数学 において、体積要素は、 球面座標 や円筒座標 などの様々な座標系において、体積 に関して関数を 積分する 手段を提供する。したがって、体積要素は次の形式の式である。 d V = ρ （ u 1 、 u 2 、 u 3 ） d u 1 d u 2 d u 3 {\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}} u 私 u_i B {\displaystyle B} 音量 （ B ） = ∫ B ρ （ u 1 、 u 2 、 u 3 ） d u 1 d u 2 d u 3 。 {\displaystyle \operatorname {ボリューム} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.} d V = u 1 2 罪 u 2 d u 1 d u 2 d u 3 {\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}} ρ = u 1 2 罪 u 2 {\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}
体積要素の概念は 3 次元に限定されません。2 次元では面積要素 として知られており、この設定では面積積分を 行う際に役立ちます。座標変換の下では、体積要素は座標変換のヤコビ行列式 の絶対値によって変化します(変数変換の公式による)。この事実により、体積要素は 多様体 上の一種の尺度 として定義できます。向き付け可能な微分 可能多様体 では、体積要素は通常、体積形式 、つまり最高次の微分形式 から生じます。向き付け不可能な多様体では、体積要素は通常、 (局所的に定義された)体積形式の絶対値であり、 1-密度 を定義します。
ユークリッド空間における体積要素 ユークリッド空間 では、体積要素はデカルト座標 の微分積によって与えられる。d V = d x d y d z 。 {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.} x = x （ u 1 、 u 2 、 u 3 ） {\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})} y = y （ u 1 、 u 2 、 u 3 ） {\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})} z = z （ u 1 、 u 2 、 u 3 ） {\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})} ヤコビアン（行列式）によって変化する。 d V = | ∂ （ x 、 y 、 z ） ∂ （ u 1 、 u 2 、 u 3 ） | d u 1 d u 2 d u 3 。 {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.} x = ρ コス θ 罪 ϕ y = ρ 罪 θ 罪 ϕ z = ρ コス ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}} | ∂ （ x 、 y 、 z ） ∂ （ ρ 、 ϕ 、 θ ） | = ρ 2 罪 ϕ \displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi } d V = ρ 2 罪 ϕ d ρ d θ d ϕ 。 {\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .} F * {\displaystyle F^{*}} F * （ u d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n ） = （ u ∘ F ） 検出 （ ∂ F j ∂ x 私 ） d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$
線形部分空間の体積要素 n 次元ユークリッド空間 R n 線形部分空間で、 線形独立な ベクトル の集合によって張られるものを考える。X 1 、 … 、 X k 。 {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.} 線形代数から、 平行六面体 の体積はX 私 {\displaystyle X_{i}} 、 X 私 {\displaystyle X_{i}} 検出 （ X 私 ⋅ X j ） 私 、 j = 1 … k 。 {\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}
部分空間内の任意の点pには座標を与えることができる （ u 1 、 u 2 、 … 、 u k ） {\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})} p = u 1 X 1 + ⋯ + u k X k 。 {\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.} p において、辺の長さが の小さな平行六面体を形成するとd u 私 \displaystyle \mathrm {d} u_{i}} 検出 （ （ d u 私 X 私 ） ⋅ （ d u j X j ） ） 私 、 j = 1 … k = 検出 （ X 私 ⋅ X j ） 私 、 j = 1 … k d u 1 d u 2 ⋯ d u k 。 {\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}
多様体の体積要素 n 次元の向き付けられた リーマン多様 体上では、体積要素は単位定数関数のホッジ双対に等しい体積形式である。 f （ x ） = 1 {\displaystyle f(x)=1} ω = ⋆ 1. {\displaystyle \omega =\star 1.} レヴィ・チヴィタテンソルである。 ϵ {\displaystyle \epsilon } [ 1 ] ω = ϵ = | 検出 g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}} 検出 g {\displaystyle \det g} 計量テンソル g の行列式 です。
表面の面積要素 体積要素の簡単な例として、 n 次元ユークリッド空間 に埋め込まれた2次元曲面を考えてみましょう。このような体積要素は、面積要素 と呼ばれることもあります。部分集合を考えてみましょう。U ⊂ R 2 \displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}} φ : U → R n \displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}} R n \displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f （ u 1 、 u 2 ） d u 1 d u 2 {\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}} B の面積を計算できます。エリア （ B ） = ∫ B f （ u 1 、 u 2 ） d u 1 d u 2 。 {\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}
ここでは、通常の意味で面積を定義する表面上の体積要素を見つけます。マッピングの ヤコビ行列は J 私 j = ∂ φ 私 ∂ u j {\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}} i は1 からn まで、j は1 から 2 まで変化する。n 次元 空間におけるユークリッド計量は 計量を誘導する。g = J T J {\displaystyle g=J^{T}J} U 上で、行列要素は g 私 j = ∑ k = 1 n J k 私 J k j = ∑ k = 1 n ∂ φ k ∂ u 私 ∂ φ k ∂ u j 。 {\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}
メトリックの行列式は次のように与え られる。 検出 g = | ∂ φ ∂ u 1 ∧ ∂ φ ∂ u 2 | 2 = 検出 （ J T J ） {\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}
正則曲面の場合、この行列式はゼロにならない。言い換えれば、ヤコビ行列のランクは2である。
ここで、微分同相 写像によって与えられるU 上の座標変換を考えます。f : U → U 、 {\displaystyle f\colon U\to U,} （ u 1 、 u 2 ） {\displaystyle (u_{1},u_{2})} （ v 1 、 v 2 ） {\displaystyle (v_{1},v_{2})} （ u 1 、 u 2 ） = f （ v 1 、 v 2 ） {\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})} F 私 j = ∂ f 私 ∂ v j 。 {\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}
新しい座標では、 ∂ φ 私 ∂ v j = ∑ k = 1 2 ∂ φ 私 ∂ u k ∂ f k ∂ v j {\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}} g ～ = F T g F {\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF} g ～ {\displaystyle {\tilde {g}}} はv 座標系におけるプルバックメトリックです。行列式は 検出 g ～ = 検出 g （ 検出 F ） 2 。 {\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}
上記の構成を踏まえれば、体積要素が方向を保持する座標変換に対して不変である理由を容易に理解できるはずである。
2次元では、体積は面積に等しい。部分集合の面積B ⊂ U {\displaystyle B\subset U} エリア （ B ） = ∬ B 検出 g d u 1 d u 2 = ∬ B 検出 g | 検出 F | d v 1 d v 2 = ∬ B 検出 g ～ d v 1 d v 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}
したがって、どちらの座標系においても、体積要素は同じ式で表される。つまり、体積要素の式は座標変換に対して不変である。
上記の説明は2次元に特有のものではなく、任意の次元に容易に一般化できることに注意してください。
例：球体 例えば、R 3 の原点を中心とする半径r の球を考えてみましょう。これは、マップを 使用して球面座標 でパラメータ化できます。ϕ （ u 1 、 u 2 ） = （ r コス u 1 罪 u 2 、 r 罪 u 1 罪 u 2 、 r コス u 2 ） 。 {\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).} g = （ r 2 罪 2 u 2 0 0 r 2 ） 、 {\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},} ω = 検出 g d u 1 d u 2 = r 2 罪 u 2 d u 1 d u 2 。 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}
参考文献 Besse、Arthur L. (1987)、アインシュタイン多様体 、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、pp. xii+510、ISBN 978-3-540-15279-8 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154e0086b523c6c208e2857a9f57dbaffb72c58f)
