応力エネルギーテンソル

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応力-エネルギーテンソルは、応力-エネルギー-運動量テンソルまたはエネルギー-運動量テンソルとも呼ばれ、ニュートン物理学の応力テンソルを一般化した、時空におけるエネルギーと運動量の密度と流束を記述するテンソル 物理量です。これは、物質、放射線、および非重力力場の属性です。このエネルギーと運動量の密度と流束は、一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式における重力場の源であり、ニュートン重力における質量密度がそのような場の源であるのと同じです。

応力-エネルギーテンソルでは、上付き変数（指数ではない。テンソル指数表記とアインシュタインの総和表記を参照）を使用します。SI単位系の直交座標を使用する場合、位置4 元ベクトルxの成分は[ x ⁰ , x ¹ , x ² , x ³ ]で表されます。従来の直交座標では、代わりに[ t , x , y , z ]と表記するのが通例です。ここで、tは座標時間、x、y、z は座標距離です。

応力エネルギーテンソルは、運動量ベクトルのα番目の成分がx ^β座標で一定の表面を横切るときの流束を表す 2 次テンソル T ^αβとして定義されます。相対性理論では、この運動量ベクトルは4 元運動量として扱われます。一般相対性理論では、応力エネルギーテンソルは対称であり、^[a] $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$$

アインシュタイン-カルタン理論のようないくつかの代替理論では、非ゼロのスピンテンソル（幾何学的には非ゼロのねじれテンソルに対応する）のために、応力-エネルギーテンソルは完全に対称ではない場合があります。

応力エネルギーテンソルは 2 次であるため、その成分は4 × 4行列形式で表示できます。 ここで、インデックスμとν は0、1、2、3 の値を取ります。 $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,}$$

以下では、kとℓの範囲は 1 から 3 です。

固体物理学と流体力学では、応力テンソルは、適切な参照フレームにおける応力エネルギーテンソルの空間成分として定義されます。言い換えると、工学における応力エネルギーテンソルは、運動量対流項によって相対論的応力エネルギーテンソルと 異なります。

この記事のほとんどは、応力エネルギーテンソルの 反変形式T ^μνを扱っています。しかし、共変形式、 または混合形式を扱う方が便利な場合がよくあります。 $${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$$$${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }.}$$

この記事では、メトリック署名に 空間的符号規則 (- + + +)を使用します。

応力エネルギーテンソルは、時空変換に関連する保存されたノイマン電流です。

非重力応力エネルギーの発散はゼロです。言い換えれば、非重力エネルギーと運動量は保存されます。 重力が無視できる場合、時空に直交座標系を 使用すると、これは偏微分で次のように表すことができます。 $${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }\ \equiv \ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}~.}$$$${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }\ \equiv \ \partial _{\nu }T^{\mu \nu }~.}$$

非共変定式化の積分形式は、 Nが任意のコンパクトな 4 次元時空領域、その境界である 3 次元超曲面、そして外向きの法線としてみなされる境界の要素である、です。 $${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$$${\textstyle \partial N}$${\textstyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

平坦な時空と直交座標系でこれを応力エネルギーテンソルの対称性と組み合わせると、角運動量も保存されることがわかります。 $${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }\,.}$$

重力が無視できない場合や任意の座標系を使用する場合でも、応力エネルギーの発散は消えます。しかし、この場合は、共変微分を組み込んだ座標フリーの発散定義が使用されます。 ここで、 はクリストッフェル記号であり、これは重力場です。^[要出典] $${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$$${\textstyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

その結果、 が任意のキリングベクトル場である場合、キリングベクトル場によって生成される対称性に関連する保存則は次のように表される。 ${\textstyle \xi ^{\mu }}$$${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T^{\nu }{}_{\mu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$$

これを積分すると $${\displaystyle 0=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }T^{\nu }{}_{\mu }{\sqrt {-g}}\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\,.}$$

特殊相対論では、応力エネルギーテンソルには、運動量密度とエネルギー流束密度に加えて、与えられたシステムのエネルギー密度と運動量密度に関する情報も含まれています。^[4]

