曲がった時空

物理学において、曲がった時空は、アインシュタインの一般相対性理論において重力が自然に生じる数学モデルであり、ニュートンの静的なユークリッド座標系における基本力として記述されるのとは対照的です。物体は、遠くの物体から直接影響を受けるのではなく、測地線（時空の局所的な幾何学によって決定される曲がった経路）に沿って移動します。この枠組みは、2つの基本原理につながりました。1つは座標独立性で、物理法則は使用する座標系に関係なく同じであると主張する原理、もう1つは等価原理で、十分に小さな空間領域では重力の影響は加速度の影響と区別できないという原理です。これらの原理は、アインシュタインの場の方程式で定式化された時空の幾何学を通して、重力をより深く理解するための基礎を築きました。

ニュートンの理論は、運動は空間と時間全体に広がる固定されたユークリッド座標系を背景として起こると仮定していた。重力は、距離を超えて瞬時に作用する謎の力によって媒介され、その作用は介在する空間とは無関係である。 ^{[注1 ]}これに対し、アインシュタインは、空間全体に広がる背景となるユークリッド座標系は存在しないと否定した。重力というものも存在せず、あるのは時空そのものの構造だけである。^{[ 1 ]： 175-190}

時空の観点から見ると、地球を周回する人工衛星の軌道は、地球、月、太陽といった遠方の影響によって決定されるわけではありません。むしろ、人工衛星は局所的な条件にのみ反応して空間を移動します。十分に小さなスケールで考えると、時空はあらゆる場所で局所的に平坦であるため、人工衛星は常にその局所的な慣性系において直線に沿って移動します。つまり、人工衛星は常に測地線に沿って移動すると言えます。単一の粒子の運動に重力の証拠を追うことはできません。^{[ 1 ]： 175-190}

時空のあらゆる解析において、重力の証拠を得るには、2つの物体または2つの分離した粒子の相対的な加速度を観測する必要がある。図 1では、地球の重力場を自由落下する2つの分離した粒子が、重力場の局所的な不均一性によって潮汐加速度を示し、それぞれの粒子が時空を異なる経路で移動する。これらの粒子が互いに示す潮汐加速度は、その説明に力を必要としない。むしろ、アインシュタインは時空の幾何学、すなわち時空の曲率によってそれらを記述した。これらの潮汐加速度は厳密には局所的なものである。地球から遠く離れた場所で作用する重力の出現は、曲率の多くの局所的な現れの累積的な総効果によって生じる。 ^{[ 1 ]： 175-190}

この図に示されたシナリオを観察する異なる観察者は、状況に関する知識に応じてシナリオを異なって解釈します。(i)粒子 2 と 3 の重心にいるが、大きな質量 1 に気づいていない最初の観察者は、シナリオ A では粒子間に反発力が働き、シナリオ B では粒子間に引力が働くと結論付けます。(ii) 大きな質量 1 に気づいている 2 番目の観察者は、最初の観察者の無知さに微笑みます。この 2 番目の観察者は、実際には粒子 2 と 3 の間に働く見かけ上の力は、質量 1 によるそれらの異なる引力によって生じる潮汐効果を表していることを知っています。(iii) 一般相対性理論の訓練を受けた 3 番目の観察者は、実際には 3 つの物体間には全く力が働いていないことを知っています。むしろ、3 つの物体はすべて時空の測地線に沿って移動します。

一般相対性理論は、2つの中心的な命題に基づいている。

• 最初の重要な概念は座標系の独立性です。物理法則は、どの座標系を使用するかに依存してはなりません。これは、非加速（慣性）座標系で運動するすべての観測者に対して物理法則が同じでなければならないと述べる特殊相対性理論における相対性原理の大きな拡張です。一般相対性理論では、アインシュタイン自身の（翻訳された）言葉を借りれば、「物理法則は、あらゆる種類の運動における参照系に適用できる性質のものでなければならない」のです。 ^{[ 2 ]： 113}これはすぐに問題を引き起こします。加速系では、絶対的な意味で自身の加速状態を評価できると思われる力を感じるのです。アインシュタインはこの問題を等価原理によって解決しました。^{[ 3 ]： 137-149}

