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オイラー角は、レオンハルト・オイラーが固定座標系に対する剛体の向きを表すために導入した3つの角度である。[ 1 ]
これらは、物理学における移動座標系の向きや、 3次元線形代数における一般基底の向きを表すこともできる。
古典的なオイラー角では、傾斜角を0度が垂直方向を表すように定義するのが一般的です。その後、ピーター・ガスリー・テイトとジョージ・H・ブライアンによって、航空学や工学分野での使用を目的とした、0度が水平方向を表す別の形式が導入されました。
オイラー角は、基本幾何学によって定義することも、回転の合成（すなわち連鎖回転）によって定義することもできます。幾何学的な定義によれば、3つの連続した基本回転（座標系の軸を中心とした回転）で、常に任意の目標フレームに到達できることが示されています。
3つの基本回転は、外因性回転（静止していると仮定される元の座標系のx、y、z軸周りの回転）または内因性回転（移動する物体と一体化した回転座標系X、Y、Z軸周りの回転で、各基本回転後に外因性フレームに対する向きが変化する）のいずれかである。
以下のセクションでは、上付きプライム記号が付いた軸の指定（例：z ″）は、基本回転後の新しい軸を表します。
オイラー角は通常、α、β、γ、またはφ、θ、ψで表されます。著者によって、オイラー角を定義するために異なる回転軸のセットを使用したり、同じ角度に異なる名前を使用したりする場合があります。したがって、オイラー角を用いた議論を行う際には、必ずその定義を最初に示す必要があります。
回転軸の定義に2つの異なる慣例（内部または外部）を使用する可能性を考慮しない場合、回転軸の可能なシーケンスは12通りあり、2つのグループに分けられます。
テイト・ブライアン角は、カルダン角、航海角、方位角、仰角、バンク角、またはヨー角、ピッチ角、ロール角とも呼ばれます。場合によっては、両方の種類の角列を「オイラー角」と呼ぶこともあります。その場合、最初のグループの角列は、固有オイラー角または古典的オイラー角と呼ばれます。
オイラー角は、スイスの数学者レオンハルト・オイラー（1707～1783）によって導入された、固定座標系に対する剛体の向きを表す3つの角度である。[ 1 ]
元の座標系の軸はx、y、zで表され、回転後の座標系の軸はX、Y、Zで表されます。幾何学的定義（静的定義と呼ばれることもあります）は、ノードの線（N）を平面xyとXYの交点として定義することから始まります（これは、 z軸とZ軸に共通に垂直な線として定義することもでき、その場合はベクトル積N = z × Zと表されます）。これを用いて、3 つのオイラー角を次のように定義できます。
2 つの基準座標系間のオイラー角は、両方の座標系が同じ左右対称性を持つ場合にのみ定義されます。
固有回転とは、移動する物体に取り付けられた座標系XYZの軸を中心に発生する基本回転のことです。そのため、基本回転ごとに向きが変わります。XYZ系は回転しますが、xyzは固定されています。XYZがxyzと重なる状態から始めると、3つの固有回転を組み合わせることで、 XYZの任意の目標向きに到達できます。
オイラー角は、固有回転によって定義できます。回転後の座標系XYZは、オイラー角で表される3つの基本回転を受ける前は、 xyzと整列していると考えることができます。その連続的な向きは、次のように表すことができます。
上記の回転シーケンスでは、ノードの線N は、最初の基本回転後のXの向きとして簡単に定義できます。したがって、 N は単にx ′と表すことができます。さらに、3 番目の基本回転はZ を中心に行われるため、 Zの向きは変わりません。したがって、Z はz ″と一致します。これにより、オイラー角の定義を次のように簡略化できます。
例: Wigner [ 2 ]はZX′Z′ の順序を使用してオイラー角を定義します。 Hirschfelder ら[ 3 ]はZY′Z′ の順序を使用してオイラー角を定義します。
外因回転とは、固定座標系xyzの軸を中心とした基本回転のことです。xyzは固定されたまま、XYZ系が回転します。xyz と重なり合うXYZから始めて、3 つの外因回転を組み合わせることで、XYZ の任意の目標方向を実現できます。オイラー角またはテイト・ブライアン角 ( α、β、γ ) は、これらの基本回転の振幅です。例えば、目標方向は次のように実現できます (オイラー角の適用順序が逆になっていることに注意してください)。
