分散関係

物理科学と電気工学において、分散関係は媒体内の波の特性に対する分散の影響を説明します。分散関係は、波の波長または波数をその周波数に関連付けます。分散関係がわかれば、媒体内の波の各正弦波成分の周波数依存の位相速度と群速度を、周波数の関数として計算できます。形状依存および材料依存の分散関係に加えて、包括的なクラマース-クローニッヒ関係は、波の伝播と減衰の周波数依存性を説明します。

分散は、幾何学的境界条件 (導波管、浅い水) または波と伝送媒体との相互作用によって発生する可能性があります。物質波として考えられる素粒子は、幾何学的制約や他の媒体がない場合でも、重要な分散関係を持ちます。

分散が存在する場合、波は不変の波形で伝播せず、周波数に依存する明確な位相速度と群速度が生じます。

分散は、異なる波長の正弦波が異なる伝播速度を持つ場合に発生し、混合波長の波束は空間に広がる傾向があります。平面波の速度は、波の波長の関数です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle v=v(\lambda ).}$

波の速度、波長、周波数fは、次の式で表されます。

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

関数は与えられた媒質の分散関係を表す。分散関係は一般的には角周波数と波数で表現される。上記の関係をこれらの変数で書き直すと次のようになる。 ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

ここで、f をkの関数として見ています。位相速度ω / kと群速度dω / dkの両方がこの関数を介して便利に表現できるため、分散関係を記述するためにω ( k ) を使用することが標準となっています。

検討されている平面波は次のように記述できる。

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

どこ

• Aは波の振幅であり、
• A ₀ = A (0, 0)、
• xは波の進行方向に沿った位置であり、
• t は波が記述される時間です。

真空中の平面波は波の伝播の最も単純な例です。幾何学的な制約はなく、伝送媒体との相互作用もありません。

真空中の電磁波の場合、角周波数は波数に比例します。

${\displaystyle \omega =ck.}$

これは線形分散関係です。この場合、位相速度と群速度は同じです。

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

したがって、どちらも真空中の光速度に等しく、周波数に依存しません。

ド・ブロイ物質波の場合、周波数分散関係は非線形です。 この式は、真空中の物質波周波数が非相対論的近似で波数 ( ) とともに変化することを示しています。この変化には 2 つの部分があります。静止質量のド・ブロイ周波数 ( ) による定数部分と、運動エネルギーによる 2 次部分です。 $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

物質波の応用は非相対論的速度で起こるが、ド・ブロイは 特殊相対論を応用して彼の波を導いた。相対論的エネルギー運動量関係から出発して、 物質波のエネルギーと運動量にド・ブロイ関係 を用いると、 $${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

ここで、ωは角周波数、kは大きさ| k | = kを持つ波数ベクトルで、波数に等しい。これを で割って平方根を取る。これにより、相対論的な周波数分散関係が得られる。 ${\displaystyle \hbar }$$${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

物質波の実際の作業は非相対論的な速度で行われます。近似するために、静止質量に依存する周波数を抽出します。 $${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

次に、係数が非常に小さいことが分かるので、大きすぎないように展開して乗算します。 これにより、上で説明した非相対論的近似が得られます。非相対論的シュレーディンガー方程式 から始めると、最初の静止質量項がなくなります。 ${\displaystyle \hbar /c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

上で述べたように、媒体の焦点が吸収ではなく屈折、つまり屈折率の実数部にある場合、角周波数の波数に対する関数依存性を分散関係と呼ぶのが一般的です。粒子の場合、これは運動量の関数としてのエネルギーに関する知識に変換されます。

「分散関係」という名前は、もともと光学に由来しています。屈折率が一定でない材料に光を通したり、導波管などの不均一な媒体で光を使用したりすることで、光の有効速度を波長に依存させることができます。この場合、波形は時間の経過とともに広がり、狭いパルスが拡張されたパルスになり、分散されます。これらの材料では、は群速度^[1]として知られており、パルスのピークが伝播する速度に対応し、位相速度とは異なる値です。^[2]${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

深海波の分散関係は次のように表されることが多い。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

ここでgは重力加速度である。この点で、深水とは一般に水深が波長の半分よりも大きい場合を指す。^[3]この場合、位相速度は

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

そして群速度は

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

理想的な弦の場合、分散関係は次のように表される。

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

ここで、Tは弦の張力、μ は弦の単位長さあたりの質量です。真空中の電磁波の場合、理想的な弦は非分散媒体です。つまり、位相速度と群速度は等しく、振動周波数とは無関係です (一次まで)。

非理想的な弦の場合、剛性を考慮すると、分散関係は次のように表される。

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

ここで、は文字列に依存する定数です。 ${\displaystyle \alpha }$

固体の研究において、電子の分散関係の研究は極めて重要です。結晶の周期性は、与えられた運動量に対して多くのレベルのエネルギーが可能であり、また、あるエネルギーはどの運動量でも利用できない可能性があることを意味します。すべての可能なエネルギーと運動量の集合は、物質のバンド構造として知られています。バンド構造の特性は、物質が絶縁体、半導体、または導体であるかどうかを定義します。

固体中の音波に対するフォノンは、光に対する光子と同じで、音波を運ぶ量子です。フォノンの分散関係も重要で、物質の音響特性や熱特性に直接関係しています。ほとんどのシステムでは、フォノンは主に 2 つのタイプに分類できます。ブリルアン ゾーンの中心でバンドがゼロになるフォノンは、長波長の極限で古典的な音に対応するため、音響フォノンと呼ばれます。その他のフォノンは、電磁放射によって励起されるため、 光学フォノンと呼ばれます。

透過型電子顕微鏡の高エネルギー電子（例えば200keV、32fJ）では、収束ビーム電子回折（CBED）パターンの高次ラウエゾーン（HOLZ）線のエネルギー依存性を利用して、結晶の3次元分散面の断面を直接画像化することができます。^[4]この動的効果は、格子定数、ビームエネルギー、そして最近では電子産業における格子ひずみの精密測定に応用されています。

アイザック・ニュートンはプリズムの屈折を研究したが、分散関係の物質依存性を認識できず、プリズムの分散の測定値がニュートン自身のものと一致しなかった他の研究者の研究を却下した。^[5]

水面上の波の分散は1776年にピエール・シモン・ラプラスによって研究された。 ^[6]

クラマース・クローニッヒ関係式（1926-27）の普遍性は、あらゆる種類の波と粒子の散乱理論における分散関係と因果関係との関連に関するその後の論文によって明らかになった。 ^[7]

• エリプソメトリー
• 超短パルス
• プラズマの波

• 分散面の視覚化に役立つ CBED シミュレーションに関するポスター (Andrey Chuvilin と Ute Kaiser 著)
• 角周波数計算機