積分曲線

M をr ≥ 2のクラスC ^rのバナッハ多様体とする。慣例に従い、T M はMの接束を表し、その自然な射影π _M : T M → Mは次のように与えられる。 

$${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$$

M上のベクトル場は接束T Mの断面、すなわち多様体Mの各点にその点におけるMの接ベクトルを割り当てることである。XをクラスC ^{r −1の}M上のベクトル場とし、p ∈ Mとする。時刻t _{0において}pを通過するXの積分曲線は、 t ₀を含む実数直線Rの開区間J上で定義されるクラスC ^{r −1}の曲線α : J → Mであり、 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)){\text{ for all }}t\in J.\end{aligned}}}$$

時刻t _{0において}点 pを通過するベクトル場Xの積分曲線αの上記の定義は、 α が常微分方程式／初期値問題の局所解であると言うことと同じである。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)).\end{aligned}}}$$

これは、 J内の時刻に対してのみ定義され、必ずしもすべてのt ≥ t ₀ (ましてやt ≤ t ₀ ) に対して定義されるわけではないという意味で局所的です。したがって、積分曲線の存在と一意性を証明する問題は、常微分方程式／初期値問題の解を見つけ、それらが一意であることを示す問題と同じです。

上記において、α ′ ( t )は時刻tにおけるαの導関数、すなわち時刻tにおける「αの向き」を表す。より抽象的な観点から言えば、これはフレシェ微分である。

$${\displaystyle (\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}$$

M がR ⁿの何らかの開部分集合である特殊な場合、これはよく知られた導関数である。

$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),}$$

ここで、α ₁、 ...、α _nは通常の座標方向に対するαの座標である。

同じことを誘導写像という観点からさらに抽象的に表現することもできます。Jの接束T Jは自明な束J × Rであり、この束には標準断面ι が存在し、すべてのt ∈ Jに対してι ( t ) = 1 (より正確には、( t , 1) ∈ ι ) となります。曲線αは束写像α _∗ : T J → T Mを誘導し、次の図式が可換になります。 

すると、時間微分α ′はα ′ = α _∗ o ιの合成 であり、α ′ ( t )はある点t ∈ Jにおけるその値である。