暗黙の曲線

数学において、暗黙の曲線は、2つの座標変数（通常はxとy）を関連付ける暗黙の方程式によって定義される平面曲線です。たとえば、単位円は暗黙の方程式によって定義されます。一般に、すべての暗黙の曲線は、次の形式の方程式によって定義されます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle F(x,y)=0}$

2 変数の関数Fに対して。したがって、暗黙の曲線は、 2 変数の関数の零点の集合として考えることができます。暗黙とは、方程式がx をyで表した解、またはその逆 として表されていないことを意味します。

が2 変数の多項式である場合、対応する曲線は代数曲線と呼ばれ、それを調べるための特定の方法が用意されています。 ${\displaystyle F(x,y)}$

平面曲線は、3 つの方法のいずれかで直交座標( x、y座標)で表すことができます。そのうちの 1 つは、上記の暗黙の方程式です。関数のグラフは通常、関数形式が明示的に記述された方程式で記述されます。これは明示的表現と呼ばれます。曲線の 3 つ目の重要な記述はパラメトリックな記述で、曲線点のx座標とy座標は、関数形式が明示的に記述され、共通のパラメーターに依存する2 つの関数x ( t )、y ( t )で表されます。${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle t.}$

暗黙の曲線の例には次のものがあります。

1. 行:​${\displaystyle x+2y-3=0,}$
2. 円：​${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4=0,}$
3. 半立方放物面:${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
4. カッシーニの楕円 （図を参照）、${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0}$
5. ${\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0}$（図を参照）。

最初の 4 つの例は代数曲線ですが、最後の例は代数曲線ではありません。最初の 3 つの例は単純なパラメトリック表現を持っていますが、4 番目と 5 番目の例はそうではありません。5 番目の例は、暗黙の曲線の複雑な幾何学的構造を示しています。

陰関数定理は、方程式をxおよび/またはyについて暗黙的に解くことができる条件、つまり、または と正しく記述できる条件を説明します。この定理は、曲線の重要な幾何学的特徴である接線、法線、曲率を計算するための鍵となります。実際には、陰曲線には重要な欠点があります。それは、視覚化が難しいことです。しかし、陰曲線を表示できるコンピュータ プログラムがあります。陰曲線の特別な特性により、陰曲線は幾何学やコンピュータ グラフィックスにおいて不可欠なツールとなっています。 ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle x=g(y)}$${\displaystyle y=f(x)}$

方程式を持つ暗黙の曲線は、サーフェスのレベル 0 のレベル曲線と見なすことができます(3 番目の図を参照)。 ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle z=F(x,y)}$

一般に、暗黙の曲線は垂直線テストに合格せず(つまり、xのいくつかの値はyの複数の値に関連付けられている)、必ずしも関数のグラフではありません。ただし、暗黙の関数定理は、暗黙の曲線が局所的に関数のグラフによって与えられる条件 (特に自己交差がない) を示します。定義関係が十分に滑らかであれば、そのような領域では、暗黙の曲線は明確に定義された傾斜、接線、法線ベクトル、曲率を持ちます。

与えられた暗黙の曲線に対してこれらの量を計算する方法はいくつかあります。 1 つの方法は、暗黙の微分を使用して、 yのxに関する導関数を計算することです。 あるいは、暗黙の方程式 によって定義された曲線に対して、これらの式をの偏導関数で直接表すことができます。 以下では、偏導関数は( xに関する導関数の場合) 、 ( xに関する第 2 偏導関数の場合)、(混合第 2 偏導関数の場合) と表されます。${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{x}}$${\displaystyle F_{y}}$${\displaystyle F_{xx}}$${\displaystyle F_{xy}}$${\displaystyle F_{yy}.}$

最初の偏導関数とが両方とも 0 に等しくない 場合、曲線点は正則です。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}$

正規の点における接線の方程式は ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) =0,}$

したがって、その点における接線の傾き、つまり曲線の傾きは、

${\displaystyle {\text{傾き}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.}$

