曲線

数学において、曲線（古い文献では曲線とも呼ばれる）は直線に似た物体であるが、必ずしも直線である必要はない。

直感的に言えば、曲線は動く点が残した軌跡と考えることができます。これは、2000年以上前にユークリッドの『原論』に登場した定義です。「[曲線]線^{[ a ]}は、幅も深さもなく、長さという一次元のみを持つ量の最初の種類であり、想像上の動きによって長さの痕跡を残す点の流れまたは軌跡に他ならず、幅は存在しない。」^{[ 1 ]}

曲線の定義は、現代数学では次のように形式化されています。曲線とは、連続関数による位相空間への区間の像 です。文脈によっては、曲線を定義する関数はパラメーター化と呼ばれ、曲線はパラメーター曲線と呼ばれます。この記事では、微分可能曲線などの制約の多い曲線と区別するために、これらの曲線を位相曲線と呼ぶことがあります。この定義は、数学で研究されているほとんどの曲線を包含します。注目すべき例外は、等高線（曲線と孤立点の和集合）と代数曲線（下記参照）です。等高線と代数曲線は、一般に陰関数で定義されるため、陰関数曲線と呼ばれることもあります。

しかしながら、位相曲線のクラスは非常に広く、曲線として期待されるような形状をしていないものや、そもそも描くことのできないものも含まれています。空間充填曲線やフラクタル曲線などがその例です。より規則性を確保するために、曲線を定義する関数は微分可能であると仮定されることが多く、その場合、その曲線は微分可能曲線と呼ばれます。

平面代数曲線は、2 つの不定元に関する多項式の零点集合です。より一般的には、代数曲線は、次元が 1 の代数多様体であるという条件を満たす有限個の多項式の零点集合です。多項式の係数が体 $k$ に属する場合、曲線は $k$ 上で定義されていると言われます。実数体 $k$ における実代数曲線の一般的な場合、代数曲線は位相曲線の有限個の和集合です。複素零点を考慮すると、複素代数曲線が得られます。これは位相的な観点からは曲線ではなく曲面であり、しばしばリーマン面と呼ばれます。一般的な意味での曲線ではありませんが、他の体上で定義された代数曲線は広く研究されています。特に、有限体上の代数曲線は、現代の暗号で広く使用されています。

歴史

曲線への関心は、数学の研究対象となるずっと前から始まっていました。これは、先史時代にまで遡る芸術や日用品における曲線の装飾的な使用例に数多く見られます。^{[ 2 ]}曲線、あるいは少なくともその図式表現は、例えば砂浜で棒を使って描くなど、簡単に作成できます。

歴史的には、線という用語は、より現代的な曲線という用語の代わりに使われていました。そのため、直線と直角という用語が、今日線と呼ばれるものと曲線を区別するために使われていました。例えば、ユークリッドの『原論』第1巻では、線は「幅のない長さ」（定義2）と定義され、直線は「それ自身上の点と均等に位置する線」（定義4）と定義されています。ユークリッドの線の概念は、「線の端点は点である」（定義3）という記述によって、おそらく明確化されています。^{[ 3 ]}後世の注釈者たちは、さまざまな体系に従って線をさらに分類しました。例えば：^{[ 4 ]}

複合線（角度を形成する線）
合成線
- 確定線（円のように無限に伸びない線）
- 不定形（直線や放物線など、無限に伸びる線）

ギリシャの幾何学者たちは、他にも多くの種類の曲線を研究していた。その理由の一つは、標準的なコンパスと定規を使った作図では解けない幾何学的問題を解決することに関心があったからである。これらの曲線には以下のようなものがある。

円錐曲線は、ペルガのアポロニウスによって深く研究された。
ディオクレスのシッソイドは、ディオクレスによって研究され、立方体を2倍にする方法として使用されました。^{[ 5 ]}
ニコメデスの貝殻形は、立方体を2倍にする方法と角を3等分する方法の両方としてニコメデスによって研究された。^[⁶^]
アルキメデス螺旋は、アルキメデスが角を三等分して円を正方形にする方法として研究したものです。^{[ 7 ]}
ペルセウスが円錐の断面として研究した螺旋断面、すなわちトーラスの断面は、アポロニウスによっても研究されていた。

