平均

日常言語では、平均とは、データのセットを最もよく表す単一の数値または値のことです。数値リストを最も一般的に表す平均の種類は算術平均 、つまり数値の合計をリスト内の数値の数で割ったものです。たとえば、2、3、4、7、9 の平均 (合計 25) は 5 です。状況によっては、平均としてとられる最も代表的な統計は、中間範囲、中央値、最頻値、幾何平均などの別の中心傾向の尺度である場合があります。たとえば、平均的な個人所得は、数人の億万長者の個人所得を含めると平均値が高くなるため、中央値 (その数値を下回ると個人所得の 50% になり、それを上回ると個人所得の 50% になる数値) として示されることがよくあります。このため、中心傾向の尺度について議論するときは「平均」という言葉の使用を避け、どのタイプの平均尺度が使用されているかを指定することをお勧めします。

リスト内のすべての数値が同じ数値である場合、それらの平均もこの数値と等しくなります。この特性は、さまざまな平均タイプすべてに共通しています。

もう 1 つの普遍的な特性は単調性です。2 つの数値リストAとB の長さが同じで、リストAの各エントリがリストBの対応するエントリと少なくとも同じ大きさである場合、リストAの平均はリストBの平均以上になります。また、すべての平均は線形同次性を満たします。つまり、リストのすべての数値に同じ正の数を掛けると、その平均は同じ係数で変化します。

いくつかの種類の平均では、平均が決定される前にリスト内の項目に異なる重みが割り当てられます。これには、加重算術平均、加重幾何平均、加重中央値が含まれます。また、いくつかの種類の移動平均では、項目の重みはリスト内の位置によって決まります。ただし、ほとんどの種類の平均は順列不変性を満たしています。つまり、平均値の決定ではすべての項目が同等にカウントされ、リスト内の位置は無関係です。つまり、(1, 2, 3, 4, 6) の平均は、(3, 2, 6, 4, 1) の平均と同じです。

算術平均、幾何平均、調和平均は総称してピタゴラス平均と呼ばれます。

記述統計では、平均に加えて、モード、中央値、中間範囲が中心傾向の推定値としてよく使用されます。これらはすべて、何らかの尺度で変動を最小化するものとして考えることができます。中心傾向 § 変分問題の解を参照してください。

リスト内で最も頻繁に出現する数字はモードと呼ばれます。たとえば、リスト (1、2、2、3、3、3、4) のモードは 3 です。2 つ以上の数字が同じ頻度で出現し、他の数字よりも頻繁に出現する場合があります。この場合、モードの定義は統一されていません。著者の中には、それらはすべてモードであると言う人もいれば、モードは存在しないと言う人もいます。

中央値とは、グループを順位付けしたときに真ん中にくる数字です。（数字が偶数個ある場合は、真ん中の 2 つの数字の平均が取られます。）

したがって、中央値を求めるには、リストをその要素の大きさに従って順序付けし、最大値と最小値のペアを繰り返し削除して、1 つまたは 2 つの値が残るまで続けます。1 つの値が残っている場合は、それが中央値です。2 つの値が残っている場合は、中央値はこれら 2 つの値の算術平均です。この方法では、リスト 1、7、3、13 を 1、3、7、13 と順序付けます。次に、1 と 13 を削除して、リスト 3、7 を取得します。この残りのリストには 2 つの要素があるため、中央値はそれらの算術平均 (3 + 7)/2 = 5 になります。

中間範囲は、セットの最高値と最低値の算術平均です。

数学記号の表では、以下で使用される記号について説明します。

他にもより洗練された平均として、三重平均、三重中央値、正規化平均とその一般化がある。^[1]

一般化されたf平均を使用して独自の平均メトリックを作成できます。

${\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}$

ここで、f は任意の可逆関数です。調和平均はf ( x ) = 1/ xを使用した例であり、幾何平均はf ( x ) = log  xを使用した例です。

しかし、平均を生成_するこの方法は、すべての平均を捉えられるほど一般的ではありません。平均を定義するためのより一般的な方法_[ 2 ^{] [検証失敗]}では、 連続的で、各引数で厳密に増加し、対称（引数の順列に対して不変）な引数リストの任意の関数g ( x 1 、 x 2 、 ...、  x _n ) を取ります。平均yは、リストの各メンバーを置き換えたときに同じ関数値になる値です。つまり、g ( y、y、 ...、y ) = g ( x ₁、x ₂、 ...、x _n )です。この最も一般的な定義でも、同一要素のリストの平均はその要素自体であるという、すべての平均の重要な特性を捉えています。関数g ( x ₁、x ₂、 ...、x _n ) = x ₁ + x ₂ + ··· + x _nは算術平均を提供します。関数g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = x ₁ x ₂ ··· x _n（リスト要素は正の数）は幾何平均を提供します。関数g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = ( x ₁ ⁻¹ + x ₂ ⁻¹ + ··· + x _n ⁻¹ ) ⁻¹ )（リスト要素は正の数）は調和平均を提供します。^[2]

