エキゾチックな球体

微分位相幾何学と呼ばれる数学の分野において、エキゾチック球面とは、標準的なユークリッドn 次元球面と同相ではあるが微分同相ではない微分多様体Mのことである。つまり、Mは位相的な性質の観点からは球面であるが、馴染みのある滑らかな構造とは異なる構造を持つ（そのため「エキゾチック」という名前が付けられる）。

最初の異質な球体はジョン・ミルナー（1956年）によって、 $n=7$ として $\displaystyle S^{3}}$ -バンドル以上 $\displaystyle S^{4}}$ 。彼は、7次元球面上に少なくとも7つの微分可能な構造が存在することを示した。任意の次元において、ミルナー（1959）は、向き付けられたエキゾチック球面の微分同相類が連結和の下でアーベルモノイドの非自明な要素を形成することを示した。連結和は、次元が4でない場合は有限アーベル群である。ミシェル・ケルヴェールとミルナー（1963 ）によるエキゾチック球面の分類は、向き付けられたエキゾチック7次元球面が連結和の作用の下で位数28の巡回群の非自明な要素であることを示した。これらの群はケルヴェール・ミルナー群として知られている。

より一般的には、任意の次元n ≠ 4において、 S ⁿ上の滑らかな構造の同値類を要素とする有限アーベル群が存在する。ここで、2 つの構造は、一方の構造を他方の構造に写像する向き保存微分同相写像が存在する場合に同値であるとみなされる。群演算は[ x ] + [ y ] = [ x + y ]で定義される。ここで、 xとy は同値類の任意の代表であり、x + y は、 xとyの連結和である滑らかなS ⁿ上の滑らかな構造を表す。このような定義が選択に依存しないことを示す必要がある。実際、これは示すことができる。

導入

単位n球面、 $S^{n}$ は、すべての( n + 1) タプルの集合です。 $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ 実数の合計 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1$ 。例えば、 $\displaystyle S^{1}}$ は円ですが、 $\displaystyle S^{2}}$ は、3次元空間における半径1の通常の球の表面です。位相幾何学者は、空間Xとn次元球面との間に同相写像が存在する場合、空間Xをn次元球面とみなします。つまり、 Xのすべての点が、連続な逆写像を持つ連続な全単射によって、単位n次元球面上のちょうど1つの点に対応付けられるということです。例えば、半径rのn次元球面上の点xは、原点からの距離をで乗じることで、単位n次元球面上の点と同相に対応付けられます。 $1/r$ 同様に、任意の半径のn次元立方体はn次元球面と同相である。

微分位相幾何学では、2 つの滑らかな多様体は、一方から他方への微分同相写像が存在し、それがそれらの間の同相写像であり、さらに滑らかであるという条件（つまり、すべての点ですべての階数の導関数を持つべきである）があり、その逆同相写像も滑らかでなければならない場合に、滑らかに同値であるとみなされます。導関数を計算するには、 Xで一貫して定義された局所座標系が必要です。1956 年、ミルナーが、7 次元球面上に一貫した局所座標系を 2 通りの方法で設定できることを示し、それが連続的な意味では同値であるが微分可能な意味では同値ではないことを明らかにしたとき、数学者たち（ミルナー自身を含む）は驚きました。ミルナーらは、各次元にそのようなエキゾチックな球面がいくつ存在する可能性があるか、またそれらが互いにどのように関連しているかを発見しようと試みました。1 次元、2 次元、3 次元、5 次元、6 次元、12 次元、56 次元、または 61 次元球面上には、エキゾチックな構造は存在しません。^{[ 1 ]}高次元球の中には、微分可能な構造が 2 つしかないものもあれば、数千もあるものもあります。特異な 4 次元球が存在するかどうか、存在するとすればいくつあるのかは、未解決の問題です。