曲線理論における根本的な進歩は、17世紀にルネ・デカルトによって導入された解析幾何学であった。これにより、複雑な幾何学的構成ではなく方程式を用いて曲線を記述することが可能になった。これは、新しい曲線を定義し研究することを可能にしただけでなく、多項式方程式を用いて定義できる代数曲線と、定義できない超越曲線との間に形式的な区別を設けることを可能にした。それまで、曲線は、どのように生成されるか、あるいは生成されると考えられているかに応じて、「幾何学的」または「機械的」と記述されていた。^[²^]

円錐曲線はケプラーによって天文学に応用された。

ニュートンは変分法の初期の例にも取り組んだ。最速降下曲線や等時曲線といった変分問題の解法は、曲線の性質を新たな方法で導入した（この場合はサイクロイド）。懸垂線はその名の通り、吊り下げられた鎖の問題の解法であり、微分法によって日常的に解けるようになった種類の問題である。

18世紀には、平面代数曲線の理論が一般的に始まった。ニュートンは、実点を「楕円」として一般的に記述する三次曲線を研究していた。ベズーの定理の発表は、特異点や複素解など、当時の幾何学では直接理解できなかった多くの側面を明らかにした。

19世紀以来、曲線理論は多様体と代数多様体の理論の1次元の特殊な場合として捉えられてきた。しかしながら、空間充填曲線、ジョルダン曲線定理、ヒルベルトの第16問題など、曲線に特有の多くの問題が未解決のまま残されている。

位相曲線

位相曲線は連続関数によって指定できる $\gamma \colon I\rightarrow X$ 実数の区間 $I$ から位相空間 $X$ へ。厳密に言えば、曲線は $\gamma .$ しかし、状況によっては、 $\gamma$ それ自体は曲線と呼ばれ、特に画像が一般的に曲線と呼ばれるものに似ておらず、十分に特徴付けられていない場合は、曲線と呼ばれます。 $\gamma .$

例えば、ペアノ曲線、あるいはより一般的には空間充填曲線の画像は正方形を完全に埋め尽くすため、どのように $\gamma$ 定義されています。

曲線 $\gamma$ 閉じている^{[ b ]}か、ループである場合 $I=[a,b]$ そして $\ガンマ (a)=\ガンマ (b)$ 閉曲線は、円の連続写像の像である。閉曲線でない曲線は、開曲線とも呼ばれる。

位相曲線の定義域が閉区間かつ有界区間である場合 $I=[a,b]$ 曲線はパスと呼ばれ、トポロジーアーク（または単に）としても知られています。弧）。

曲線が単純曲線であるのは、それが区間または円の単射連続関数による像である場合である。言い換えれば、曲線が連続関数によって定義されている場合である。 $\gamma$ 区間を定義域とする場合、曲線が単純であるのは、区間内の任意の異なる 2 点が異なる像を持つ場合に限る。ただし、点が区間の端点である場合は例外となる可能性がある。直感的に言えば、単純曲線とは「自己交差せず、欠落点を持たない」曲線（連続的で自己交差しない曲線）である。^{[ 8 ]}

平面曲線とは、 $X$ はユークリッド平面です。これらは最初に遭遇する例です。場合によっては射影平面です。空間曲線とは、 $X$ 少なくとも3次元である。歪んだ曲線空間曲線は、どの平面にも属さない空間曲線です（例えば、らせん）。平面曲線、空間曲線、およびねじれ曲線のこれらの定義は、実代数曲線にも適用されますが、上記の曲線の定義は適用されません（実代数曲線は非連結である可能性があります）。空間曲線の古い用語は「二重曲率曲線」です。これは、空間曲線が2つの方法で曲がっている（曲率とねじれの両方を持つ）ためです。