• 等価原理は、空間の十分に小さな領域では、重力の影響は加速度の影響と同じであると述べている。図 2 では、A は質量のある物体から遠く離れた宇宙船の中にいて、gの一定の加速度を受けている。B は地球上に置かれた箱の中にいる。宇宙船が十分に小さく、潮汐の影響が測定できないと仮定すると (現在の重力測定機器の感度を考えると、A と B はおそらくリリパット人であるべきである)、A と B がどちらの状況にいるかを判断できるような実験はできない。^{[ 3 ] : 141–149}等価原理の別の表現は、ニュートンの万有引力の法則F = GMm _g /r ² = m _g gとニュートンの第 2 法則F = m _i aにおいて、重力質量m _{g が}慣性質量m _iと等しくなければならない先験的 な理由はないことに注目することである。等価原理によれば、これら2つの質量は同一である。^{[ 3 ]： 141-149}

曲がった時空の基本的な記述から重力の完全な記述へと進むには、テンソル解析と微分幾何学という、いずれも相当な学習を要する分野が必要となる。これらの数学的ツールがなければ、一般相対性理論について記述することは可能だが、非自明な導出を示すことは不可能である。

特殊相対性理論の議論において、力は背景的な役割しか果たさなかった。特殊相対性理論は、時空全体を満たす慣性系を定義できるという前提に立っており、それらの時計はすべて原点の時計と同じ速度で進む。これは本当に可能なのだろうか？不均一な重力場では、実験によれば答えはノーである。重力場は、グローバルな慣性系を構築することを不可能にする。時空の十分に小さな領域では、局所的な慣性系は依然として可能である。一般相対性理論は、これらの局所的な慣性系を体系的につなぎ合わせて、より一般的な時空の像を構築するものである。^{[ 8 ]： 118-126}

1916年に一般理論が発表される何年も前に、アインシュタインは等価原理を用いて、次の思考実験で重力赤方偏移の存在を予測しました。(i) 高さhの塔(図4) が建設されたと仮定します。(ii) 静止質量mの粒子を塔の頂上から落とします。粒子は加速度gで自由落下し、速度v = (2 gh ) ^1/2で地面に到達します。そのため、地上の観測者によって測定される粒子の全エネルギーEは⁠となります。 ${\displaystyle m+{{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}/{c^{2}}=m+{mgh}/{c^{2}}}$（ iii）質量エネルギー変換器は、粒子の全エネルギーを単一の高エネルギー光子に変換し、それを上方に照射する。（iv）塔の頂上では、エネルギー質量変換器が光子のエネルギーE 'を静止質量m 'の粒子に再。 ^{[ 8 ]： 118-126}

m = m 'でなければならない。そうでなければ永久機関を構築できてしまうからである。したがって、 E ' = mと予測されるので、

${\displaystyle {\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}={\frac {m}{m+{\frac {mgh}{c^{2}}}}}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}}$

地球の重力場を上昇する光子はエネルギーを失い、赤方偏移する。天体観測によるこの赤方偏移の測定の初期の試みはやや決定的ではなかったが、Pound & Rebka (1959)および後に Pound & Snider (1964) によって決定的な実験室観測が行われた。^{[ 9 ]}

光には固有の周波数があり、この周波数は時計の機構を動かすために利用できます。重力赤方偏移は、時間そのものに関する重要な結論を導きます。重力は時間の流れを遅くします。ある安定した原子遷移によって速度が制御される、同一の時計を2つ作ったとしましょう。一方の時計を塔の上に置き、もう一方の時計は地上に置きます。塔の上にいる実験者は、地上の時計からの信号の周波数が、塔の上にある隣の時計からの信号よりも低いことを観察します。塔を上昇する光は単なる波であり、上昇中に波の山が消えることはあり得ません。塔の頂上に到達する光の振動の数は、塔の底から放出された数とまったく同じです。実験者は地上の時計が遅れていると結論付け、塔の時計を地上の時計と並べて比較することで、この結論を確認できます。^{[ 10 ] : 16–18} 1  km のタワーの場合、その差は 1 日あたり約 9.4 ナノ秒となり 、最新の計測機器で容易に測定できます。

重力場にある時計はすべて同じ速度で進むわけではありません。パウンド＝レブカ実験などの実験は、時空の時間成分の歪みを確固として確立しました。パウンド＝レブカ実験は、時空の空間成分の曲率については何も述べていません。しかし、重力による時間の遅れを予測する理論的議論は、一般相対性理論の詳細には全く依存しません。等価原理を尊重する重力理論であれば、どのような理論でも重力による時間の遅れを予測します。 ^{[ 10 ]： 16}これにはニュートン重力も含まれます。一般相対性理論における標準的な実証は、「ニュートン極限」（すなわち、粒子がゆっくりと運動し、重力場が弱く、重力場が静的である場合）において、ニュートンの万有引力の法則が、時空の幾何学を記述するクリストッフェル記号の時間成分のみから導出できることを示すことです。^{[ 11 ]： 101-106}

