球状のキャップ

なお、以下の微積分に基づく議論とは別に、球冠の面積は体積から導き出すことができる。${\displaystyle V_{sec}}$球面セクターの直観的な議論により、^{[ 2 ]}

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

直感的な議論は、微小な三角錐の体積から全体のセクター体積を合計することに基づいています。ピラミッド（または円錐）の体積公式を利用すると、${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$、 どこ${\displaystyle b}$は、各ピラミッド底面（球面上に位置する）の微小面積であり、${\displaystyle h'}$は、各ピラミッドの底面から頂点（球の中心）までの高さです。${\displaystyle h'}$極限では、は定数であり、半径に等しい。${\displaystyle r}$球面の微小なピラミッド底面の合計は球状扇形の面積に等しくなり、

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

体積と面積の公式は、関数の回転を調べることによって導き出すことができる。

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

のために${\displaystyle x\in [0,h]}$面積には回転面の公式を、体​​積には回転体の公式を用いる。面積は

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

の導関数${\displaystyle f}$は

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

そしてそれゆえに

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

したがって、面積の公式は次のようになります。

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

ボリュームは

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

半径が 2 つの交差する球の和集合の体積${\displaystyle r_{1}}$そして${\displaystyle r_{2}}$[ ^{3 ]​}

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

どこ

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

は、2 つの孤立した球の体積の合計であり、

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

2つの球冠の交差部分の体積の合計。${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$2 つの球の中心間の距離、変数の消去${\displaystyle h_{1}}$そして${\displaystyle h_{2}}$^{[ 4 ] [ 5 ]}につながる

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

曲面底面を持つ球冠の体積は、半径が 2 つの球を考慮することで計算できます。${\displaystyle r_{1}}$そして${\displaystyle r_{2}}$ある程度の距離を置いて${\displaystyle d}$、そしてそれらの表面が交差する点において${\displaystyle x=h}$つまり、底面の曲率は球体2に由来する。したがって、体積は球体2のキャップ（高さ付き）と底面の曲率の差となる。${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$）と球体1のキャップ（高さ付き）${\displaystyle h}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

この式は、以下の条件を満たす構成に対してのみ有効です。${\displaystyle 0<d<r_{2}}$そして${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$. 球体 2 が非常に大きい場合、${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$したがって${\displaystyle d\gg h}$そして${\displaystyle r_{2}\approx d}$これは、曲率が無視できる底面を持つ球冠の場合であり、上記の式は予想どおり、平らな底面を持つ球冠の体積と等しくなります。

半径の交差する 2 つの球体を考えます。${\displaystyle r_{1}}$そして${\displaystyle r_{2}}$中心が距離で離れている${\displaystyle d}$交差するのは

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

余弦定理より、半径の球面上の球冠の極角は${\displaystyle r_{1}}$は

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

これを用いて、半径の球の球冠の表面積を求める${\displaystyle r_{1}}$は

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

2つの平行な円盤で囲まれた球状セグメントの曲面表面積は、それぞれの球冠の表面積の差に等しい。半径の球の場合${\displaystyle r}$高さのあるキャップ${\displaystyle h_{1}}$そして${\displaystyle h_{2}}$その地域は

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

または、緯度を含む地理座標を使用する${\displaystyle \phi _{1}}$そして${\displaystyle \phi _{2}}$[ ^{6 ]​}

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

例えば、地球を半径 6371 km の球体と仮定すると、北極圏 (2016 年 8 月時点の北緯 66.56° の北極圏の北^{[ 7 ]} ) の表面積は2 π ⋅ 6371 ² | sin 90° − sin 66.56° | = 2104万km ² (812万mi ² )であり、地球の総表面積の0.5 ⋅ | sin 90° − sin 66.56° | = 4.125% に相当します。    

この公式は、地球の表面積の半分が南緯30度と北緯30度の間の球状の領域にあり、その領域がすべての熱帯地域を包含していることを示すためにも使用できます。

球状ドームは、回転軸を持つ円対称ドームとなるように回転球の一部を切り取ることによって得られ、同様に楕円体ドームは楕円体から派生します。

一般的に、${\displaystyle n}$高さの超球形キャップの次元体積${\displaystyle h}$半径${\displaystyle r}$で${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間は次のように与えられる：^{[ 8 ]}$${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$$ どこ${\displaystyle \Gamma }$（ガンマ関数）は次のように与えられる。${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$。

の式${\displaystyle V}$単位n球の体積で表すことができる${\textstyle C_{n}=\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}$超幾何関数${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$または正則化された不完全ベータ関数${\displaystyle I_{x}(a,b)}$として $${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

面積の公式${\displaystyle A}$単位n球の面積で表すことができる${\textstyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$として $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$ どこ${\displaystyle 0\leq h\leq r}$。

A. Chudnov ^{[ 9 ]}は以下の式を導出した。 $${\displaystyle A=A_{n}r^{n-1}p_{n-2}(q),\,V=C_{n}r^{n}p_{n}(q),}$$どこ $${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,}$$$${\displaystyle G_{n}(q)=\int _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$$

奇数の場合${\displaystyle n=2k+1}$: $${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$$