曲がった時空におけるディラック方程式

数理物理学において、曲がった時空におけるディラック方程式は、平坦な時空（ミンコフスキー空間）から一般のローレンツ多様体である曲がった時空へのディラック方程式の一般化である。

完全に一般化すると、方程式はまたは擬リーマン多様体上で定義できますが、具体性のために、シグネチャ を持つ擬リーマン多様体に限定します。計量は、または抽象インデックス表記と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$${\displaystyle (-+++)}$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle g_{ab}}$

我々はベクトル場（必ずしも 上で大域的に定義されるわけではない）の集合である四周場またはフレーム場の集合を使用する。それらの定義方程式は ${\displaystyle \{e_{\mu }\}=\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle g_{ab}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}=\eta _{\mu \nu }.}$

四周波は局所静止フレームを定義し、一定のガンマ行列が各時空点で作用できるようにします。

微分幾何学の言語では、四辺形はフレームバンドルの切断に相当し、フレームバンドルの局所自明化を定義します。

方程式を書き下すには、スピン接続（接続（1-）形式とも呼ばれる）も必要となる。デュアルフレームフィールドは、定義関係を持つ。 ${\displaystyle \{e^{\mu }\}}$

${\displaystyle e_{a}^{\mu }e_{\nu }^{a}=\delta ^{\mu }{}_{\nu }.}$

接続1形式は

${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu a}:=e_{b}^{\mu }\nabla _{a}e_{\nu }^{b}}$

ここで、は共変微分、またはそれと同等にフレームバンドル上の接続の選択であり、最もよく使用されるのはLevi-Civita 接続です。 ${\displaystyle \nabla _{a}}$

抽象的なラテンインデックスとギリシャインデックスを同じものとして扱わないように注意する必要があります。さらに、これらはどちらも座標インデックスではないことにも注意してください。座標の変更によってテンソルとして変換されないことが確認できます。 ${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu a}}$

数学的には、フレーム フィールドは、接空間からに定義される各点で同型性を定義します。抽象インデックスは接空間にラベルを付け、ギリシャ インデックスは にラベルを付けます。フレーム フィールドが位置に依存する場合、ギリシャ インデックスは、座標の変更によって必ずしもテンソル変換されるわけではありません。 ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

インデックスの上げ下げは、ラテン インデックスの場合は 、ギリシャ インデックスの場合はで行います。 ${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

接続形式は、主バンドル、具体的にはフレームバンドル 上のより抽象的な接続として見ることができます。フレームバンドルは任意の滑らかな多様体上で定義されますが、擬リーマン多様体上の正規直交フレームバンドルに制限されます。

局所的に定義されたフレーム フィールドに関する接続形式は、微分幾何学的言語では、局所的な単純化に関する接続です。 ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

平坦な時空上のディラック方程式と同様に、クリフォード代数、すなわち次の式を満たす 4つのガンマ行列 の集合を利用する。${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }}$

反交換子はどこにありますか。 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

これらはローレンツ代数の表現を構成するために使用できる。定義

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]=-{\frac {i}{2}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+{\frac {i}{2}}\eta ^{\mu \nu }}$、

整流子はどこにありますか。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

これらはローレンツ代数の交換関係を満たすことが示せます。

${\displaystyle [\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }]=(-i)(\sigma ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-\sigma ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\sigma ^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-\sigma ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma })}$

したがって、これらはローレンツ代数の表現を生成する。しかし、パウリ行列が回転代数の表現を生成するのに を生成しないのと同様に、これらはローレンツ群 の表現を生成しない。これらは実際、 の表現を形成する。しかし、たとえローレンツ群の表現として生じないとしても、ローレンツ代数の表現をローレンツ群の表現とみなすのは、用語の標準的な乱用である。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3).}$

表現空間はベクトル空間として と同型です。ローレンツ群表現の分類では、表現は とラベル付けされます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

用語の乱用は、この表現をグループレベルで形成することにまで及ぶ。有限ローレンツ変換をと 書くことができる。 ここで はローレンツ代数の標準基底である。これらの生成器は成分を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right){}_{\sigma }^{\rho }}$${\displaystyle M^{\mu \nu }}$

${\displaystyle (M^{\mu \nu })_{\sigma }^{\rho }=\eta ^{\mu \rho }\delta _{\sigma }^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }\delta _{\sigma }^{\mu }}$

または、両方のインデックスが上向き、または両方のインデックスが下向きの場合は、インデックスに、インデックスにが含まれ、その他は 0 になる単純な行列になります。 ${\displaystyle +1}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \nu ,\mu }$

別の表現にジェネレータがある場合は次のように書きます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho (M^{\mu \nu }),}$

${\displaystyle \rho (\Lambda )_{j}^{i}=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }T^{\mu \nu }\right){}_{j}^{i}}$

ここで、は表現空間のインデックスです。 ${\displaystyle i,j}$

の場合、 のジェネレータ成分が与えられていないと、これは明確に定義されません。同じだが、異なるジェネレータ成分の集合が存在するのです。${\displaystyle T^{\mu \nu }=\sigma ^{\mu \nu }}$${\displaystyle \alpha _{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }}$${\displaystyle \rho (\Lambda )}$${\displaystyle \alpha _{\mu \nu },\beta _{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }}$${\displaystyle \rho (\Lambda )_{j}^{i}.}$