ニュートン重力は、厳密に言えば「曲率」は時間単独の性質ではなく時空全体の性質であるにもかかわらず、非公式には「時間の曲率」と表現できる。^{[注3 ]}一方、一般相対性理論は曲がった時空の理論である。重力定数をG、ニュートン星の質量をM 、星から距離rにある質量が無視できるほど小さい軌道上の物体を考えると、ニュートン重力の時空間隔は時間係数のみが変化するものである。^{[ 10 ] : 229–232}

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}-\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

の${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$係数の前に${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$これはニュートン重力における時間の曲率を表し、この曲率はニュートン重力のすべての効果を完全に説明します。予想どおり、この補正係数は直接比例します。${\displaystyle G}$そして${\displaystyle M}$、そして${\displaystyle r}$分母において、補正係数は重力を持つ物体に近づくにつれて増加するため、時間の歪みはますます大きくなる。

しかし、一般相対性理論は曲がった空間と曲がった時間の理論なので、上記の時空間隔の空間成分を修正する項が存在するならば、空間項に適用される曲率補正係数によって、例えば惑星や衛星の軌道にその影響が現れるはずではないでしょうか？

答えは、それらは見えるが、その影響はごくわずかであるということです。その理由は、惑星の速度は光速に比べて非常に小さいため、太陽系の惑星や衛星の場合、${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$項は空間項を圧倒する。^{[ 10 ]： 234-238}

空間的な項の微小さにもかかわらず、ニュートン重力に何か問題があるという最初の兆候は、1世紀半以上前に発見されました。1859年、ウルバン・ル・ヴェリエは、1697年から1848年までの水星の太陽面通過の観測データを分析し、水星の軌道内に惑星または小惑星帯が存在しない限り、既知の物理学では水星の軌道を説明できないと報告しました。水星の軌道の近日点では、他の惑星の引力で説明できる以上の歳差運動の速度が見られました。 ^{[ 12 ]}この異常な歳差運動の微小な値（熱帯世紀あたりわずか43秒角）を検出して正確に測定できたことは、 19世紀の天体測定の高度さを証明しています。

天王星の軌道の不規則性を分析することで「ペン先で」海王星の存在を発見した天文学者ル・ヴェリエの発表は、プロとアマチュアの天文学者が共に仮説上の新惑星を探し求める「バルカン熱狂」の20年にわたる期間を引き起こした。この探索には、バルカンの誤認がいくつか含まれていた。最終的に、そのような惑星や小惑星帯は存在しないことが確立された。^{[ 13 ]}

1916年、アインシュタインは、水星のこの異常な歳差運動は時空の曲率の空間項によって説明できることを示した。時間項の曲率は、単にニュートン重力の表現に過ぎず、この異常な歳差運動の説明には関係がない。彼の計算の成功は、一般相対性理論が正しい可能性をアインシュタインの同僚たちに強く示唆するものであった。

アインシュタインの最も驚くべき予測は、時空間隔の空間成分における曲率項が、質量のある物体の周囲を光が曲がる様子で測定できるという計算であった。光は時空図上 で±1の傾きを持つ。空間における光の運動は、時間における光の運動と等しい。不変間隔の弱場表現について、アインシュタインは空間成分において、完全に等しく符号が逆の曲率を計算した。^{[ 10 ]： 234-238}

$\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle -\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$

ニュートンの万有引力の法則では、${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$係数の前に${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$星の周りで光が曲がることを予測する。一般相対性理論では、${\displaystyle (1+2GM/(c^{2}r))}$係数の前に${\displaystyle \left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$全体の曲げが2倍になると予測される。 ^{[ 10 ]： 234-238}

1919年のエディントン日食探検隊とアインシュタインの名声への道のりについては、他の場所で詳しく語られている。 ^{[ 14 ]}

ニュートンの万有引力の法則では、重力の唯一の源は質量である。

対照的に、一般相対性理論では、質量に加えて時空曲率のいくつかの源を特定している。アインシュタイン場の方程式では、 重力の源は右辺に示されている。${\displaystyle T_{\mu \nu },}$応力エネルギーテンソル。^{[ 15 ]}