要約すると、3つの基本回転はz、x、z軸を中心に行われます。この順序はしばしばz - x - z（または3-1-3）と表記されます。適切なオイラー角とテイト・ブライアン角の両方に関連付けられた回転軸のセットは、一般的にこの表記法を使用して命名されます（それぞれ6つの可能性については上記を参照）。
例：BradleyとCracknell [ 4 ]およびEvarestov [ 5 ]は、固定（非プライム）軸を中心とした回転を使用しています。
回転の各ステップが回転座標系XYZ上で作用する場合、その回転は固有回転（ZX′-Z″）である。固有回転は3-1-3と表記されることもある。
角度は一般的に右手の法則に従って定義されます。つまり、軸の正の方向から見たときに時計回りの回転を表す場合は正の値、反時計回りの回転を表す場合は負の値をとります。これとは逆の慣例（左手の法則）はあまり採用されていません。
範囲について（区間表記を使用）：
角度α、β、γ は、xy平面とXY平面が同一である、つまりz軸とZ軸の方向が同じか反対方向であるという特異な場合を除いて、一意に決定されます。実際、 z軸とZ軸が同じ方向の場合、β = 0となり、 α + γのみが一意に定義されます (個々の値は定義されません)。同様に、z軸とZ軸が反対方向の場合、β = πとなり、 α − γのみが一意に定義されます (個々の値は定義されません)。これらの曖昧さは、アプリケーションではジンバルロックとして知られています。
適切なオイラー角を得るための回転軸の選択方法は6通りあります。いずれの場合も、第1回転軸と第3回転軸は同じです。考えられる6つの順序は次のとおりです。
歳差運動、章動、および固有回転は、オイラー角の1つを変更し、他の2つを一定に保つことによって得られる運動として定義されます。これらの運動はすべて外部座標系で表現されるわけではなく、またすべて共動回転体座標系で表現されるわけでもなく、混合した形で表現されます。これらは混合回転軸システムを構成します。歳差運動は節点の列を外部軸zの周りで移動させ、章動は節点の列Nの周りで回転し、固有回転は移動する物体に固定された軸Zの周りで行われます。
物体が特定の向きの変化を起こす場合、それは歳差運動、章動、内部回転の組み合わせとして記述できますが、それぞれの程度は、物体に対して選択したXYZ座標系によって異なります。
例えば、コマを考えてみましょう。Z軸をコマの対称軸と定義すると、コマが自身の対称軸を中心に回転することは、固有回転に相当します。また、コマは回転軸を中心に回転し、その重心は回転軸の周りを公転します。この回転は歳差運動です。最後に、コマは上下に揺れることがあります（対称コマと呼ばれるものでない場合）。傾斜角の変化は章動です。地球の運動にも、同様の例が見られます。
これら3つの動きはすべて回転行列で表現できるが、歳差運動のみが、他の角度に依存しない空間の基底における行列として一般的に表現できる。
これらの動きは、ジンバル機構としても機能します。ジンバルのように、それぞれが前のフレームに対して1つの角度だけ移動できる一連のフレームが与えられた場合、外部の固定フレーム、1つの最終フレーム、そして中間の2つのフレーム（「中間フレーム」と呼ばれる）が存在します。中間の2つのフレームは、最後のフレームが空間内の任意の向きに到達できるようにする2つのジンバルリングとして機能します。
2つ目の形式は、スコットランドの数理物理学者ピーター・ガスリー・テイト（1831～1901）とイギリスの応用数学者ジョージ・H・ブライアン（1864～1928）にちなんで、テイト・ブライアン角と呼ばれています。これは通常、航空宇宙分野で用いられる慣例であり、仰角0度は水平姿勢を表します。テイト・ブライアン角は、世界座標系に対する航空機の向きを表します。他の乗り物を扱う場合は、異なる座標軸の慣例が用いられることもあります。
テイト・ブライアン角に使用される定義と表記法は、上記のオイラー角（幾何学的定義、内在回転の定義、外在回転の定義）について説明したものと似ています。唯一の違いは、テイト・ブライアン角は3つの異なる軸（例：x - y - z、またはx - y ′ - z ″）を中心とした回転を表すのに対し、オイラー角は最初の基本回転と3番目の基本回転の両方に同じ軸（例：z - x - z、またはz - x ′ - z ″）を使用する点です。