例えば座標から生じる座標フレームが与えられた場合、一般の正規直交フレームに関する偏微分は次のように定義される。 ${\displaystyle {\partial _{\alpha }}}$${\displaystyle \{x^{\alpha }\}}$${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\psi =e_{\mu }^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi ,}$

そして、一般の直交座標系に対する接続成分は

${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu \rho }=e_{\rho }^{\alpha }\omega ^{\mu }{}_{\nu \alpha }.}$

これらの成分はフレームの変更によってテンソル的に変換されませんが、結合されると変換されます。また、これらは定義であり、これらのオブジェクトが何らかの座標チャートで偏微分として発生する可能性があるということではありません。一般に、ベクトル場の交換子がゼロにならない非座標正規直交フレームがあります。

変換の下では、

${\displaystyle \psi \mapsto \rho (\Lambda )\psi ,}$

共変微分を定義すると

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }\sigma ^{\nu \rho }\psi }$、

すると、 ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto \rho (\Lambda )D_{\mu }\psi }$

これはローレンツ群の任意の表現に一般化される。が関連する表現のベクトル場である場合、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle D_{\mu }v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }R(M^{\nu \rho })v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }T^{\nu \rho }v.}$

が の基本表現である場合、これは (接線) ベクトル場のよく知られた共変微分を回復します。レヴィ-チヴィタ接続はその一例です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$

異なるタイプの共変微分がどのような数学的対象であるかには微妙な点がある。座標基底における共変微分はベクトル値の1形式であり、各点においての要素である。正規直交基底における共変微分は、正規直交フレームを使用してベクトル値の1形式をベクトル値の双対ベクトルと同一視し、各点において の要素を標準的に使用する。次に、これをで値を取るガンマ行列4ベクトルに縮約することができる。${\displaystyle D_{\alpha }\psi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{p}\otimes T_{p}^{*}M}$${\displaystyle D_{\mu }\psi }$${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{p}\otimes \mathbb {R} ^{1,3},}$${\displaystyle {\mathbb {R} ^{1,3}}^{*}\cong \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{End}}(E_{p})\otimes \mathbb {R} ^{1,3}}$

平坦な時空上のディラック方程式を思い出してください。

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0,}$

曲がった時空上のディラック方程式は、偏微分を共変微分に昇格させることによって書き表すことができます。

このように、ディラック方程式は曲がった時空では次の形をとる：^[1]

ここで、は時空上のスピノル場である。数学的には、これはスピンフレーム束に関連付けられたベクトル束の切断であり、表現は${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle (1/2,0)\oplus (0,1/2).}$

ディラック方程式の演算子を2乗して得られる修正クライン・ゴルドン方程式は、エルヴィン・シュレーディンガーによって初めて発見され、ポロック ^[2]によって引用された。

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {-\det g}}}\,{\cal {D}}_{\mu }\left({\sqrt {-\det g}}\,g^{\mu \nu }{\cal {D}}_{\nu }\right)-{\frac {1}{4}}R+{\frac {ie}{2}}F_{\mu \nu }s^{\mu \nu }-m^{2}\right)\Psi =0.}$

ここで、はリッチスカラー、 はの場の強さです。ディラック方程式の別のバージョンで、ディラック演算子がラプラシアンの平方根のままであるものは、ディラック・ケーラー方程式で与えられます。この方程式の代償として、曲がった時空における ローレンツ不変性が失われます。${\displaystyle R}$${\displaystyle F_{\mu \nu }}$${\displaystyle A_{\mu }}$

ここで、ラテンインデックスは「ロレンツ」の四分円ラベルを表し、ギリシャインデックスは多様体座標インデックスを表すことに注意してください。

この理論は、作用の観点から定式化できます。さらに時空が向きを変えられる場合、体積形式として知られる好ましい向きがあります。体積形式に対して関数を積分することができます。 ${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \int _{M}\epsilon f=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}f}$

この関数を 体積形式に対して積分するとディラック作用が得られる。 ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi }$

• 物理空間の代数におけるディラック方程式
• ディラックスピノル
• 曲がった時空におけるマクスウェル方程式
• 二体ディラック方程式

• M. Arminjon、F. Reifler (2013)。「曲がった時空におけるディラック方程式の等価形式と一般化されたド・ブロイ関係」。ブラジル物理学ジャーナル。43 (1–2): 64–77。arXiv : 1103.3201。Bibcode : 2013BrJPh..43 ...64A。doi :10.1007/s13538-012-0111-0。S2CID 38235437  。
• MD Pollock (2010). 「曲がった時空におけるディラック方程式について」Acta Physica Polonica B . 41 (8): 1827.
• JV ドンゲン (2010)。アインシュタインの統一。ケンブリッジ大学出版局。p. 117。ISBN 978-0-521-883-467。
• L. パーカー、D. トムズ (2009)。『曲がった時空における量子場理論: 量子化された場と重力』ケンブリッジ大学出版局。p. 227。ISBN 978-0-521-877-879。
• SA Fulling (1989)。曲がった時空における量子場理論の側面。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-377-684。