焦点面

3次元の曲面の場合、焦点面、中心面、縮閉面は、曲率球の中心を取ることによって形成されます。曲率球とは、接点における主曲率の逆数を半径とする接線球 です。同様に、曲率線に接する円の中心によって形成される面です。^{[1] [2]}

主曲率は第2基本形式の固有値であるため、各点に2つあり、これらにより、表面の各法線方向に焦点面の2つの点が生じる。臍点から離れると、焦点面のこれらの2つの点は区別され、臍点で2つのシートが一緒になる。表面に尾根がある場合、焦点面には尖端があり、そのような3つのエッジは楕円臍を通り、1つだけが双曲臍を通ります。^[3]ガウス曲率がゼロの点では、焦点面の1つのシートに、主曲率ゼロに対応する無限遠点があります。

が 与えられた面の点である場合、単位法線と主曲率は${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle k_{1},k_{2}}$${\displaystyle {\vec {p}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{1}}}\クワッド }$そして${\displaystyle \quad {\vec {b}}_{2}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{2}} }\ }$

焦点面の対応する2つの点です。

1. 球の焦点面は、その中心である単一の点で構成されます。
2. 回転面の焦点面の一部は回転軸で構成されます。
3. トーラスの焦点面は準線円と回転軸で構成されます。
4. デュパンサイクライドの焦点面は一対の焦点円錐から構成される。^[4]デュパンサイクライドは焦点面が2つの曲線に退化する唯一の面である。^[5]
5. チャネル面の焦点面の一部がその準線に退化します。
6. 2つの共焦点二次曲面（例えば、楕円体と1枚の双曲面）は、表面の焦点面として考えることができます。^[6]

• フォーカス（光学系）
• エボリュート

• Chandru, V.; Dutta, D.; Hoffmann, CM (1988)、「デュパンサイクリドの幾何学について」、Purdue University e-Pubs。