臍の緒

3 次元の曲面の微分幾何学では、臍点または臍の点は、局所的に球面である面上の点です。そのような点では、すべての方向の法曲率が等しいため、両方の主曲率が等しく、すべての接線ベクトルが主方向になります。「臍」という名前は、ラテン語のumbilicus (へそ) に由来しています。

臍点は一般に、表面の楕円領域、つまりガウス曲率が正である領域内の孤立した点として発生します。

球面は、すべての点が臍線である、非ゼロ曲率の唯一の表面である。平坦臍線とは、ガウス曲率がゼロの臍線である。モンキーサドルは、平坦臍線を持つ表面の例であり、平面上のすべての点は平坦臍線である。トーラスと位相的に同値な閉表面は、臍線がゼロの場合もそうでない場合もあるが、ユークリッド空間に滑らかに埋め込まれた、非ゼロのオイラー特性を持つすべての閉表面は、少なくとも 1 つの臍線を持つ。コンスタンティン・カラテオドリの未証明の予想によると、球面と位相的に同値な滑らかな表面はすべて、少なくとも 2 つの臍線を持つ。^[1]

臍点の主な 3 つのタイプは、楕円臍、放物線臍、双曲線臍です。楕円臍には臍を通過する 3 本の稜線があり、双曲線臍には 1 本しかありません。放物線臍は、2 つの稜線のうち 1 つが特異な過渡的なケースです。過渡的なケースでは他の構成も可能です。これらのケースは、ルネ・トムのカタストロフィー理論のD ₄ ⁻、D ₅、およびD ₄ ^{+ の}基本カタストロフィーに対応します。

臍は、臍の周りの主方向ベクトル場のパターンによっても特徴付けられ、通常は星、レモン、レモンスター（またはモンスター）の3つの構成のいずれかを形成します。ベクトル場のインデックスは、-½（星）または½（レモン、モンスター）のいずれかです。楕円形と放物線の臍は常に星のパターンを持ちますが、双曲形の臍は星、レモン、またはモンスターになります。この分類は最初にダルブーによって行われ、名前はハンネイに由来しています。^[2]

孤立した臍を持つ種数0の曲面、例えば楕円体の場合、ポアンカレ・ホップの定理により、主方向ベクトル場の指数は 2 でなければならない。一般的な種数 0 の曲面には、少なくとも 4 つの指数 ½ の臍がある。回転楕円体には、それぞれ指数 1 の非一般的な臍が 2 つある。^[3]

• 臍の近くの曲率線の構成
• 
  星
• 
  モンスター
• 
  レモン

臍の分類は、実数3 次形式 の分類と密接に関連しています。 3 次形式には、すべての実数 に対して 0 となるようなルート直線がいくつか存在します。 次のようなさまざまな可能性があります。 ${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$${\displaystyle \lambda (x,y)}$${\displaystyle \lambda}$

• 3 つの異なる線:楕円立方体、標準モデル。${\displaystyle x^{2}yy^{3}}$
• 3 本の線のうち 2 本が一致するもの:放物線 3 次形式、標準モデル。${\displaystyle x^{2}y}$
• 単一の実数直線:双曲 3 次形式、標準モデル。${\displaystyle x^{2}y+y^{3}}$
• 3本の一致する線、標準モデル。^[4]${\displaystyle x^{3}}$

このような三次方程式の同値類は一様スケーリングの下で​​は三次元実射影空間を形成し、放物形式の部分集合はクリストファー・ゼーマンによって臍帯ブレスレットと呼ばれる面を定義します。^[4]座標系の回転の下で同値類を取ると、さらに 1 つのパラメータが削除され、三次方程式は単一の複素パラメータ を持つ複素三次形式によって表すことができます。放物形式は、内側三角関数、楕円形が三角関数の内側にあり、双曲形が外側にある場合に発生します。およびが1の立方根でない場合、三次形式は直角三次形式であり、臍線に対して特別な役割を果たします。の場合、2 本のルート線は直交します。^[5]${\displaystyle z^{3}+3{\overline {\beta }}z^{2}{\overline {z}}+3\beta z{\overline {z}}^{2}+{\overline {z}}^{3}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}(2e^{i\theta }+e^{-2i\theta })}$${\displaystyle \left|\beta \right|=1}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \left|\beta \right|={\tfrac {1}{3}}}$

2番目の3次形式であるヤコビ行列式は、ベクトル値関数 のヤコビ行列式を取ることによって形成されます。定数倍までは、これが3次形式 です。複素数を使用すると、ヤコビアンは、分類図の外側の三角面のときに放物線3次形式になります。 ^[5]${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})}$${\displaystyle bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}}$${\displaystyle \beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }}$

原点に孤立した臍点を持つ曲面は、モンジュ形式のパラメータ化 として表現できます。ここで、 は唯一の主曲率です。臍の種類は、三次形式とそれに対応するヤコビ三次形式によって分類されます。主方向は臍で一意に定義されませんが、曲面上の尾根をたどるときに主方向の限界を見つけることができ、これらは三次形式のルートラインに対応します。曲率線のパターンはヤコビアンによって決定されます。^[5]${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots }$${\displaystyle \kappa}$

臍の穴の分類は以下の通りである: ^[5]

• 内側三角筋の内側 - 楕円形の臍
  • 内側の円では2本の稜線が接している
• 内側三角筋 - 放物線状の臍
• 外側内側三角筋 - 双曲臍
  • 外側の円の内側 - 星の模様
  • 外側の円 - 臍の誕生
  • 外側の円と外側の三角筋の間 - モンスターパターン
  • 外側三角筋 - レモンパターン
• 内側三角筋の尖端- 立方体（象徴的）臍
• 対角線と水平線 - 鏡面対称の対称臍線

一般的な面のファミリーでは、臍はペアで作成または破壊される可能性があります。臍の誕生遷移です。両方の臍は双曲面になり、1つは星型パターン、もう1つは怪物型パターンになります。図の外側の円は直角の立方体で、これらの遷移ケースを示しています。シンボリック臍は、この特別なケースです。^[5]

楕円形の臍と双曲形の臍は、焦点面が明確に異なります。表面の尾根は尖端に対応しており、楕円形の焦点面の各シートには3つの尖端があり、臍の焦点で集まり、次に他のシートに切り替わります。双曲形の臍の場合、1つのシートから他のシートに切り替わる1つの尖端があります。^[5]

リーマン部分多様体内の点pが臍帯であるとは、pにおいて、（ベクトル値の）第 2 基本形式が、誘導計量（第 1 基本形式）の何らかの法線ベクトルテンソルである場合です。同様に、 pにおけるすべてのベクトルU、  Vについて、II( U、  V ) =  g _p ( U、  V )であり、ここで はpにおける平均曲率ベクトルです 。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu}$

この条件がすべての点pで成り立つ場合、部分多様体は臍状 (または全臍状) であると言われます。これは、部分多様体が周囲の (「周囲」) 多様体の計量の適切な共形変更によって完全に測地線にできると言うことと同じです。たとえば、ユークリッド空間の表面は、球の一部である場合に限り臍状です。

• 臍 – 臍を意味する、または臍に関連する解剖学用語

• ダルブー、ガストン(1896) [1887]、Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volumes I–IV、Gauthier-Villars
  • 第1巻
  • 第2巻
  • 第3巻
  • 第4巻
• 星、レモン、モンスターの写真、その他の参考資料