ラグランジアン密度は場とその導関数の関数であるが、明示的に時空座標の関数ではないため、システムの一般化された座標の1つに関する全導関数を見ることで、標準的な応力エネルギーテンソルを構築できます。したがって、条件 ${\textstyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle \phi _{\alpha }}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0}$$

連鎖律を使うと、 $${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial x^{\nu }}}}$$

便利な速記法で書かれた、 $${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$$

次に、オイラー・ラグランジュ方程式を使用します。 $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}}$$

そして偏微分は可換であるという事実を利用して、 $${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$$

右辺は積の法則として認識できます。これを関数の積の微分として書くと、次のようになります。 $${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$$

さて、平らな空間では、 と書くことができます。これを方程式の反対側に移すと、次のようになります。 ${\textstyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]}$$${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0}$$

そして用語を再編成すると、 $${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0}$$

これは、括弧内のテンソルの発散が 0 であることを意味します。実際、これによって応力エネルギーテンソルを定義します。 $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$$

構造上、それは $${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu }{}_{\nu }=0}$$

このテンソルのこの発散しない性質は、4 つの連続方程式と同等であることに注意してください。つまり、場には連続方程式に従う量のセットが少なくとも 4 つあります。例として、がシステムのエネルギー密度であり、したがって応力エネルギー テンソルからハミルトン密度を取得できることが わかります。${\textstyle T^{0}{}_{0}}$

実際、これが事実であるので、 を観察すると、 ${\textstyle \partial _{\mu }T^{\mu }{}_{0}=0}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$$

したがって、 の項はシステムのエネルギー流束密度を表していると結論付けることができます。 ${\textstyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }}$

応力エネルギーテンソルのトレースは⁠ ⁠${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }}$と定義されるので、 $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$$

⁠ ⁠${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$以来、 $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$$

一般相対性理論では、対称的な応力エネルギーテンソルは時空の曲率の源として機能し、一般的な曲線座標変換である重力のゲージ変換に関連する電流密度です。（ねじれがある場合、テンソルは対称ではなくなります。これは、アインシュタイン-カルタン重力理論におけるゼロ以外のスピンテンソルの場合に対応します。）

一般相対性理論では、特殊相対性理論で使用された偏微分は共変微分に置き換えられます。これは、連続方程式が、テンソルによって表現される非重力エネルギーと運動量が絶対的に保存されること、つまり重力場が物質に仕事をすることができ、その逆もまた同様であることをもはや意味しないことを意味します。ニュートン重力の古典的な極限では、これは単純に解釈できます。つまり、運動エネルギーはテンソルに含まれない重力位置エネルギーと交換され、運動量は場を通して他の物体に伝達されます。一般相対性理論では、ランダウ-リフシッツ擬テンソルは、重力場のエネルギー密度と運動量密度を定義する独自の方法です。このような応力-エネルギー擬テンソルは、座標変換によって局所的に消滅させることができます。

曲がった時空では、一般に、空間的積分は空間的スライスに依存します。実際、一般的な曲がった時空では、グローバルなエネルギー運動量ベクトルを定義する方法はありません。

一般相対性理論では、応力エネルギーテンソルは、次のように記述されることが多いアインシュタイン場の方程式の文脈で研究されます。 ここで、 はアインシュタインテンソル、はリッチテンソル、はスカラー曲率、は計量テンソル、Λは宇宙定数（銀河規模以下では無視できる）、 はアインシュタイン重力定数です。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$${\textstyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }}$${\textstyle R_{\mu \nu }}$${\textstyle R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }}$${\textstyle g_{\mu \nu }\,}$${\textstyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$

特殊相対性理論では、静止質量mで軌道を持つ非相互作用粒子の応力エネルギーは、次の式で表されます。 ここで、 は速度ベクトル（が欠けているため、4 次速度と混同しないでください） 、 はディラックのデルタ関数、 は粒子の エネルギーです。${\textstyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}$$${\textstyle v^{\alpha }}$${\textstyle \gamma }$$${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$$ ${\textstyle \delta }$${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

