スピン接続

微分幾何学と数理物理学において、スピン接続はスピノル束上の接続である。これは、標準的な方法で、アフィン接続から誘導される。また、局所ローレンツ変換によって生成されるゲージ場とみなすこともできる。一般相対性理論のいくつかの標準的な定式化では、スピン接続は空間スライス上で定義され、局所回転によって生成されるゲージ場とみなすこともできる。

スピン接続には、レヴィ-チヴィタ接続から派生したレヴィ-チヴィタスピン接続と、アフィン接続から得られたアフィン スピン接続という 2 つの一般的な形式があります。これら 2 つの違いは、レヴィ-チヴィタ接続は定義上、ねじれのない唯一の接続であるのに対し、アフィン接続 (およびアフィン スピン接続) にはねじれが含まれる可能性があるという点です。

を局所ローレンツフレーム場またはビエルバイン(テトラッドとも呼ばれる) とします。これは、計量​​テンソル を対角化する正規直交空間時間ベクトル場のセットです。ここで、は時空計量 で、 はミンコフスキー計量です。ここで、ラテン文字は局所ローレンツフレーム インデックスを表し、ギリシャ文字は一般座標インデックスを表します。これは、 を基底 で記述すると、局所的に平坦になることを単純に表しています。ギリシャ文字のビエルバイン インデックスは、計量 によって増減できます (つまり、または)。ラテン文字または「ローレンツ」ビエルバイン インデックスは、それぞれまたはによって増減できます。たとえば、および${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$$${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\;\,a}e_{\nu }^{\;\,b}\eta _{ab},}$$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle \eta_{ab}}$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$${\displaystyle g^{\mu \nu}}$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle \eta^{ab}}$${\displaystyle \eta_{ab}}$${\displaystyle e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}}$${\displaystyle e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}}$

ねじれのないスピン接続は 、クリストッフェル記号で与えられます 。慣例により、クリストッフェル記号はリーマン多様体上の唯一の計量互換のねじれのない接続であるレヴィ-チヴィタ接続から派生するため、この定義はねじれのないスピン接続を定義するものとして解釈する必要があります。一般に、制限はありません。スピン接続にねじれが含まれる場合もあります。 $${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_ {\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},}$$${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }}$

反変ベクトルの重力共変微分を使用することに注意してください。スピン接続は 、定義により内部インデックスが反対称であるビエルバイン場^[1]に基づいて純粋に記述できます。 ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})}$${\displaystyle \partial _{;\mu }e^{\nu b}}$${\displaystyle e^{\nu b}}$ $${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}={\tfrac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b }-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\tfrac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\tfrac {1}{2}}e^{\rho a}e^ {\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\c},}$$${\displaystyle a,b}$

スピン接続は一般化テンソル上の共変微分を定義する。例えば、その作用は ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}}$${\displaystyle D_{\mu}}$${\displaystyle V_{\nu }^{\ a}}$$${\displaystyle D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a }}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}}$$

カルタン形式論では、スピン接続はねじれと曲率の両方を定義するために使用されます。これらは、微分形式を扱うことで最も簡単に読み取ることができます。これは、多数のインデックスの一部を隠すことができるためです。ここで提示された方程式は、接続形式と曲率形式に関する記事に記載されている方程式を事実上書き直したものです。主な違いは、これらが四周帯のインデックスを完全に隠すのではなく、保持することです。より狭義には、カルタン形式論は、その歴史的な設定において、同次空間へのアフィン接続の考え方の一般化として解釈されるべきであり、ファイバー束上の主接続の考え方ほど一般的ではありません。これは、リーマン幾何学のより狭い設定と完全に抽象的なファイバー束の設定の適切な中間点として機能し、ゲージ理論との類似性を強調しています。ここで表現されているカルタンの構造方程式には、直接類似する、リー群のマウラー・カルタン方程式があることに注意してください(つまり、同じ方程式ですが、設定と表記が異なります)。

四辺形を 余接束 上の正規直交座標に対する微分形式として書くと、 アフィンスピン接続 1 形式は、次の ようになります。 ねじれ 2 形式は、 次のようになります 。 一方、曲率2 形式は 、次のようになります。 これら 2 つの方程式を合わせて、カルタンの構造方程式 と呼びます。^[2] 一貫性を保つには、ビアンキ恒等式に従う必要があります。 最初のビアンキ恒等式は、ねじれの外微分を取ることで得られます。 一方、2 番目は、曲率を微分することで 得られます。 次pの一般的な微分形式 の共変微分は、ビアンキの 2 番目の恒等式で定義され 、次のようになります 。 ねじれのある接続と、ねじれのない唯一の接続との差は、ねじれテンソルで与えられます。 ねじれのある接続は、テレパラレリズム、アインシュタイン-カルタン理論、ゲージ理論重力、超重力などの理論でよく見られます。 $${\displaystyle e^{a}=e_{\mu }^{\;\,a}dx^{\mu }}$$$${\displaystyle \omega ^{ab}=\omega _{\mu }^{\;\;ab}dx^{\mu }}$$$${\displaystyle \Theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}}$$$${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$$$${\displaystyle d\Theta ^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge \Theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}}$$$${\displaystyle dR_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge R_{\;\,b}^{c}-R_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.}$$ ${\displaystyle V_{\;\,b}^{a}}$$${\displaystyle DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\;\,b}^{c}-(-1)^{p}V_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.}$$$${\displaystyle DR_{\;\,b}^{a}=0.}$$

