ナプキンリングの問題

幾何学において、ナプキンリング問題とは、球体に円形の穴を開けた後に残る部分の体積を求める問題です。具体的には、穴は球体の中心を通る軸を持つ直円柱（2つの球冠付き）の形をしています。この「穴」を取り除くと、円形の「帯」が残ります。この体積が元の球体の半径には依存せず、残った帯の高さのみに依存するというのは、直感に反する事実です。

この問題がそう呼ばれるのは、残った部分がナプキンリングの形に似ているからである。

直円柱の軸が半径の球の中心を通ると仮定する。${\displaystyle R}$そしてそれは${\displaystyle h}$は、球の内側にある円筒部分の高さ（軸に平行な方向の距離として定義される）を表します。「バンド」は、円筒の外側にある球の部分です。バンドの体積は、${\displaystyle h}$しかし、${\displaystyle R}$: $${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$$

半径${\displaystyle R}$球が縮むと、円筒の直径も縮まなければ、${\displaystyle h}$同じままでいられます。バンドが厚くなると、体積が増加します。しかし、円周も短くなるため、体積は減少します。この2つの効果は互いに完全に打ち消し合います。最小の球体の極端な場合、円柱は消滅し（半径がゼロになり）、高さは${\displaystyle h}$は球の直径に等しい。この場合、帯の体積は球全体の体積となり、上記の式と一致する。

この問題に関する初期の研究は、17世紀の日本の数学者、関孝和によって書かれた。スミスと三上（1914）によると、関孝和はこの立体を弧環、または日本語 で「弧環」または「弧環」と呼んだ。^{[ 1 ]}

球の半径を${\displaystyle R}$そして円筒（またはトンネル）の長さは${\displaystyle h}$。

ピタゴラスの定理によれば、円柱の半径は

$${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}$$ そして、高さにおける球の水平断面の半径${\displaystyle y}$赤道より上は $${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$$

高さにある平面とのバンドの断面${\displaystyle y}$ は、(2)で与えられる半径の大きい円の内側で、(1)で与えられる半径の小さい円の外側の領域である 。したがって、断面の面積は、大きい円の面積から小さい円の面積を引いたものとなる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{大きい半径}})^{2}-\pi ({\text{小さい半径}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$$

最後の量には半径Rは現れません。したがって、高さでの水平断面の面積は${\displaystyle y}$依存しない${\displaystyle R}$、 に限って${\displaystyle y\leq {\tfrac {h}{2}}\leq R}$バンドの音量は

${\displaystyle \int _{-h/2}​​^{h/2}({\text{高さ }}y における断面積)\,dy,}$

そしてそれは${\displaystyle R}$。

これはカヴァリエリの原理の応用例である。すなわち、対応する断面積が等しい体積は等しいという原理である。実際、断面積は半径の球の対応する断面積と同じである。${\displaystyle h/2}$ボリュームがある $${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$$

ナプキンリングの体積も調べることができます${\displaystyle V_{n}}$以前の結果を使用する。^{[ 2 ]}具体的には、ボリューム${\displaystyle V_{n}}$元の球の体積と等しくなければならない${\displaystyle 4\pi R^{3}/3}$円筒の体積から2つの球冠の体積を引いた値

$${\displaystyle V_{n}(R,h,r_{c},h_{s})=\left\{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}\right\}-\left\{\pi (r_{c})^{2}\,h\right\}-2\left\{{\frac {\pi }{3}}(h_{s})^{2}(3R-h_{s})\right\}}$$

上記では、円柱の体積は半径を用いて計算される。$\displaystyle r_c}}$これは次のように書くことができる${\displaystyle R}$そして${\displaystyle h}$（１）に示すように

$${\displaystyle r_{c}={\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}}}$$

球冠の体積は${\displaystyle V_{n}}$キャップの高さを使用する${\displaystyle h_{s}}$これは球の高さを知ることで求められます。${\displaystyle 2R}$シリンダーの高さにも等しい${\displaystyle h}$プラス2つの球状キャップ高さ

$${\displaystyle 2R=h+2h_{s}\qquad \implies \qquad h_{s}=R-{\frac {h}{2}}}$$

代入${\displaystyle r_{c}}$そして${\displaystyle h_{s}}$上記の式に代入して${\displaystyle V_{n}}$を含むすべての用語が見つかります${\displaystyle R}$キャンセルして、1つ手に入れる

$${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi }{6}}h^{3}}$$

• 視覚的計算は、この種の問題を直感的に解く方法であり、元々は弦の長さだけが与えられた場合に環状領域の面積を求めるために用いられた。
• 地球を糸で締め付ける問題。球体や円の半径が直感に反して無関係になるもう一つの問題。

• デブリン、キース（2008）、「ナプキンリング問題」、アメリカ数学協会、2008年4月30日のオリジナルからアーカイブ、2009年2月25日取得
• デブリン、キース（2008）、「ロックハートの嘆き」、アメリカ数学協会、2008年5月10日のオリジナルからアーカイブ、2009年2月25日取得
• ガードナー、マーティン（1994）「球体の穴」、私の最高の数学と論理パズル、ドーバー出版 、 8ページ
• ジョーンズ、サミュエル I. (1912)、教師と個人学習者のための数学のコツ、マサチューセッツ州ノーウッド：JB Cushing Co.問題132では、円筒形の穴が開けられた球の体積を求めているが、半径の変化に対して問題が不変であることは明記されていない。
• レヴィ、マーク（2009）「6.3 結婚指輪にはどれくらいの金が含まれているか？」、『数学的力学：物理的推論を用いて問題を解決する』、プリンストン大学出版局、102～ 104ページ、ISBN  978-0-691-14020-9レヴィは、リングは直径と同じ高さの半円盤で掃き出すことができるという事実に基づいて、体積は穴の高さのみに依存すると主張している。
• ラインズ、L. (1965)、『固体幾何学：空間格子、球体パック、結晶に関する章を含む』、ドーバー出版1935年版の復刻版。101ページの問題では、球から円柱を「ナプキンリング」のように取り除いた形状について説明し、その体積が穴の長さに等しい直径を持つ球の体積と同じであることを証明するように求めている。
• ポーヤ、ジョージ（1990）、『数学ともっともらしい推論』第1巻：数学における帰納と類推、プリンストン大学出版局、 191～ 192頁 1954年版の復刻版。

• ワイススタイン、エリック・W.、「球面リング」、MathWorld