曲線がその点で垂直である場合、一方、その点でと の両方が垂直である場合、曲線はそこでは微分可能ではなく、代わりに特異点、つまり曲線が交差する尖点または点のいずれかになります。 ${\displaystyle F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$${\displaystyle F_{y}(x,y)=0}$${\displaystyle F_{x}(x,y)=0}$

点における曲線の法線ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0) }))}$

(ここでは行ベクトルとして記述されます)。

式を読みやすくするために、引数は省略されています。正規点における 曲率は次の式で与えられます。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}$^[1 ]

暗黙関数定理は、点の近傍内に となる関数が存在することを保証する。連鎖律により、関数の導関数は ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(x,f(x))=0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}}$そして${\displaystyle f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}}$

(ここで、 2 番目の式の右側の 引数は読みやすくするために省略されています)。${\displaystyle (x,f(x))}$

関数の導関数を明示的な方程式のグラフの接線と曲率の公式に代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$（正接）

${\displaystyle \kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}}$（曲率）。

暗黙曲線の本質的な欠点は、暗黙曲線の視覚化に必要な単一のポイントを簡単に計算できないことです (次のセクションを参照)。

1. 暗黙的表現は交差点の計算を容易にします。1 つの曲線が暗黙的に表現され、他の曲線がパラメトリックに表現されている場合、交差点の計算には単純な (1 次元) ニュートン反復法のみが必要です。これは、暗黙的 - 暗黙的およびパラメトリック - パラメトリックの場合とは逆です ( 「交差点」を参照)。
2. 暗黙的な表現により、曲線上にない点を の符号で分離することが可能になります。これは、たとえばニュートン反復法の代わりに偽位置法を適用する場合に役立ちます。${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F(x,y)}$
3. 小さな数値を追加するだけで、与えられた暗黙の曲線とほぼ幾何学的に類似した曲線を簡単に生成できます(「滑らかな近似」セクションを参照)。${\displaystyle F(x,y)=0,}$${\displaystyle F(x,y)-c=0}$

数学では、暗黙曲線は代数曲線として重要な役割を果たします。さらに、暗黙曲線は、望ましい幾何学的形状の曲線を設計するために使用されます。ここに 2 つの例を示します。

凸多角形の滑らかな近似は、次の方法で達成できます。多角形のエッジを含む直線の方程式を、多角形の内側の点が正になるようにします。すると、暗黙の曲線のサブセット ${\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0}$

適切な小さなパラメータを持つ曲線は、多角形の滑らかな（微分可能な）近似である。例えば、曲線 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0}$のために${\displaystyle c=0.03,\dotsc ,0.6}$

5 つの辺を持つ多角形の滑らかな近似値が含まれます (図を参照)。

2行の場合

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0}$

一つは

平行線の束、与えられた線が平行であるか

与えられた直線を漸近線として持つ双曲線の束。

たとえば、座標軸変数の積は、座標軸を漸近線とする双曲線の束を生成します。 ${\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}$

直線以外の単純な暗黙の曲線（円、放物線など）から始めると、さまざまな興味深い新しい曲線が得られます。たとえば、

${\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0}$

（円とx軸の積）は円の半分の滑らかな近似値（図を参照）を生成し、

${\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0}$

(2 つの円の積) は、2 つの円の交差の滑らかな近似値を生成します (図を参照)。

CADでは、暗黙の曲線を使用してブレンディング曲線^{[2] [3]}を生成します。これは、2つの曲線間の滑らかな遷移を確立する特別な曲線です。たとえば、

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

2つの円の間にブレンド曲線を生成します

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.}$

この方法は、接触点における接線と曲率の連続性を保証します（図を参照）。2本の線

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

円における接触点を決定します。パラメータは設計パラメータです。図では、です。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =0.05,\dotsc ,0.2}$

2つの点電荷の等電位曲線は、次の式で表すことができます。 ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.}$

