1990）、Journey Through Genius（第1版）、John Wiley and Sons、ISBN 0-471-50030-5
• ダナム、ウィリアム（1994）、数学的宇宙（第1版）、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-53656-3
• SH グールド、「アルキメデスの方法」、アメリカ数学月刊誌、第 62 巻、第 7 号 (1955 年 8 月 - 9 月)、pp. 473–476

• ルシオ・ロンバルド・ラディーチェ、『ピタゴラとニュートンのマテマティカ』、ローマ、編集リウニティ、1971年。
• アッティリオ・フラヘーゼ、アルキメデオペラ、トリノ、UTET、1974年。