相対論的波動方程式

分子、原子、核系、およびそれより小さい系に適用された古典力学の限界は、新しい力学、すなわち量子力学の必要性を生み出した。その数学的定式化は、1920年代半ば頃にド・ブロイ、ボーア、シュレーディンガー、パウリ、ハイゼンベルクらによって主導され、当時は古典力学のそれと類似していた。シュレーディンガー方程式とハイゼンベルクの描像は、量子数が大きい極限（エネルギー準位が高い）で、換算プランク定数ħ （作用量子）がゼロに近づくとき、古典的な運動方程式に似ている。これが対応原理である。この時点では、特殊相対性理論は量子力学と完全に統合されていなかったため、当初提案されたシュレーディンガーとハイゼンベルクの定式化は、粒子が光速に近い速度で移動する状況や、各種類の粒子の数が変化する状況（これは実際の粒子相互作用で起こります。粒子の崩壊、対消滅、物質生成、対生成など、さまざまな形態があります）では使用できませんでした。

1920年代後半から1940年代半ばにかけて、多くの理論物理学者が相対論的効果を説明できる量子力学系の記述を模索した。 ^{[ 2 ]}相対論的量子力学、すなわち量子力学と特殊相対性理論を組み合わせたものの最初の基礎は、しばしばクライン・ゴルドン方程式と呼ばれるものを発見した人々によって見出された。

エネルギー演算子と運動量演算子を相対論的エネルギー・運動量関係式に挿入することにより、

（ １）の解はスカラー場である。KG方程式は、（２ ）の二次形式の性質（相対論的理論では避けられない）の結果として負のエネルギーと確率を予測するため、望ましくない。この方程式は当初シュレーディンガーによって提案されたが、彼はそのような理由でそれを破棄した。しかし数か月後、その非相対論的極限（現在シュレーディンガー方程式と呼ばれているもの）が依然として重要であることに気づいた。それにもかかわらず、（１）はスピン0ボソンに適用可能である。^[３]

シュレーディンガーが発見した非相対論的方程式も相対論的方程式も、水素スペクトル系列の微細構造を予測することはできなかった。その根底にある謎めいた性質はスピンであった。最初の2次元スピン行列（パウリ行列としてよく知られている）は、パウリによってパウリ方程式で導入された。これは、磁場中の粒子に対する追加項を含む非相対論的ハミルトニアンを持つシュレーディンガー方程式であるが、これは現象論的なものであった。ワイルは、質量ゼロのスピン1/2フェルミオンに対して、パウリ行列を用いた相対論的方程式、ワイル方程式を発見した。この問題は、1920年代後半にディラックによって解決された。彼は、方程式（ 2）を電子に適用し、様々な操作によって方程式を次の形式に因数分解した。

そして、これらの要因の 1 つは、エネルギー演算子と運動量演算子を挿入すると得られるディラック方程式(下記参照) です。これにより、相対論的波動方程式に新しい 4 次元スピン行列α とβが初めて導入され、水素の微細構造が説明されました。 ( 3A )の解は多成分スピノル場であり、各成分は ( 1 ) を満たします。スピノル解の注目すべき結果は、成分の半分が粒子を記述し、残りの半分が反粒子を記述することです。この場合、電子と陽電子です。ディラック方程式は、現在ではすべての質量を持つスピン 1/2フェルミオンに適用できることが知られています。非相対論的極限では、パウリ方程式が回復され、質量ゼロの場合はワイル方程式が得られます。

量子論における画期的な出来事であるディラック方程式は、スピン1/2のフェルミオンにのみ適用可能であり、負のエネルギー解を予測するため、当時論争を巻き起こした（特に、すべての物理学者が負のエネルギー状態の「ディラックの海」に納得していたわけではなかった）。