この曲線はカッシーニの楕円に似ていますが、そのような曲線ではありません。

暗黙の曲線を視覚化するには、通常、曲線上のポリゴンを決定し、そのポリゴンを表示します。パラメトリック曲線の場合、これは簡単な作業です。パラメトリック値のシーケンスのポイントを計算するだけです。暗黙の曲線の場合は、2 つのサブ問題を解決する必要があります。

1. 曲線の近傍の所定の開始点への最初の曲線点の決定、
2. 既知の曲線点から始まる曲線点の決定。

どちらの場合も、 と仮定するのが妥当です。実際には、この仮定は単一の孤立した点でのみ破られます。 ${\displaystyle \operatorname {grad} F\neq (0,0)}$

上記の両方のタスクを解決するには、暗黙の曲線の近くの点が与えられたときに、計算の精度 まで正確に曲線上にある点を見つけるコンピュータ プログラム ( と呼ぶ) が不可欠です。${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P}$

（P1）開始点は${\displaystyle j=0}$

（P2） 繰り返し

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right).}$

（関数のニュートンステップ）${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .}$

（P3） 点間の距離が十分に小さくなるまで。${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$

(P4)は 始点付近の曲線点です。${\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})}$${\displaystyle Q_{0}}$

暗黙の曲線上にほぼ等間隔の多角形を生成するには、ステップ長を選択し、 ${\displaystyle s}$

（T1）は曲線の近傍の適切な開始点を選択する

（T2）プログラムを使用して最初の曲線点を決定する${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

(T3)接線を決定し（上記参照）、ステップ長を使用して接線上の開始点を選択し（図を参照）、プログラムを使用して2 番目の曲線点を決定します。${\displaystyle s}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

${\displaystyle \cdots }$

このアルゴリズムは暗黙の曲線をトレースするため、トレース アルゴリズムと呼ばれます。このアルゴリズムは、曲線の連結部分のみをトレースします。暗黙の曲線が複数の部分で構成されている場合は、適切な開始点を使用して複数回開始する必要があります。

暗黙の曲線が複数の部分、または不明な部分で構成されている場合は、ラスタライズアルゴリズムを使用する方がよい場合があります。ラスタライズ アルゴリズムは、曲線を正確にたどるのではなく、曲線全体を多数のポイントでカバーし、それらが混ざり合って曲線のように見えます。

(R1) xy平面の関心領域上に点群(ラスター)を生成します。

(R2)ラスター内のすべてのポイントに対して、 P からポイント アルゴリズムを実行し、その出力をマークします。${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

ネットの密度が十分であれば、結果は暗黙の曲線の接続部分を近似します。さらに応用するために曲線上のポリゴンが必要な場合は、トレース アルゴリズムを使用して関心のある部分をトレースできます。

2つの方程式で定義される任意の 空間曲線

${\displaystyle {\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matrix}}}$

は暗黙の空間曲線と呼ばれます。

曲線の点は、勾配の外積がこの点にない場合、正則であると呼ばれます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operatorname {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \operatorname {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);}$

それ以外の場合は特異ベクトルと呼ばれます。ベクトルは点における曲線の接線ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}).}$

例:

${\displaystyle (1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0}$

線です。

${\displaystyle (2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0}$

球の平面部分なので円です。

${\displaystyle (3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0}$

楕円（円筒の平面断面）です。

${\displaystyle (4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2}-9=0}$

球と円柱の交差曲線です。

曲線点の計算と暗黙の空間曲線の視覚化については、「交差」を参照してください。

• 暗黙の表面

• Gomes, A.、Voiculescu, I.、Jorge, J.、Wyvill, B.、Galbraith, C.:暗黙の曲線と曲面: 数学、データ構造、アルゴリズム、2009 年、Springer-Verlag London、ISBN 978-1-84882-405-8 
• C:L: Bajaj、CM Hoffmann、RE Lynch:表面交差のトレース、Comp. Aided Geom. Design 5 (1988)、285-307。
• コンピュータ支援設計のための幾何学とアルゴリズム

• 有名な曲線