平面上の単純閉曲線は、ジョルダン曲線とも呼ばれます。これは、平面上の自己交差しない連続ループとしても定義されます。 ^{[ 9 ]}ジョルダン曲線の定理は、平面上のジョルダン曲線の補集合は、2 つの連結成分から構成されると述べています（つまり、曲線は平面を 2 つの交差しない領域に分割し、両方とも連結しています）。ジョルダン曲線内の境界領域は、ジョルダン領域として知られています。

曲線の定義には、一般的な用法では曲線とは言い難い図形が含まれます。たとえば、曲線の画像は平面上の正方形を覆うことができ（空間充填曲線）、単純な曲線は正の面積を持つことがあります。^{[ 10 ]}フラクタル曲線は、常識では奇妙に思える性質を持つことがあります。たとえば、フラクタル曲線は、1 より大きいハウスドルフ次元を持ち（コッホ雪片を参照）、正の面積を持つことさえあります。例として、ドラゴン曲線があり、これは他にも多くの珍しい性質を持っています。

微分可能な曲線

大まかに言えば、微分可能な曲線とは、局所的に単射微分可能関数の像として定義される曲線のことである。 $\gamma \colon I\rightarrow X$ 実数の区間 $I$ から微分可能な多様体 $X$ へ、しばしば $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

より正確には、微分可能な曲線は、 $X$ の部分集合 $Cであり、$ $C$ のすべての点が近傍 $U を$ 持ち、 $C\cap U$ 微分可能な曲線は、実数のある区間と同相である。言い換えれば、微分可能な曲線は、次元が1の微分可能な多様体である。

微分可能な弧

ユークリッド幾何学において、弧（記号：⌒）は微分可能な曲線の連結部分集合である。

弧状の線は、その境界の付け方によって、線分、半直線、または直線と呼ばれる。

一般的な曲線の例としては、円弧と呼ばれる円の弧があります。

球体（または回転楕円体）において、大円（または大楕円）の弧は、大弧と呼ばれます。

曲線の長さ

もし $X=\mathbb {R} ^{n}$ は $n$ 次元ユークリッド空間、そしてもし ${\displaystyle \gamma$ は単射かつ連続微分可能な関数であり、その長さは $\gamma$ は量として定義される

\operatorname {長さ} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

曲線の長さはパラメーター化に依存しない $\gamma$ 。

特に、長さ $s$ 連続的に微分可能な関数のグラフ $y=f(x)$ 閉区間上で定義される $[a,b]$ は

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},

これは直感的には、曲線の全長にわたって無限小スケールでピタゴラスの定理を連続的に使用することと考えることができる。 ^{[ 11 ]}

より一般的に言えば、 $X$ は距離空間であり、距離は $d$ そうすれば曲線の長さを定義できる ${\displaystyle \gamma$ による

\operatorname {長さ} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},

至高者がすべてを支配している場所 $n\in \mathbb {N}$ そしてすべてのパーティション $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$ の $[a,b]$ 。

可測曲線とは、有限の長さを持つ曲線のことである。 ${\displaystyle \gamma$ は、任意の $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ そのため $t_1 ≤ t_2$ 、我々は持っています

\operatorname {長さ} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

もし ${\displaystyle \gamma$ がリプシッツ連続関数であれば、自動的に整流可能となる。さらに、この場合、速度（または計量微分） $\gamma$ で $t\in [a,b]$ として

速度 _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|st|}}}

そして、それを示してください

\operatorname {長さ} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {速度} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

微分幾何学

最初に目にする曲線は主に平面曲線（つまり、日常的な言葉で言えば、二次元空間における曲線）ですが、螺旋のように三次元空間に自然に存在する明らかな例もあります。幾何学、そして例えば古典力学では、任意の次元の空間における曲線の概念が必要となります。一般相対性理論では、世界線は時空における曲線です。

もし $X$ が微分可能な多様体である場合、微分可能な曲線の概念を定義できます。 $X$ この一般的な考え方は、数学における曲線の多くの応用を網羅するのに十分である。局所的な観点からは、 $X$ ユークリッド空間である。一方、より一般的にすると、（例えば）接ベクトルを定義できる。 $X$ この曲線の概念によって。