自然な問題が明らかになった。それは、ディラック方程式を任意のスピンを持つ粒子、すなわちフェルミオンとボソンの両方、そして同じ方程式でそれらの反粒子（ディラックが方程式で導入したスピノル形式と、1929年にファン・デル・ヴェルデンが行ったスピノル計​​算の当時最新の発展のおかげで可能になった）に一般化し、理想的には正のエネルギー解を持つようにすることである。^{[ 2 ]}

これは1932年にマヨラナによって、ディラックとは異なるアプローチで導入され解決された。マヨラナは（3A）の「根」の一つを考察した。

ここで、ψはスピノル場であり、符号の不確定性を取り除くために有限個のテンソルまたはスピノルに還元できない無限個の成分を持つ。行列αとβは無限次元行列であり、無限小ローレンツ変換に関連している。彼は3Bの各成分が方程式 ( 2 ) を満たすことを要求しなかった。代わりに、最小作用の原理とローレンツ群論の適用により、ローレンツ不変作用を使用して方程式を再生した。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

マヨラナは、さまざまな次元（5、6、16）の波動方程式など、未発表の重要な貢献も残した。これらは後にド・ブロイ（1934年）やダフィン、ケマー、ペティオー（1938～1939年頃）によって（より複雑な形で）先取りされた（ダフィン・ケマー・ペティオー代数を参照） 。スピノルは20世紀初頭には新しい数学的ツールであったため、ディラック・フィエルツ・パウリ形式はマヨラナのものよりも洗練されていたが、1932年のマヨラナの論文は完全に理解するのが難しく、パウリとウィグナーがそれを理解するまでには1940年頃まで時間がかかった。^{[ 2 ]}

1936年にディラック、1939年にフィエルツとパウリは、整数nに対してスピンn +1/2の質量を持つ粒子について、すべての添え字に関して対称な既約スピノルAとBから方程式を構築した（点付き添え字の意味については、ファン・デル・ヴェルデン記法を参照）。

ここでpは共変スピノル演算子としての運動量である。n = 0の場合、方程式は結合ディラック方程式に帰着し、AとB は一緒に元のディラックスピノルとして変換される。AまたはBのいずれかを消去すると、 AとB はそれぞれ ( 1 ) を満たすことがわかる。^{[ 2 ]}バーグマン・ウィグナー演算子を使用したディラック・パウリ・フィエルツ方程式の直接導出は、イサエフとポドイニツィンによって与えられている。^{[ 6 ]}

1941年、ラリタとシュウィンガーはスピン3/2粒子に注目し、ラリタ・シュウィンガー方程式を導出し、それを生成するためのラグランジアンも導出し、後に整数nに対するスピンn +1/2に類似した方程式を一般化した。1945年、パウリはマヨラナの1932年の論文をババに提案し、ババは1932年にマヨラナによって導入された一般的なアイデアに戻った。ババとルバンスキーは、( 3A )と( 3B )の質量項を任意の定数に置き換えることで、波動関数が従わなければならない一連の条件の下で、完全に一般的な方程式のセットを提案した。^{[ 7 ]}

最後に、1948 年 (ファインマンの経路積分定式化が行われたのと同じ年)、バーグマンとウィグナーは、完全対称有限成分スピノルを持つディラック方程式を考慮し、ローレンツ群論 (マヨラナが行ったように) を使用して、任意のスピンを持つことができる質量粒子の一般方程式を定式化しました。それがバーグマン-ウィグナー方程式です。^{[ 2 ] [ 8 ]} 1960 年代初頭、H. ジョースとスティーブン・ワインバーグによって、バーグマン-ウィグナー方程式の再定式化が行われ、ジョース-ワインバーグ方程式が作られました。この時期、さまざまな理論家が、高スピン粒子の相対論的ハミルトニアンについてさらに研究を行いました。^{[ 1 ] [ 9 ] [ 10 ]}

スピン粒子の相対論的記述は、量子論における難題であった。この問題は部分的にしか解決されていないため、現在でも研究対象となっている。方程式に相互作用を含めることは困難であり、（ディラック方程式からさえ）矛盾する予測が依然として存在する。^{[ 5 ]}