分類

n次元球面上の滑らかな構造のモノイドは、向き保存微分同相写像を除いてn次元球面と同相な向き付けられた滑らかなn次元多様体の集合である。モノイド演算は連結和である。 $n\neq 4$ このモノイドは群であり、群と同型である。 $\displaystyle \Theta _{n}}$ 向き付けられたホモトピー n 球面のh - コボルディズムクラスは有限かつアーベルです。 4 次元では、滑らかな球面のモノイドについては、有限または可算無限であり、アーベルであるという事実以外にはほとんど何もわかっていませんが、無限であると疑われています。グルックツイストのセクションを参照してください。すべてのホモトピーn球面は、一般化されたポアンカレ予想によりn球面と同相です。これは、4 次元より大きい次元ではStephen Smaleによって、4 次元ではMichael Freedmanによって、 3 次元ではGrigori Perelmanによって証明されています。 3 次元では、Edwin E. Moise は、すべての位相多様体は本質的に一意の滑らかな構造を持つことを証明しました ( Moise の定理を参照)。したがって、3 球面上の滑らかな構造のモノイドは自明です。

並列化可能な多様体

グループ $\displaystyle \Theta _{n}}$ 巡回部分群を持つ

bP_{n+1}

平行化可能な多様体を囲むn球面によって表される。 $bP_{n+1}$ そして商

\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}

これらの計算は、外科理論の発展に影響を与えた論文（Kervaire & Milnor 1963 ）で個別に説明されています。実際、これらの計算は、ここに示されているように、外科手術の正確な手順という観点から現代的な言葉で定式化することができます。

グループ $bP_{n+1}$ は巡回群であり、の場合を除いて自明または位数 2 である。 $n=4k+3$ この場合、その値は大きくなり、その次数はベルヌーイ数に関係します。nが偶数の場合は自明です。nが1 mod 4の場合、次数は1または2になります。特に、nが1、5、13、29、または61の場合は次数が1になり、William Browder ( 1969 )は、次の場合に次数が2になることを証明しました。 $n=1$ mod 4 は、次の形式ではありません。 $2^{k}-3$ ほぼ完全に解決されたケルヴェール不変量問題から、 126より大きいすべてのnに対して、そのオーダーは2であることが導かれる。 $n=126$ まだ開いています。 $bP_{4k}$ のために $k\geq 2$ は

2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,

ここでBは、 $4B_{2k}/k$ 、そして $B_{2k}$ はベルヌーイ数である。（位相幾何学の文献における式は、位相幾何学者がベルヌーイ数の命名規則を異なるため、若干異なる。本稿では数論者の規則に従う。）

商間のマッピング

商グループ $\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$ J準同型の像を法とする球面の安定ホモトピー群で記述され、商または指数2に等しい。より正確には、単射写像が存在する。

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,

どこ $\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ は球面のn番目の安定ホモトピー群であり、JはJ準同型の像である。 $bP_{n+1}$ Jの像は巡回群であり、例外を除いて自明または位数 2 である。 $n=4k+3$ この場合、その値は大きくなり、その次数はベルヌーイ数に関係する。商群 $\pi _{n}^{S}/J$ は球面の安定ホモトピー群の「ハード」部分であり、したがって $\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$ これはエキゾチック球面の難しい部分ですが、ほぼ完全に球面のホモトピー群の計算に帰着します。写像は同型写像（像が群全体）か、指数2の単射写像のいずれかです。後者の場合、ケルヴェール不変量1を持つn次元フレーム多様体が存在する場合に限ります。これはケルヴェール不変量問題として知られています。したがって、エキゾチック球面の分類における係数2は、ケルヴェール不変量問題に依存します。

ケルヴェール不変量問題はほぼ完全に解決され、 $n=126$ 未解決のままだが、周利徐（林偉南、王国珍との共同研究）は2024年5月30日、プリンストン大学でのセミナーで、次元126の最終的なケースが解決され、次元126にケルヴェール不変量1の多様体が存在すると発表した。^{[ 2 ]}ブラウダー（1969）の以前の研究では、そのような多様体は次元126にのみ存在すると証明されていた。 $n=2^{j}-2$ また、Hill、Hopkins 、 Ravenel (2016)は、次元に対してそのような多様体は存在しないことを証明した。 $254=2^{8}-2$ そしてそれ以上。ケルヴェール不変量1を持つ多様体は、2、6、14、30次元で構築されている。62次元にケルヴェール不変量1を持つ多様体が存在することは知られているが、そのような多様体はまだ構築されていない。126次元についても同様である。