図 6は、応力エネルギーテンソルにおける様々な重力源を分類したものである。

• $\displaystyle T^{00}}$（赤）：粒子間の力による位置エネルギーへの寄与、およびランダムな熱運動による運動エネルギーを含む、全質量エネルギー密度。
• ${\displaystyle T^{0i}}$そして${\displaystyle T^{i0}}$（オレンジ色）：これらは運動量密度を表す項です。たとえ物体の大きな動きがなくても、熱伝導によってエネルギーが伝達され、伝導されたエネルギーは運動量を持ちます。
• ${\displaystyle T^{ij}}$これらは、単位面積あたりの運動量のi成分のj方向への流れの速度です。バルク運動がなくても、粒子のランダムな熱運動によって運動量の流れが生じるため、i = jの項 (緑色) は等方性圧力を表し、i ≠ j の項 (青色) はせん断応力を表します。^{[ 15 ]}

これらの方程式から導き出される重要な結論の一つは、口語的に言えば、重力そのものが重力を生み出すということである。^{[注4 ]}エネルギーには質量がある。ニュートン重力においても、重力場はエネルギーと関連付けられており、${\displaystyle E=mgh,}$重力ポテンシャルエネルギーと呼ばれる。一般相対性理論では、重力場のエネルギーが重力場の生成にフィードバックされる。このため、方程式は非線形となり、弱い場の場合以外では解くのが難しくなる。 ^{[ 10 ]： 240}数値相対性理論は、数値的手法を用いて問題を解決および分析する一般相対性理論の一分野であり、ブラックホール、重力波、中性子星、および強い場の領域におけるその他の現象を研究するためにスーパーコンピュータがよく用いられる。

エネルギー運動量

図7. (左) 質量エネルギーが時空を歪める。(右)角運動量Jを持つ回転する質量エネルギー分布が重力磁場Hを生成する。

特殊相対性理論では、質量エネルギーは運動量と密接に関係しています。空間と時間が時空と呼ばれるより包括的な実体の異なる側面であるのと同様に、質量エネルギーと運動量は、4次元運動量と呼ばれる統一された量の異なる側面にすぎません。したがって、質量エネルギーが重力の源であるならば、運動量もまた源でなければなりません。運動量を重力の源として含めることで、運動または回転する質量が、運動する電荷によって生成される磁場に類似した場を生成する可能性があるという予測につながり、これは重力磁気として知られる現象です。^{[ 16 ]}

磁力は、運動する電荷に特殊相対性理論の法則を適用することで導き出せることはよく知られている。（このことは、ファインマンが『物理学講義』第2巻第13章6節で雄弁に実証しており、オンラインで入手可能である。）^{[ 17 ]}同様の論理を用いて、重力磁気の起源を実証することができる。^{[ 10 ]： 245-253}

図 8aでは、2つの平行で無限に長い質量粒子の流れが、静止していて2つの流れの中央に位置する試験粒子に対して、それぞれ等しく反対方向の速度−vと+ vで流れています。この配置の対称性により、中央の粒子にかかる正味の力はゼロです。${\displaystyle v\ll c}$⁠したがって、速度は単純に加算される。図 8bは全く同じ設定を示しているが、上側の流れの座標系で示されている。試験粒子は+ vの速度を持ち、下側の流れは+ 2vの速度を持つ。物理的な状況は変わっておらず、観測する座標系だけが変わったので、試験粒子はどちらの流れにも引き寄せられないはずである。 ^{[ 10 ]： 245-253}

試験粒子に作用する力が等しいとは到底言えない。（1）下層流は上層流よりも速く動いているため、下層流の各粒子は上層流の各粒子よりも大きな質量エネルギーを持つ。（2）ローレンツ収縮のため、下層流には上層流よりも単位長さあたりの粒子数が多い。（3）下層流の有効重力質量へのもう一つの寄与は、追加の圧力項によるものであるが、現時点ではこれについて議論するのに十分な背景知識がない。これらの効果をすべて合わせると、試験粒子は下層流に向かって引き寄せられるように見える。^{[ 10 ]： 245-253}

試験粒子が底流に引き寄せられないのは、底流と同じ方向に移動する粒子を反発させる速度依存の力が働くためである。この速度依存の重力効果は重力磁気である。^{[ 10 ]： 245-253}

重力磁場中を運動する物質は、電磁誘導に類似したいわゆるフレームドラッギング効果を受ける。このような重力磁気力が、回転する超大質量ブラックホールから放出される相対論的ジェット（図9）の生成の根底にあると提唱されている。^{[ 18 ] [ 19 ]} 

• 時空トポロジー