ダフィン・ケマー・ペティオー方程式は、スピン0およびスピン1の粒子に対する別の方程式である。 $${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$$

標準的な特殊相対性理論（SR）の4元ベクトルから始めましょう。

• 4ポジション${\displaystyle X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$
• 4速${\displaystyle U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$
• 4-運動量${\displaystyle P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4波ベクトル${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4段階勾配${\displaystyle \partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

各4次元ベクトルはローレンツスカラーによって互いに関連付けられていることに注意してください。

• ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$、 どこ${\displaystyle \tau }$適切な時期
• ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$、 どこ${\displaystyle m_{0}}$静止質量は
• ${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$これは、プランク・アインシュタイン関係とド・ブロイ物質波関係の4ベクトル版であ​​る。
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$これは、複素数値平面波の4次元勾配バージョンである。

それでは、それぞれの式に標準的なローレンツのスカラー積の法則を適用してみましょう。

• ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

最後の式は、基本的な量子力学の関係式である。

ローレンツスカラー場に適用した場合${\displaystyle \psi }$すると、量子相対論的波動方程式の中で最も基本的なクライン・ゴルドン方程式が得られる。

• ${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: 4ベクトル形式
• ${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: テンソル形式で
• ${\displaystyle \left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{0}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{0}c)\right]\psi =0}$: 因数分解テンソル形式

シュレーディンガー方程式は、クライン・ゴルドン方程式の低速極限（v ≪ c ）の場合である。

この関係を4ベクトル場に適用すると${\displaystyle A^{\mu }}$ローレンツスカラー場の代わりに${\displaystyle \psi }$すると、プロカ方程式（ローレンツゲージの場合） が得られる。$${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0}$$

静止質量項をゼロに設定すると（光のような粒子の場合）、これは（ローレンツゲージにおける） 自由マクスウェル方程式を与える。$${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0}$$

ミンコフスキー空間における適切な直交ローレンツ変換x → Λ xの下では、スピン z 成分σを持つスピンjのすべての 1 粒子量子状態ψ ^j _σは、ローレンツ群の何らかの表現Dの下で局所的に変換されます。^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)}$$ ここで、D (Λ)は有限次元表現、すなわち行列です。ここで、ψはσの許容値を持つ成分を含む列ベクトルとみなされます。量子数jとσ、および他の量子数を表す連続または離散のラベルは省略されます。表現によっては、σの値が複数回出現する場合があります。jの可能な値が複数ある表現については、以下で検討します。

既約表現は、半整数または整数のペア( A、B )でラベル付けされます。これらから、テンソル積や直和を取るなど、さまざまな標準的な方法を使用して他のすべての表現を構築できます。特に、時空自体は4 ベクトル表現( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ )を構成し、 Λ ∈ D ^{(1/2, 1/2)}となります。これを文脈に当てはめると、ディラック スピノルは( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現の下で変換されます。一般に、( A、B )表現空間には、空間回転の部分群SO(3)の下で、スピンjのオブジェクトのように既約変換する部分空間があり、各許容値は次のようになります。 $${\displaystyle j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,}$$ ちょうど1回発生します。^{[ 14 ]}一般に、既約表現のテンソル積は既約であり、既約表現の直和として分解されます。

表現D ^{( j , 0)}とD ^{(0, j )}はそれぞれスピンjの粒子を個別に表現することができる。このような表現における状態または量子場は、クライン・ゴルドン方程式以外の場の方程式を満たさない。

• ヤン・ミルズ方程式：非可換ゲージ場を記述する
• ヤン・ミルズ・ヒッグス方程式：質量を持つスピン0粒子と結合した非可換ゲージ場を記述する。

• アインシュタイン場の方程式：物質と重力場（質量のないスピン2場）との相互作用を記述する。$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$$解決策は、波動関数ではなく、計量テンソル場である。