_Θnのオーダー

グループの順序 $\displaystyle \Theta _{n}}$ この表（ OEISのシーケンスA001676）には（Kervaire & Milnor 1963 ）から記載されています（ただし、エントリは $n=19$ 彼らの論文では2倍の誤りがある（ミルナー全集第3巻97ページの訂正を参照）。

dim については注意 $n=4k-1$ 、それから $\displaystyle \theta _{n}}$ は $28=2^{2}(2^{3}-1)$ 、 $992=2^{5}(2^{5}-1)$ 、 $16256=2^{7}(2^{7}-1)$ 、そして $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ この表のその他の項目は、上記の情報と球面の安定ホモトピー群の表から計算できます。

Wang & Xu (2017)は、球の安定ホモトピー群の計算により、球 $S 61$ が独自の滑らかな構造を持ち、この性質を持つ最後の奇数次元球であることを証明しました。この性質を持つ球は $S 1$ 、 $S 3$ 、 $S 5$ 、 $S 61$ のみです。

異質な球体の具体的な例

1950年代半ばにそのような例に出くわしたとき、私は非常に困惑し、どう解釈すればよいのか分かりませんでした。最初は、7次元における一般化されたポアンカレ予想の反例を見つけたと思いました。しかし、綿密な調査の結果、その多様体は実際にはと同相であることが分かりました。 $S^{7}$ したがって、微分可能な構造が存在する $S^{7}$ 標準的なものとは微分同相ではない。

—ジョン・ミルナー（2009年、12ページ）

ミルナーの建設

ミルナー（1956年、第3節）によって発見された異質な球体の最初の例の1つ。1950年代半ば、ジョン・ミルナー^{[ 3 ]}^{14ページは}、 $(n-1)$ 次元の連結多様体 $2n$ （以来 $n$ -接続済み $2n$ -多様体は球面と同相である（これは）に続く最初の非自明なケースであり、彼は球面とホモトピー同値であるが明示的に微分同相ではない空間の例を見つけた。彼は実ベクトル束を調べることによってこれを行った。 $V\to S^{n}$ 球面上に展開し、関連する円盤束の性質を調べた。その結果、この束の境界は球面とホモトピー的に同値であることが判明した。 $S^{2n-1}$ しかし、場合によっては微分同相ではない。この微分同相の欠如は、この境界と球面との間の仮想的なコボルディズムを研究し、この仮想的なコボルディズムがヒルツェブルフ署名定理のいくつかの性質を無効にすることを示すことによって生じる。

させて $\displaystyle B^{4}}$ 単位球となる $\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 、そして $\displaystyle S^{3}}$ をその境界とする。これは単位四元数の群と同一視される3次元球面である。次に、の2つのコピーを取る。 $\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$ それぞれ境界を持つ $\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ そして、識別して接着します $(a,b)$ 最初の境界では $(a,a^{2}ba^{-1})$ 第二境界において、結果として得られる多様体（ミルナーの球）は自然な滑らかな構造を持ち、 $S^{7}$ しかし、微分同相ではない $S^{7}$ ミルナーは、この多様体は第4ベッチ数がゼロとなる滑らかな8次元多様体の境界ではなく、自身への向き反転微分同相写像も持たないことを示した。これらの性質のいずれかが、この多様体が標準的な7次元球面ではないことを意味する。ミルナーは、この多様体が2つの臨界点のみを持つモース関数を持ち、どちらも非退化であることを示した。これは、この多様体が位相的に球面であることを意味する。

ブリースコルン球体

エグバート・ブリースコルン（1966、1966b ）（ヒルツェブルッフ＆マイヤー1968 も参照）が示したように、点の複素多様体の交差は $\mathbb {C} ^{5}$ 満足

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\

原点の周りの小さな球体で $k=1,2,\ldots ,28$ 向き付けられた7次元球面上の可能な28種類の滑らかな構造すべてを与える。同様の多様体はブリースコルン球面と呼ばれる。

ねじれた球体

（向きを保存する）微分同相写像が与えられた場合 $f:S^{n-1}\to S^{n-1}$ 標準ディスクの2つのコピーの境界を接着する $D^{n}$ fによって結合すると、ねじれ球面（ねじれfを持つ）と呼ばれる多様体が得られます。これは、接着写像が恒等写像とホモトピックであるため（向きを保存する微分同相写像であるため次数は 1）、標準n球面とホモトピー同値ですが、一般には標準球面と微分同相ではありません。（ミルナー1959b ） $\displaystyle \Gamma _{n}}$ ねじれたn球面群(連結和の下で) となるには、正確な数列が得られる。