古典物理学の言語で記述すると、応力エネルギーテンソルは（相対論的質量、運動量、運動量と速度の 二項積）となる。$${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)\,.}$$

熱力学的平衡にある完全流体の場合、応力エネルギーテンソルは特に単純な形をとります。 ここで、は質量エネルギー密度（キログラム/立方メートル）、は静水圧（パスカル）、は流体の4元速度、は計量テンソルの逆行列です。したがって、トレースは次のように表されます。 $${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$$${\textstyle \rho }$${\textstyle p}$${\textstyle u^{\alpha }}$${\textstyle g^{\alpha \beta }}$$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\,\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$$

4速度は $${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$$

流体と共動する慣性座標系（流体の固有座標系としてよく知られている）では、4速度は $${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$$

計量テンソルの逆行列は単純に 、応力エネルギーテンソルは対角行列である。 $${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$$

発生源のない電磁場のヒルベルト応力エネルギーテンソルは、 電磁場テンソル です。 $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$$${\textstyle F_{\mu \nu }}$

クライン・ゴードン方程式を満たす 複素スカラー場の応力エネルギーテンソルは 、メトリックが平坦（直交座標のミンコフスキー）の場合、その成分は次のようになります。 ${\textstyle \phi }$$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$$

非重力応力エネルギーには、 いくつかの非同等な定義がある^{[5] 。}

ヒルベルト応力エネルギーテンソルは、関数微分 として定義されます。 ここで、は作用の非重力部分、はラグランジアン密度の非重力部分であり、オイラー・ラグランジュ方程式が使用されています。これは対称かつゲージ不変です。詳細については、 アインシュタイン・ヒルベルト作用を参照してください。$${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$$${\textstyle S_{\mathrm {matter} }}$${\textstyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

ネーターの定理は、空間と時間の移動に関連する保存電流が存在することを意味します。詳細については、上記の特殊相対論における応力エネルギー テンソルのセクションを参照してください。これは、標準応力エネルギー テンソルと呼ばれます。一般に、これは対称ではなく、何らかのゲージ理論がある場合、空間依存のゲージ変換は空間移動と交換されない ため、ゲージ不変ではない可能性があります。

一般相対性理論では、変換は座標系を基準とするため、共変的に変換されることはありません。重力応力エネルギー擬似テンソルについては、以下のセクションを参照してください。

スピンやその他の固有角運動量が存在する場合、標準的なノイマン応力エネルギーテンソルは対称になりません。ベリンファンテ・ローゼンフェルド応力エネルギーテンソルは、対称でありながら保存されるように、標準的な応力エネルギーテンソルとスピン流から構築されます。一般相対論では、この修正されたテンソルはヒルベルト応力エネルギーテンソルと一致します。

等価原理により、重力応力エネルギーは、選択されたフレーム内の任意の点で常に局所的に消滅するため、重力応力エネルギーはゼロ以外のテンソルとして表現することはできず、代わりに擬似テンソルを使用する必要があります。

一般相対性理論では、重力応力・エネルギー・運動量擬似テンソルには多くの異なる定義が考えられます。これらには、アインシュタイン擬似テンソルとランダウ・リフシッツ擬似テンソルが含まれます。ランダウ・リフシッツ擬似テンソルは、適切な座標系を選択することで、時空内のどのイベントでもゼロに減らすことができます。

• Wyss, Walter (2005 年 7 月 14日)。「古典場の理論におけるエネルギー運動量テンソル」(PDF)。Universal Journal of Physics and Applications。Old and New Concepts of Physics [以前のジャーナル名]。II (3–4): 295–310。ISSN 2331-6543  。...古典場の理論、特にラグランジアンにおける発散項の役割について...

• 講演、ステファン・ワナー
• 相対性理論に関するカリフォルニア工科大学のチュートリアル — 一般相対性理論の応力エネルギーテンソルと計量の関係についての簡単な説明