もし $X$ は滑らかな多様体であり、滑らかな曲線である。 $X$ 滑らかなマップです

\gamma \colon I\rightarrow X

。

これは基本的な考え方です。より限定的な考え方とより限定的な考え方もあります。 $X$ は $C^{k}$ 多様体（つまり、チャートの遷移マップが $k$ （連続的に微分可能）の場合、 $C^{k}$ 曲線 $X$ このような曲線は、 $C^{k}$ （つまり） $k$ （連続的に微分可能） $X$ は解析多様体（つまり無限回微分可能であり、グラフはべき級数として表現できる）であり、 $\gamma$ 解析マップの場合、 $\gamma$ は解析曲線であると言われています。

微分可能な曲線は導関数が場合、正則曲線である。（言い換えれば、正則曲線は減速して停止したり、自分自身に戻ったりすることはない。）2 $C^{k}$ 微分可能な曲線

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

そして

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

全単射が存在する場合、それらは同値であると言われる。 $C^{k}$ 地図

p\colon J\rightarrow I

逆写像

p^{-1}\colon I\rightarrow J

また $C^{k}$ 、そして

\gamma_2(t)=\gamma_1(p(t))

すべての人々のために $t$ 地図 $\displaystyle \gamma _{2}}$ これは再パラメータ化と呼ばれます $\displaystyle \gamma _{1}}$ ;そしてこれはすべての集合上に同値関係を作る $C^{k}$ 微分可能な曲線 $X$ . A $C^{k}$ 弧は同値類である $C^{k}$ 再パラメータ化の関係における曲線。

代数曲線

代数曲線は、代数幾何学で扱われる曲線です。平面代数曲線とは、 $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0$ となるような座標 $x$ $,$ $y$ の点の集合です。ここで $fはある体$ $F$ 上で定義された 2 変数の多項式です。この曲線は $F$ 上で定義されていると言います。代数幾何学では通常、 $F$ の座標を持つ点だけでなく、代数的に閉じた体 $K$ の座標を持つすべての点も考慮されます。

C がFの係数を持つ多項式fによって定義される曲線である場合、その曲線はF上で定義されていると言われます。

実数上で定義された曲線の場合、通常は複素座標を持つ点を考えます。この場合、実座標を持つ点は実点であり、すべての実点の集合は曲線の実部です。したがって、代数曲線の実部のみが位相曲線になり得ます（ただし、代数曲線の実部は非連結で孤立点を含む場合もあるため、常にそうとは限りません）。曲線全体、すなわちその複素点の集合は、位相的な観点からは曲面です。特に、非特異な複素射影代数曲線はリーマン面と呼ばれます。

体 $G$ の座標を持つ曲線 $Cの点は、$ $G$ 上で有理点であると言われ、 $C$ $($ $G$ $)$ と表記されます。G $が$ 有理数の体である場合、単に有理点と呼ばれます。例えば、フェルマーの最終定理は次のように言い換えることができます。n $>$ $2$ の場合、次数 $nの$ フェルマー曲線のすべての有理点はゼロ座標を持ちます。

$代数曲線は、空間曲線、つまりn$ 次元の高次元空間における曲線にもなり得ます。これらは、 1次元の代数多様体として定義されます。これらは、 $n$ 個の変数に関する少なくとも $n$ $- 1$ 個の多項式方程式の共通解として得られます。n – 1 個の多項式で n 次元空間における曲線を定義できる場合 $、$ $その$ $曲線$ は完全交点であると言われます。変数消去法（消去理論の任意の手法による）によって、代数曲線を平面代数曲線に投影することができますが、その際に尖点や二重点などの新たな特異点が生じる可能性があります。

A plane curve may also be completed to a curve in the projective plane: if a curve is defined by a polynomial $f$ of total degree $d$ , then $w d f (u / w, v / w)$ simplifies to a homogeneous polynomial $g (u, v, w)$ of degree $d$ . The values of $u, v, w$ such that $g (u, v, w) = 0$ are the homogeneous coordinates of the points of the completion of the curve in the projective plane and the points of the initial curve are those such that $w$ is not zero. An example is the Fermat curve $u n + v n = w n$ , which has an affine form $x n + y n = 1$ . A similar process of homogenization may be defined for curves in higher dimensional spaces.