\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}

のために $n>5$ 、あらゆるエキゾチックなn球面はねじれた球面と微分同相であり、これはスティーブン・スメールによって証明された結果で、 h-コボルディズム定理の帰結と見なすことができる。（対照的に、区分的線形設定では、最も左の写像は放射状拡張によって全射となる。つまり、あらゆる区分的線形ねじれた球面は標準である。） $\displaystyle \Gamma _{n}}$ ねじれた球体の群は常に群と同型である $\displaystyle \Theta _{n}}$ 表記が異なるのは、最初は同じであるとは知られていなかったためです。 $n=3$ または4。例えば、次のケース $n=3$ これはポアンカレ予想と同等である。

1970年、ジャン・セルは擬同位体定理を証明し、それは次のことを意味する。 $\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})$ 自明なグループが提供されています $n\geq 6$ 、など $\Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})$ 提供された $n\geq 6$ 。

アプリケーション

M が区分的線形多様体である場合、 M上の適合する滑らかな構造を見つける問題は、群Γ _k = Θ _kの知識に依存します。より正確には、滑らかな構造の存在を妨げるものは、さまざまなkの値に対する群H _{k +1} ( M , Γ _k )にありますが、そのような滑らかな構造が存在する場合は、そのようなすべての滑らかな構造を群H _k ( M , Γ _k )を使用して分類できます。特に、群 Γ _{k は}k < 7の場合に消滅するため、次元が最大 7 のすべての PL 多様体は滑らかな構造を持ち、多様体の次元が最大 6 の場合は本質的に一意です。

以下の有限アーベル群は本質的に同じである。

向き付けられたホモトピーn球面の h-コボルディズム類の群 Θ _n。
向き付けられたn次元球面のh-コボルディズム類のグループ。
ねじれた向き付けられたn次元球面群_Γn。
ホモトピー群 $π$ _n (PL/DIFF)
n ≠ 3 の場合、ホモトピー群 $π$ _n (TOP/DIFF) ( n = 3の場合、この群の位数は 2 です。Kirby –Siebenmann 不変量を参照してください)。
配向したPL n球の滑らかな構造群。
n ≠ 4の場合、向き付けられた位相的n球面の滑らかな構造の群。
n ≠ 5の場合、 S ^{n − 1}のすべての向きを保存する微分同相写像の群の成分群。

4次元のエキゾチックな球体とグルックツイスト

4次元空間において、4次元球面上に特異な滑らかな構造が存在するかどうかは不明である。そのような構造は存在しないという主張は「滑らかなポアンカレ予想」として知られており、マイケル・フリードマン、ロバート・ゴンプ、スコット・モリソンら（2010 ）によって議論され、彼らはそれが誤りであると考えていると述べている。

特異な 4 次元球面の候補として提案されているものには、カペル・シェーンソン球面 (シルヴァン・カペルとジュリアス・シェーンソン( 1976 ) ) やグルックツイスト(グルック 1962 )による球面がある。グルックツイスト球面は、 S ⁴内の2 次元球面Sの管状近傍を切り取り、その境界S ² × S ¹の微分同相写像を用いて貼り合わせることによって構築される。結果は常にS ⁴と同相である。長年にわたり、滑らかな 4 次元ポアンカレ予想の反例として考えられる多くのケースが除外されてきた。例：キャメロン・ゴードン( 1976 )、ホセ・モンテシノス( 1983 )、スティーブン・P・プロトニック( 1984 )、ゴンプ (1991)、ハビロ、丸本＆山田 (2000)、セルマン・アクブルット( 2010 )、ゴンプ (2010)、キム＆ヤマダ(2017)。

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外部リンク

多様体アトラス上の異質な球体
アンドリュー・ラニッキのホームページにある、エキゾチック球体に関するホームページ。エキゾチック球体に関する様々な資料が掲載されています。
ジョン・ミルナーを記念して開催された第 2 回アベル会議でのナイルズ・ジョンソンによるプレゼンテーションからのビデオである、エキゾチックな 7 球体のアニメーション。
多様体アトラス上のグルック構成

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