必要に応じてインデックスを上げたり下げたりすることで、によって定義されるフレーム フィールドがおよびも満たすことが簡単に推測できます。はミンコフスキー計量 も消滅すると予想されます。 これは、接続がその内部インデックスで反対称であることを意味します。 これは、重力共変微分を取ることによっても推測され、したがって最終的には となります。 これは、計量​​条件と呼ばれることもあります。^[2]これは、より一般的に述べられている計量条件 に類似しています。 この条件は、レヴィ-チヴィタ スピン接続に対してのみ有効であり、アフィン スピン接続一般に対しては有効ではないことに注意してください。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b}^{a}}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }}$${\displaystyle D_{\mu}}$${\displaystyle \eta_{ab}}$$${\displaystyle D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{ab}-{\omega _{\mu a}}^{c}\eta _{cb}-{\omega _{\mu b}}^{c}\eta _{ac}=0.}$$${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.}$${\displaystyle \partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0}$${\displaystyle \partial _{;\beta }{e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}}$${\displaystyle {\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}}$${\displaystyle g_{\mu \nu ;\alpha }=0.}$

を用いて書かれたクリストッフェル記号の式を代入することにより、スピン接続は を用いて完全に記述することができます。 ここで、インデックスの反対称化には 1/2 という暗黙の因子があります。 ${\displaystyle {\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={\tfrac {1}{2}}g^{\nu \delta }\left(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu }\right)}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$$${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma |b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })}$$

この式は別の方法でも導出できる。スピン接続の適合条件を直接解くには、クリストッフェル記号を解くのに使用したのと同じトリックを使うことができる。まず適合条件を縮小して、 ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$${\displaystyle \nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0}$${\displaystyle {\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }}$$${\displaystyle {e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0.}$$

次に、自由指数とを巡回置換し、得られた3つの式を足し引きします。 ここで定義を使用しています。スピン接続の解は、 ${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}+2{e^{\alpha }}_{b}\omega _{\alpha ac}=0}$$${\displaystyle \Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}}$$${\displaystyle \omega _{\alpha ca}={\tfrac {1}{2}}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}).}$$

これから、前と同じ式が得られます。

スピン接続は、ディラック方程式を曲がった時空の言語で表現すると発生します。曲がった時空におけるディラック方程式を参照してください。特に、重力とスピノル場を結合する際に問題があります。一般共変群の有限次元スピノル表現は存在しません。ただし、ローレンツ群のスピノル表現は当然存在します。この事実は、時空上のあらゆる点で平坦な接空間を記述するテトラッド場を使用することで利用されます。ディラック行列は 、ビエビアンに縮約されます。 ${\displaystyle \gamma ^{a}}$$${\displaystyle \gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x).}$$

我々は一般に共変なディラック方程式を構築したい。平坦な接空間ローレンツ変換の下では、スピノルは次のように変換される。 $${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\sigma _{ab}}\psi }$$

によって生成される平坦な接空間上の局所ローレンツ変換を導入しました。これは時空の関数です。これは、スピノルの偏微分がもはや真のテンソルではないことを意味します。通常どおり、ローレンツ群をゲージ化できる接続フィールドを導入します。スピン接続で定義される共変微分は、で あり、真のテンソルであり、ディラック方程式は次のように書き直されます。 ${\displaystyle \sigma _{ab}}$${\displaystyle \epsilon _{ab}}$${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$$${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab}\right)\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab}\right)\psi ,}$$$${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0.}$$

一般に共変なフェルミオン作用は、第 1 次四項パラティーニ作用に追加されると、 フェルミオンを重力に結合します。 ここで、 はスピン接続の曲率です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi }$$${\textstyle e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\Omega _{\mu \nu }}^{ab}}$

一般相対論の四項パラティーニ定式化は、四項とスピン接続が基本的な独立変数であるアインシュタイン-ヒルベルト作用の一次定式化です。パラティーニ定式化の 3+1 バージョンでは、空間計量 に関する情報は、三項(四項の 3 次元空間バージョン) にエンコードされます。ここで、計量適合条件を に拡張します。つまり、 となり、空間スピン接続 を除いて上記と同様の式が得られます。 ${\displaystyle q_{ab}(x)}$${\displaystyle e_{a}^{i}}$${\displaystyle D_{a}q_{bc}=0}$${\displaystyle e_{a}^{i}}$${\displaystyle D_{a}e_{b}^{i}=0}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{ij}}$

空間スピン接続は、アシュテカー・バルベロ変数の定義に現れ、これにより、3+1 一般相対論を特殊なタイプのヤン・ミルズゲージ理論として書き直すことができます。 を定義します。アシュテカー・バルベロ接続変数は次のように定義されます。ここで、は外在曲率、 はイミルジパラメータです。を配置変数として、共役運動量は密度化されたトライアド です。3+1 一般相対論を特殊なタイプのヤン・ミルズゲージ理論として書き直すと、量子色力学で使用される非摂動法を標準的な量子一般相対論に インポートできます。${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}}$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}}$${\displaystyle c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}}$${\displaystyle c_{ab}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle E_{a}^{i}=\left|\det(e)\right|e_{a}^{i}}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$