Except for lines, the simplest examples of algebraic curves are the conics, which are nonsingular curves of degree two and genus zero. Elliptic curves, which are nonsingular curves of genus one, are studied in number theory, and have important applications to cryptography.

Notes

↑In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.
↑This term my be ambiguous, as a non-closed curve may be a closed set, as is a line in a plane.

References

↑ (かなり古い) フランス語: 「La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une Dimensions à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du point, lequel […] laissera de Son mouvement imaginaire quelque長い間痕跡を残し、緯度は免除されます。」 Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarian、traduits de Grec en François、& augmentez de plusieurs の図とデモンストレーション、avec lacorrections des erreurs commises és autres traductions の7 ページと 8 ページ、ピエールマルデル著、リヨン、MDCXLV （1645年）。
1 2ロックウッド p. ix
↑ヒース著、153ページ
↑ヒース著、160ページ
↑ロックウッド著、132ページ
↑ロックウッド p.129
↑オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「アルキメデスの螺旋」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
↑ 「Dictionary.com での Jordan arcの定義。Dictionary.com Unabridged。Random House, Inc」。Dictionary.reference.com。2012-03-14に取得。
↑ Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry . Logos Verlag Berlin GmbH. p. 7. ISBN 9783832531195。
↑ Osgood, William F. (1903 年 1 月). "正の面積を持つジョルダン曲線" .アメリカ数学会紀要. 4 (1).アメリカ数学会: 107– 112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
↑デイビス、エレリー・W.、ブレンケ、ウィリアム・C. (1913). 『微積分』マクミラン社。108ページ。ISBN 9781145891982。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

さらに読む

AS Parkhomenko (2001) [1994]、「直線（曲線）」、数学百科事典、EMS Press
B.I. ゴルボフ (2001) [1994]、「可測曲線」、数学百科事典、EMS Press
ユークリッド、 TLヒースによる解説と翻訳『原論』第1巻（1908年、ケンブリッジ大学出版局）Googleブックス
EHロックウッド著『曲線の本』（1961年、ケンブリッジ大学出版局）

外部リンク

有名な曲線インデックス、セント・アンドリュース大学数学・統計学部、スコットランド
数学曲線 874個の2次元数学曲線のコレクション
円から作られた空間曲線のギャラリー（ピーター・モーゼスによるアニメーションを含む）
ビショップ曲線とその他の球面曲線のギャラリー（ピーター・モーゼスによるアニメーションを含む）
数学百科事典の線に関する記事。
1-多様体に関する多様体アトラスのページ。

[1] In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.

[9] This term my be ambiguous, as a non-closed curve may be a closed set, as is a line in a plane.

[2] (かなり古い) フランス語: 「La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une Dimensions à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du point, lequel […] laissera de Son mouvement imaginaire quelque長い間痕跡を残し、緯度は免除されます。」 Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarian、traduits de Grec en François、& augmentez de plusieurs の図とデモンストレーション、avec lacorrections des erreurs commises és autres traductions の7 ページと 8 ページ、ピエールマルデル著、リヨン、MDCXLV （1645年）。

[Lockwood-3] 1 2ロックウッド p. ix

[4] ヒース著、153ページ

[5] ヒース著、160ページ

[6] ロックウッド著、132ページ

[7] ロックウッド p.129

[8] オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「アルキメデスの螺旋」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学

[10] 「Dictionary.com での Jordan arcの定義。Dictionary.com Unabridged。Random House, Inc」。Dictionary.reference.com。2012-03-14に取得。

[11] Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry . Logos Verlag Berlin GmbH. p. 7. ISBN 9783832531195。

[12] Osgood, William F. (1903 年 1 月). "正の面積を持つジョルダン曲線" .アメリカ数学会紀要. 4 (1).アメリカ数学会: 107– 112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[13] デイビス、エレリー・W.、ブレンケ、ウィリアム・C. (1913). 『微積分』マクミラン社。108ページ。ISBN 9781145891982。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

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