メートル円

数学では、計量円とは円上の弧長の計量空間、または同等に長さが制限された任意の可測な単純閉曲線上の計量空間のことである。^{[ 1 ]}計量円に埋め込むことができる計量空間は、4点三角形の等式によって特徴付けられる。

一部の著者は、特にリーマン幾何学における充填領域予想に関連して、計量円をリーマン円と呼んでいますが、^{[ 2 ]}この用語は他の概念にも使用されています。^{[ 3 ]}このように定義された計量円は、中心点から与えられた半径内の計量空間の部分集合である計量球とは無関係であり、区別されるべきです。

距離空間は、その任意の4つの点を順列化してラベル付けできる場合、距離円（または同等に定義された距離線、距離円の退化ケースとして解釈される）の部分空間である。${\displaystyle a,b,c,d}$距離の等式に従うように${\displaystyle D(a,b)+D(b,c)=D(a,c)}$そして ${\displaystyle D(b,c)+D(c,d)=D(b,d)}$この性質を持つ空間は、円形距離空間と呼ばれている。^{[ 1 ]}

長さ2πのリーマン単位円は、距離を変更することなく、単位球上の測地線の計量に埋め込むことができます。これは、円を大円に、その計量を大円距離にマッピングすることによって行われます。同じ計量空間は、半球上の距離からも得られます。これは、単位円盤の境界とは異なります。単位円盤の場合、反対の点間の距離は、リーマン円上の距離πではなく 2 になります。半球と円盤の内部計量のこの違いにより、ミハイル・グロモフは、単位半球がリーマン円を境界とする最小面積曲面であるという充填面積予想を提唱しました。 ^{[ 4 ]}