古典的極限

古典極限または対応極限とは、物理理論がそのパラメータの特定の値について考察されたときに、古典力学を近似または「回復」する能力のことである。 ^{[ 1 ]}古典極限は、非古典的な振る舞いを予測する物理理論で使用される。

ニールス・ボーアは量子論に、対応原理と呼ばれる発見的仮説を導入した。これは実質的に、量子系の作用によって規格化されたプランク定数の値が非常に小さくなるにつれて、量子系の古典極限に何らかの連続性の議論が適用されるべきだと述べている。多くの場合、これは「準古典的」手法（WKB近似など）によってアプローチされる。^{[ 2 ]}

より厳密には、^{[ 3 ]}古典極限に含まれる数学的操作は群縮約であり、関連する作用が縮小プランク定数ħよりもはるかに大きい物理系を近似するため、「変形パラメータ」ħ / S は実質的にゼロとみなすことができます（ワイル量子化を参照）。したがって、通常、量子交換子（同等に、モヤル括弧）は群縮約においてポアソン括弧に縮約されます。^{[ 4 ]}

量子力学では、ヴェルナー・ハイゼンベルクの不確定性原理により、電子は決して静止することはできず、常にゼロでない運動エネルギーを持たなければなりません。これは古典力学では見られない結果です。例えば、電子に比べて非常に大きな物体、例えば野球ボールを考えてみましょう。不確定性原理によれば、野球ボールの運動エネルギーは実際にはゼロにはなり得ませんが、運動エネルギーの不確定性は非常に小さいため、野球ボールは事実上静止しているように見え、したがって古典力学に従っているように見えます。一般に、量子力学において大きなエネルギーと大きな物体（電子の大きさやエネルギー準位に比べて）を考慮すると、結果は古典力学に従っているように見えます。関係する典型的な占有数は膨大です。ω = 2 Hz、m = 10 g、最大振幅x ₀ = 10 cm の巨視的調和振動子では、S ≈ E / ω ≈ mωx 2 0 ^/ ₂ ≈ 10 ⁻⁴ kg·m ² /s = ħnとなり、n ≃ 10 ³⁰となります。詳しくはコヒーレント状態を参照してください。ただし、古典的な極限がカオス系にどのように適用されるかはあまり明確ではなく、この分野は量子カオスとして知られています。                  

量子力学と古典力学は通常、全く異なる形式論で扱われます。量子論はヒルベルト空間を用い、古典力学は位相空間表現を用います。この2つを共通の数学的枠組みに統合する方法はいくつかあります。統計的な性質を持つ量子力学の位相空間定式化では、量子力学と古典統計力学の間に論理的なつながりが作られ、量子化によるリウヴィルの定理の破れを含め、両者の自然な比較が可能になります。^{[ 5 ] [ 6 ]}

ポール・ディラック^{[ 7 ]}は、重要な論文（1933年）の中で、古典力学が量子力学の創発現象であることを説明した。すなわち、非極値巨視的作用S » ħを持つ経路間の破壊的干渉によって、彼が導入した経路積分における振幅寄与が消滅し、極値作用S_クラス、つまり古典作用経路が支配的な寄与として残るというものであり、この観察はリチャード・ファインマンが1942年の博士論文でさらに詳しく論じた^{[ 8 ]} （量子デコヒーレンスも参照）。  

古典力学と量子力学を比較する簡単な方法の一つは、期待位置と期待運動量の時間発展を考察し、それを古典力学における通常の位置と運動量の時間発展と比較することです。量子力学の期待値はエーレンフェストの定理を満たします。ポテンシャル中を運動する一次元量子粒子の場合、${\displaystyle V}$エーレンフェストの定理によれば^{[ 9 ]}

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle$ ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}

これらの式のうち、最初の式は古典力学と一致するが、2番目の式は一致しない。${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ニュートンの第二法則を満たすためには、第二式の右辺は次のようになるはずだった。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$。

しかしほとんどの場合、

${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )}$。

例えば、潜在能力が${\displaystyle V}$立方体の場合、${\displaystyle V'}$は二次関数であり、その場合、私たちは次の区別について話している。${\displaystyle \langle X^{2}\rangle }$そして${\displaystyle \langle X\rangle ^{2}}$異なるのは$\displaystyle (\Delta X)^{2}}$。

例外は、古典的な運動方程式が線形である場合、つまり、${\displaystyle V}$は二次式で${\displaystyle V'}$線形です。その特殊なケースでは、${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$そして${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$同意します。特に、自由粒子や量子調和振動子の場合、期待される位置と期待される運動量は、ニュートンの運動方程式の解に正確に一致します。

一般的なシステムの場合、期待できる最善のことは、期待される位置と運動量が古典的な軌道にほぼ従うことです。波動関数が一点に高度に集中している場合${\displaystyle x_{0}}$、 それから${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$そして${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$どちらもほぼ同じなので、${\displaystyle V'(x_{0})}$その場合、期待される位置と期待される運動量は、少なくとも波動関数が位置的に高度に局在している限り、古典的な軌道に非常に近いままとなる。 ^{[ 10 ]}

さて、初期状態が位置的に非常に局在している場合、運動量的には非常に広がり、したがって波動関数は急速に広がり、古典的な軌道との関連性が失われると予想されます。しかし、プランク定数が小さい場合、位置と運動量の両方において十分に局在した状態を持つことが可能です。運動量の不確定性が小さいため、粒子は長時間にわたって位置的に十分に局在した状態を維持し、その結果、期待される位置と運動量は長時間にわたって古典的な軌道に密接に追従し続けます。

物理学におけるその他のよく知られた変形には以下のようなものがある。

• 古典的なニュートン力学を相対論的力学（特殊相対性理論）に変形させたもので、変形パラメータはv / cです。古典的な極限では速度が小さいため、v / c  →  0となり、システムはニュートン力学に従うように見えます。
• 同様に、変形パラメータがシュワルツシルト半径/特性次元であるニュートン重力から一般相対性理論への変形の場合、物体の質量にプランク長の二乗を掛けたものがその物体の大きさや問題の大きさに比べてはるかに小さい場合、物体は再び古典力学（平坦な空間）に従うように見えることがわかります。ニュートン限界を参照してください。
• 波動光学は、変形パラメータλ / aによる光線光学の変形とみなすこともできる。
• 同様に、熱力学は変形パラメータ1/ Nを持つ統計力学に変形します。

• 古典的な確率密度
• エーレンフェストの定理
• マデルング方程式
• フレネル積分
• 量子力学の数学的定式化
• 量子カオス
• 量子デコヒーレンス
• 量子限界
• 半古典物理学
• ウィグナー・ワイル変換
• WKB近似

• Hall, Brian C. (2013), 『数学者のための量子論』、大学院数学テキスト、第 267巻、Springer、Bibcode : 2013qtm..book.....H、ISBN 978-1-4614-7115-8