対蹠点

数学では、球（または円を含むn次元球）上の2点が、球上の2点を結び、その中心を通る直線である直径の端点である場合、それらは対蹠点または正反対であると呼ばれる。^{[ 1 ]}

球面上の任意の点に対して、その対蹠点は、内在的に測定した距離（球面上の大円距離）または外在的に測定した距離（球面内部を通る弦距離）のいずれにおいても、最も遠い唯一の点である。球面上の点を通るすべての大円は、その点の対蹠点も通過し、対蹠点のペアを通る大円は無限に存在する（対蹠点でない点のペアの場合とは異なり、両方の点を通る大円は一意である）。球面幾何学における多くの結果は、対蹠点でない点の選択に依存しており、対蹠点が許容されると退化する。例えば、2つの頂点が対蹠点である場合、球面三角形は不完全な三日月形に退化する。

ある点の対蹠点をその対蹠点と呼びます。これはギリシャ語のἀντίποδες ( antípodes )「反対の足」に由来します。対蹠点§ 語源を参照してください。sが省略され、 antipodeと表記される場合もありますが、これは逆成です。

対蹠点の概念は、あらゆる次元の球体にも一般化できます。球体上の2つの点が中心を通る場合、それらは対蹠点です。中心を通る各直線は、球体と2点で交わります。これは、中心から発する各光線に対応する点であり、これらの2つの点が対蹠点です。

ボルスク・ウラムの定理は、このような点のペアを扱う代数トポロジーの結果です。この定理は、任意の連続関数が${\displaystyle S^{n}}$に$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$対蹠点のペアをマッピングする${\displaystyle S^{n}}$同じ地点で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ここ、${\displaystyle S^{n}}$は${\displaystyle n}$次元球体と$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は${\displaystyle n}$次元実座標空間。

対蹠地図${\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}$球面上のすべての点をその対蹠点に送ります。${\displaystyle n}$球は、ユークリッド空間における球の中心からの変位ベクトルとして表される。${\displaystyle (n+1)}$-空間の場合、 2つの対蹠点は加法逆元によって表される。${\displaystyle \mathbf {v} }$そして${\displaystyle -\mathbf {v} ,}$そして対蹠地図は次のように定義できる。${\displaystyle A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .}$対蹠写像は、向きを保持する（恒等写像と相同である）^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$奇妙で、${\displaystyle n}$は偶数です。その次数は${\displaystyle (-1)^{n+1}.}$

対蹠点が特定され（等価とみなされ）、球面は実射影空間のモデルとなる。

• カット遺伝子座

• 「対蹠点」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 「対蹠」。PlanetMath 。