これは、幾何学的構成における節点の線の定義が異なることを意味します。適切なオイラー角の場合、節点の線は、2 つの同値なデカルト平面 (オイラー角がゼロの場合に平行。例: xyとXY ) の交点として定義されます。テイト・ブライアン角の場合、節点の線は、2 つの非同値な平面 (オイラー角がゼロの場合に垂直。例: xyとYZ )の交点として定義されます。
3つの基本回転は、静止したままの元の座標系の軸を中心とした回転（外因性回転）と、各基本回転の後に向きが変わる回転座標系の軸を中心とした回転（内因性回転）のいずれかで発生する可能性があります。
テイト・ブライアン角の回転軸を選択する方法は6通りあります。考えられる6つの順序は次のとおりです。
テイト・ブライアン規約は、工学分野で様々な目的で広く用いられています。可動軸と固定軸を選択するための軸規約はいくつか存在し、これらの規約によって角度の符号が決まります。したがって、それぞれのケースにおける符号を注意深く検討する必要があります。
角度ψとφの範囲は2πラジアンです。θの範囲はπラジアンです。
これらの角度は通常、外部参照フレーム（方位、方位角）、内部移動フレーム（バンク角）、および中間フレーム（この目的においてはノード線に相当する、水平面に対する仰角または傾斜角）の3つとして扱われます。
航空機の場合、基準座標系と一致する座標系から開始し、適切な順序で行えば、主軸を中心とした3回の回転でそれらを得ることができる。
そのため、航空宇宙分野では、これらはヨー、ピッチ、ロールと呼ばれることがあります。ただし、回転が他の順序で適用された場合、または航空機の軸が基準座標系と等価でない位置から開始された場合は、この方法は機能しないことに注意してください。
テイト・ブライアン角は、z - y ′- x ″ (固有回転) の慣例に従い、船舶や航空機の向きを表すために使用できることから航海角とも呼ばれ、また、カルダンサスペンションとカルダンジョイントを初めて詳細に記述したイタリアの数学者で物理学者のジェロラモ・カルダーノにちなんでカルダン角とも呼ばれます。
よくある問題として、与えられた座標系のオイラー角を求めることが挙げられます。最も速い方法は、与えられた3つのベクトルを行列の列として書き出し、それを理論行列の式と比較することです（後述の行列表を参照）。こうして3つのオイラー角を計算できます。しかしながら、行列演算を使わずに、基本的な幾何学のみを用いて同じ結果を得ることも可能です。ここでは、最も一般的に使用されている2つの慣例、すなわち、適切なオイラー角を表すZXZと、テイト・ブライアンを表すZYXの結果を示します。軸の名前を変更するだけで、他の慣例も得られることに注意してください。
メイン図のように座標で与えられる単位ベクトル（X、Y、Z）を持つフレームを仮定すると、次のことがわかります。
そして、
0 < x < πの場合、
Z 2はユニタリベクトルの二重射影であるため、
Y 3についても同様の構成があり、まずy ″軸 (最初の 2 回の回転後の結果として得られるy軸) に投影し、次にその投影を元のz軸に投影します。Y軸とy ″軸の間の角度はγであり、y ″軸とz軸の間の角度は π / 2 − β であり、cos ( π / 2 − β ) = sin ( β )であることから、次のようになります。
そして最後に、逆余弦関数を用いて、
この新しい図のように座標で与えられる単位ベクトル（X、Y、Z）を持つフレームを仮定すると（角度θは負であることに注意）、次のことがわかります。
以前と同様に、
− π / 2 < x < π / 2 の場合、次のようになります。
前者と同様の方法で：
前述の表現と類似した表現を探しています。
逆正弦関数と逆余弦関数は、引数に対して 2 つの可能な値を与えることに注意してください。この幾何学的記述では、解のうち 1 つだけが有効です。オイラー角が回転のシーケンスとして定義される場合、すべての解が有効になる可能性がありますが、角度の範囲内には 1 つだけ存在します。これは、範囲が事前に定義されていない場合、目標フレームに到達するための回転のシーケンスが一意ではないためです。[ 6 ]
