確率現在

量子力学において、確率電流（確率フラックスと呼ばれることもある）は確率の流れを記述する数学的な量である。具体的には、確率を不均質流体と考えると、確率電流はこの流体の流速となる。これは空間と時間によって変化する実数 ベクトルである。確率電流は、流体力学における質量電流や電磁気学における電流に類似している。これらの分野と同様に、確率電流（すなわち確率電流密度）は連続方程式を介して確率密度関数と関連している。確率電流はゲージ変換に対して不変である。

確率電流の概念は量子力学以外でも、ブラウン運動やフォッカー・プランク方程式など、時間とともに変化する確率密度関数を扱うときに使われます。^[1]

確率カレントの相対論的等価物は確率 4 カレントとして知られています。

非相対論的量子力学では、1次元の質量mの粒子の波動関数Ψの確率電流jは次のように定義される^[2] 。ここで $${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$

• ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。
• ${\displaystyle \Psi ^{*}}$波動関数の複素共役を表す。
• ${\displaystyle \Re }$実部を表します。
• ${\displaystyle \Im }$虚数部を表します。

確率電流はロンスキー分布に比例することに注意する。 ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}$

3次元では、これは に一般化され、 ここで はdelまたは勾配演算子を表します。これは運動量演算子で簡略化され、 次の 式が得られます 。$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$${\displaystyle \nabla }$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.}$$

これらの定義では位置基底（つまり、位置空間内の波動関数）を使用しますが、運動量空間も可能です。

上記の定義は、外部電磁場内のシステムでは修正する必要がある。SI単位では、質量m、電荷qの荷電粒子には、電磁場との相互作用による項が含まれる。^[3] ここで、A = A ( r , t )は磁気ベクトルポテンシャルである。項q Aは運動量の次元を持つ。ここで使用されているは正準運動量であり、運動運動量演算子とは異なり、ゲージ不変ではないことに注意すること。 $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$

ガウス単位系では、 c は光の速度 です。 $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

粒子がスピンを持つ場合、対応する磁気モーメントを持つため、スピンと電磁場の相互作用を組み込んだ追加の項を追加する必要があります。

ランダウ＝リフシッツの理論物理学によれば、電流密度はガウス単位である：^[4] $${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

SI単位では：$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

したがって、確率電流（密度）は SI 単位で表されます。$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

ここで、Sは、対応するスピン磁気モーメント_μSとスピン量子数sを持つ粒子のスピンベクトルです。

この式が内部構造を持つ粒子に当てはまるかどうかは疑わしい。^[要出典]中性子は電荷がゼロだが磁気モーメントがゼロではないため、不可能である（ただし、この場合はゼロになる）。スピン量子数 s=1/2 で μ S = 2.7927·μ N の陽子や、s=1 で μ S =0.8574·μ N [5] の重陽子（H-2 原子核）のような電荷がゼロではない_複合粒子の_場合、_数学的_に^は可能だが疑わしい。 ${\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}}$${\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$

波動関数は、複素 指数(極) 形式で表すこともできます。 ここで、R と Sはrとtの実関数です。 $${\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}$$

このように書くと、確率密度は、確率電流は、次のようになります。 $${\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}$$

指数とR∇R項は打ち消されます。 $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}$$

最後に、定数を結合してキャンセルし、R ^{2 を}ρに置き換えます。 したがって、波動関数の位相の空間的変化は、波動関数の確率流束を特徴付けると言えます。流体力学における質量流束のよく知られた式をとれば、 $${\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}$$

ここで、は流体の質量密度、vは速度（波の群速度でもある）です。古典的な極限では、速度を に関連付けることができます。これは、 ∇ S を古典的な運動量p = m vと等しくすることと同じです。ただし、位置と速度を同時に測定すると不確定性原理に違反するため、これは点での物理的な速度や運動量を表しません。この解釈はハミルトン・ヤコビ理論に適合します。この理論では、 直交座標では∇ S で与えられ、S はハミルトンの主関数です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}},}$$${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

ド・ブロイ・ボーム理論では、速度は一般に（古典的極限だけでなく） と等しいとみなされるため、常に明確に定義されます。これは量子力学の解釈です。 ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}}}$

確率電流の定義とシュレーディンガー方程式は連続方程式を導くために使用することができ、これは流体力学や電磁気学のものと全く同じ形をしている。^[6]

ある波動関数 Ψについて、次のようにします。

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$を確率密度（単位体積あたりの確率、*は複素共役を表す）とする。すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\psi ^{*}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left(-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}[(\nabla ^{2}\psi )\psi ^{*}-\psi (\nabla ^{2}\psi ^{*})]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\\end{aligned}}}$

ここで、V は任意の体積であり、S はVの境界です。

これは量子力学における確率の 保存則です。積分形式は次のように表されます。

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$$ここで、確率電流または確率流束（単位面積あたりの流れ）です。 $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

ここで、積分内の項を等しくすると、確率の連続方程式が得られます。また、積分方程式は、発散定理を使用して次のように言い換えることもできます。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$。

特に、Ψ が単一粒子を記述する波動関数である場合、前式の第 1 項の積分は、時間微分を除いたもので、粒子の位置が測定されたときにV内で値を取得する確率です。第 2 項は、確率が体積Vから流出する速度です。全体として、この式は、粒子がVで測定される確率の時間微分が、確率がVに流入する速度に等しいことを示しています。

体積積分の極限を空間のすべての領域に当てはめると、表面積分項の無限大でゼロになる良好な波動関数は、全確率の時間微分がゼロであることを意味します。つまり、正規化条件が保存されます。^[7]この結果は、定義によりベクトルの長さを保存する時間発展演算子のユニタリー性質と一致しています。

ステップ電位または電位障壁が発生する領域では、確率電流は透過係数Tおよび反射係数Rと関連しています。これらは、粒子が電位障壁から反射するか、透過される程度を測定します。両方とも次式を満たします。 ここで、 TおよびR は次のように定義できます。 ここで、 j _inc、j _ref、j _{trans は}それぞれ入射確率電流、反射確率電流、透過確率電流であり、縦棒は電流ベクトルの大きさを示します。TとRの関係は確率保存則から得られます。 $${\displaystyle T+R=1\,,}$$$${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$$

障壁に 垂直な単位ベクトル n に関して、これらは等価です。ここで、 TとR が負に ならないように絶対値が必要です。 $${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$$

空間を伝播する 平面波の場合、 確率密度はどこでも一定です （つまり、平面波は定常状態です）。ただし、確率電流はゼロではありません（波の絶対振幅の2乗に粒子の速度を掛けた値です）。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$$$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$$$${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$$

空間確率密度に明確な時間依存性がない場合でも、粒子が運動している可能性があることを示しています。

1次元の空間で長さLの箱の中にある粒子が領域 に限定されている場合、エネルギー固有状態は であり 、それ 以外 の場所ではゼロです。関連する確率流は、 ${\displaystyle 0<x<L}$$${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$$$${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$$$${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$$

上の1次元の粒子に対しては、ハミルトニアンが成り立ちます。ここで は離散ラプラシアンで、Sは 上の右シフト演算子です。すると確率電流は次のように定義されます。vは速度演算子で、 に等しく、X は上の位置演算子です。Vは通常 上の乗算演算子なので、次のように安全に書くことができます。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle H=-\Delta +V}$${\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\},}$${\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}$${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right).}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$$${\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.}$$

その結果、次のことがわかりました。 $${\displaystyle {\begin{aligned}j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}\\&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}\end{aligned}}}$$

• Resnick, R.; Eisberg, R. (1985).原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学(第 2 版). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X。