ホモトピー球

数学の一分野である代数的位相幾何学において、ホモトピー球面はn球面とホモトピー同値であるn多様体である。したがって、ホモトピー球面はn球面と同じホモトピー群と同じホモロジー群を持ち、したがってすべてのホモトピー球面は必然的にホモロジー球面となる。^[1]

位相的に一般化されたポアンカレ予想は、任意のn次元ホモトピー球面はn球面に同相であるというものである。これは、5 次元以上ではスティーブン・スメールによって、4 次元ではマイケル・フリードマンによって、3 次元では (元のポアンカレ予想)グリゴリー・ペレルマンによって2005 年に 解決された。

5次元以上での滑らかなポアンカレ予想の解決は、それらの次元のホモトピー球がまさにエキゾチック球であることを意味します。4次元に非自明な滑らかなホモトピー球が存在するかどうかは未解決です。

• 相同性球
• 球面のホモトピー群
• ポアンカレ予想

• ヘデゴール、ラスムス。 「ホモトピー球」。マスワールド。