計算上の目的で、角度をatan2 ( y , x )を使用して表現すると便利な場合があります。たとえば、適切なオイラー角の場合：
オイラー角は、向きを表す方法の一つです。他にも方法があり、他の表記法と切り替えることも可能です。3次元ユークリッド空間における向きを表すには、常に3つのパラメータが必要です。これらのパラメータは様々な方法で指定できますが、オイラー角はその一つです。その他の方法については、 SO(3)の図表を参照してください。
最も一般的な向きの表現方法は、回転行列、軸角、およびオイラー・ロドリゲスパラメータとしても知られる四元数であり、これらは3次元回転を表現するための別のメカニズムを提供する。これは、特殊ユニタリ群による記述と同等である。
3次元空間における回転を行列ではなく単位四元数で表現することには、いくつかの利点があります。
いずれにせよ、回転行列の計算は、他の2つの表現を得るための最初のステップである。
既知の標準方向から始めて、3つの基本回転を組み合わせることで、任意の方向を実現できます。同様に、任意の回転行列Rは、 3つの基本回転行列の積として 分解できます。例えば、次のようになります。は、 z、y、x軸（この順序）に関する外因性回転 の合成、またはx - y ′ - z ″軸（この順序）に関する内因性回転の合成を表すために使用できる回転行列です。ただし、基本回転行列X、Y、Zの定義とそれらの乗算順序は、回転行列とオイラー角の定義に関するユーザーの選択に依存します（たとえば、「回転行列の定義における曖昧さ」を参照）。残念ながら、ユーザーはさまざまな状況で異なる一連の規則を採用しています。次の表は、この一連の規則に従って作成されました。
簡潔にするため、以下の行列積の表では、次の表記法を使用します。
これらの表形式の結果は、多くの教科書で入手可能です。[ 7 ] 各列の最後の行は、最も一般的に使用されている慣例を表しています。
受動回転の式を変更する（または能動回転の逆を求める）には、行列を転置します（すると、各行列は、固定されたままのベクトルの初期座標を、回転した基準系で測定された同じベクトルの座標に変換します。回転軸と角度は同じですが、今度はベクトルではなく座標系が回転します）。（結晶学的テクスチャは通常、受動回転を使用します。）
オイラー角は、 3次元空間における特殊直交回転群であるSO(3)全体にわたってチャートを形成します。このチャートは、 β = 0に沿った極座標型の特異点を除いて滑らかです。より詳細な説明については、SO(3)のチャートを参照してください。
回転空間は一般に「回転の超球」と呼ばれますが、これは誤称です。群Spin(3)は超球S 3と等長ですが、回転空間SO(3)は、超球の2 重商空間である実射影空間RP 3と等長です。この 2 対 1 の曖昧さが、物理学におけるスピンの数学的起源です。
同様の3角分解は、複素2次元空間における回転の特殊ユニタリ群であるSU(2)にも適用されますが、 βの範囲が0から2πまでである点が異なります。これらはオイラー角とも呼ばれます。
オイラー角におけるSO(3)のハール測度は、SO(3)のホップ角パラメータ化によって与えられる[ 9 ]。
ここで、( β , α )は回転軸の空間S2をパラメータ化する。
例えば、均一にランダム化された向きを生成するには、αとγを0から2πまで均一とし、zを-1から1まで均一とし、β = arccos( z )とします。
オイラー角や回転全般のその他の性質は、より高次の抽象概念である幾何代数から見出すことができ、幾何代数では四元数は偶数部分代数となる。幾何代数における主要なツールはローターである。
ここで、θは回転角、uは回転軸（単位ベクトル）、Iは擬スカラー（ℝ 3における三元ベクトル）である。
3次元を超える次元では、オイラー角に類似したパラメータを定義することが可能です。[ 10 ] [ 11 ] 4次元以上では、「軸を中心とした回転」という概念は意味を失い、代わりに「平面内での回転」となります。群SO( n )を表すのに必要なオイラー角の数は、n ( n − 1) / 2であり、 n次元ユークリッド空間において2つの異なる座標軸を含む平面の数に等しくなります。（言い換えれば、最初の軸にはn次元から選択し、2番目の軸には残りのn − 1次元から選択し、どちらを先に選択したかは関係ないので2で割ります。）
SO(4)では、回転行列は2つの単位四元数によって定義され、したがって各四元数から3つずつ、合計6つの自由度を持ちます。
他の姿勢記述に対する主な利点は、車両に搭載されたジンバルから直接測定できることです。ジャイロスコープは回転軸を一定に保つため、ジャイロ座標系で測定された角度は、実験室座標系で測定された角度と等価です。したがって、ジャイロは移動する宇宙船の実際の姿勢を知るために使用され、オイラー角は直接測定できます。固有回転角は単一のジンバルからは読み取れないため、宇宙船には複数のジンバルが必要です。通常、冗長性のために少なくとも3つあります。また、機械工学のよく知られたジンバルロック問題とも関連があります。[ 12 ]
一般的に剛体を研究する場合、xyz系を空間座標、XYZ系を物体座標と呼びます。空間座標は静止しているものとして扱われ、物体座標は動いている物体に埋め込まれているものとして扱われます。加速度、角加速度、角速度、角運動量、運動エネルギーに関する計算は、慣性モーメントテンソルが時間とともに変化しないため、物体座標を用いると最も簡単に行える場合が多いです。また、剛体の慣性モーメントテンソル（9 つの成分を持ち、そのうち 6 つは独立）を対角化すると、慣性モーメントテンソルが 3 つの成分しか持たない座標系（主軸と呼ばれる）が得られます。
剛体の角速度は、運動座標系におけるオイラー角を用いることで単純な形で表される。また、その座標系では慣性テンソルが一定であるため、オイラーの剛体方程式もより単純になる。
材料科学では、結晶学的テクスチャ（または優先配向）はオイラー角を用いて記述できます。テクスチャ解析では、オイラー角は多結晶材料内の個々の結晶子の配向を数学的に表現し、巨視的な材料を定量的に記述することを可能にします。[ 14 ] 角度の最も一般的な定義はブンゲによるもので、ZXZ規約に対応します。ただし、その適用には一般的にテンソル量の軸変換、つまり受動回転が含まれます。したがって、ブンゲオイラー角に対応する行列は、上記の表に示されている行列の転置行列です。[ 15 ]
オイラー角（通常はテイト・ブライアンの表記法）は、ロボット工学において手首の自由度を表す際にも用いられる。また、同様の方法で電子安定制御にも用いられ、 3Dモデリングにおけるカメラの向きの決定にも使用される。
砲撃管制システムでは、甲板の傾斜（ピッチとロール）を補正するために、砲撃命令の角度（方位と仰角）に補正を加える必要があります。従来のシステムでは、垂直回転軸を持つ安定化ジャイロスコープが甲板の傾斜を補正し、光学照準器とレーダーアンテナを安定させます。しかし、砲身は目標への視線とは異なる方向を向いており、目標の動きや重力による砲弾の落下などを考慮して、目標を予測します。砲架は甲板面とともにロールとピッチングしますが、安定化も必要です。砲撃命令には、垂直ジャイロのデータから計算された角度が含まれており、これらの計算にはオイラー角が用いられます。
オイラー角は、角運動量の量子力学においても広く用いられています。量子力学では、SO(3)の表現を明示的に記述することが計算において非常に重要であり、これまでの研究のほとんどすべてがオイラー角を用いて行われてきました。量子力学の初期の歴史において、物理学者や化学者が抽象的な群論的手法に対して強い否定的な反応を示した時代（群論的否定論と呼ばれる）には、オイラー角への依存は基礎的な理論研究においても不可欠でした。
多くのモバイルコンピューティングデバイスには加速度計が搭載されており、地球の重力に対するデバイスのオイラー角を測定できます。これらは、ゲーム、水準器シミュレーション、万華鏡などのアプリケーションで使用されています。
![{\displaystyle \mathbf {R} =\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-Iu\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127c74dfd3d707def0525fae5668db7458719660)
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