金融で使用される平均の一種に、平均パーセンテージ リターンがあります。これは幾何平均の一例です。リターンが年間の場合、これは複合年間成長率 (CAGR) と呼ばれます。たとえば、2 年間の期間を検討しており、1 年目の投資収益が -10%、2 年目の収益が +60% の場合、平均パーセンテージ リターンまたは CAGR R は次の方程式を解くことで得られます: (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + R ) × (1 + R ) 。この方程式が成り立つRの値は0.2、つまり 20% です。つまり、2 年間の総収益は、毎年 20% の成長があった場合と同じになります。年の順序は関係ありません。平均パーセンテージ リターン +60% と -10% は、-10% と +60% の場合と同じ結果になります。

この方法は、期間が等しくない例にも一般化できます。たとえば、収益が -23% の半年の期間と、収益が +13% の 2 年半の期間を考えてみましょう。複合期間の平均パーセンテージ収益は、単年収益Rで、次の式の解です: (1 - 0.23) ^0.5 × (1 + 0.13) ^2.5 = (1 + R ) ^0.5+2.5、平均収益Rは 0.0600 または 6.00% になります。

日々の株価や年間気温などの時系列が与えられた場合、より滑らかな系列を作りたくなることがよくあります。 ^[3]これは、根本的な傾向や周期的な動作を示すのに役立ちます。これを行う簡単な方法は移動平均です。数値n を選択し、最初のn個の値の算術平均を取って新しい系列を作成し、次に最も古い値を削除してリストの反対側に新しい値を導入することで 1 つずつ前進します。これが移動平均の最も単純な形式です。より複雑な形式では、加重平均を使用します。加重を使用すると、さまざまな周期的な動作を強化または抑制できます。フィルタリングに関する文献では、どの加重を使用するかについて非常に広範な分析が行われています。デジタル信号処理では、加重の合計が 1.0 でない場合でも「移動平均」という用語が使用されます (つまり、出力系列は平均のスケール バージョンです)。^[4]この理由は、アナリストが通常、傾向または周期的な動作のみに関心があるためです。

算術平均が推定に 2 から n に拡張された最初の記録は16 世紀です。16 世紀後半以降、算術平均は徐々にさまざまな分野で測定誤差を減らすために使われる一般的な方法になりました。^{[5] [6]}当時、天文学者は、惑星の位置や月の直径など、ノイズの多い測定から実際の値を知りたいと考えていました。科学者は、複数の測定値の平均を使用して、すべての測定値の合計と比較すると、誤差の合計が比較的小さい数値になると想定しました。観測誤差を減らすために平均を取る方法は、実際には主に天文学で開発されました。^{[5] [7]}算術平均の前身は、たとえば 9 世紀から 11 世紀のアラビアの天文学で使用された中間範囲(2 つの極端な値の平均) ですが、冶金学や航海術でも使用されました。^[6]

しかし、算術平均の使用については、古くから曖昧な記述がいくつかある（それほど明確ではないが、現代の平均の定義と関係があると思われる）。4世紀の文献には、次のように書かれている（角括弧内のテキストは、意味を明確にする可能性のある欠落テキストである可能性がある）。^[8]

まず第一に、モナドから 9 までの数の列を 1、2、3、4、5、6、7、8、9 と一列に並べなければなりません。次に、それらすべてを合計しなければなりません。行には 9 つの項が含まれているため、合計の 9 番目の部分を探して、行の数の中にすでに自然に存在するかどうかを確認する必要があります。すると、[合計の] 9 分の 1 であるという特性は、[算術] 平均自体にのみ属することがわかります...

さらに古い記録も存在する。紀元前700年ごろ、商人と船主は、貨物と船の損害（海による損害の場合の彼らの「負担」）を平等に分担することに合意していたという記録がある。^[7]これは平均値を使って計算されたのかもしれないが、計算の直接的な記録は残っていないようだ。

この語源はアラビア語で عوار ʿawār (欠陥、または部分的に傷んだ商品を含む欠陥や損傷のあるもの)、および عواري ʿawārī (または عوارة ʿawāra ) = 「 ʿawār の、またはʿawārに関連する、部分的な損傷の状態」として見つかります。^[a]西洋言語において、この語の歴史は地中海の中世海上貿易に始まります。12世紀と13世紀のジェノバのラテン語avaria は「商人の航海に関連して生じる損害、損失、異常な費用」を意味し、1210年のマルセイユ、1258年のバルセロナ、13世紀後半のフィレンツェでもavariaの同じ意味が見られます。 ^[b] 15世紀のフランス語のavarie も同じ意味を持ち、同じ意味を持つ英語の「averay」（1491年）と英語の「average」（1502年）を生み出した。今日、イタリア語のavaria、カタロニア語のavaria、フランス語のavarie は、依然として「損害」という主な意味を持っている。英語におけるこの意味の大きな変化は、中世後期および近世初期の西洋商船法契約における慣行から始まった。この契約では、船がひどい嵐に遭遇し、船を軽くしてより安全にするために一部の品物を船外に投げ捨てなければならなかった場合、船に品物を積んでいたすべての商人が比例して損害を被る（投げ捨てられた品物の所有者ではない）こと、そしてより一般的には、 avaria の損害は比例して分配されることになっていた。そこから、この言葉は英国の保険業者、債権者、および商人によって採用され、損失が資産ポートフォリオ全体に分散され、平均的な割合を持っていることを示すために使用された。今日の意味はそこから発展し、18世紀半ばに英語で始まりました。^{[b] [9]}

海上損害は、損害を受けた財産の所有者のみが負担する個別海上損害、または所有者が海上事業のすべての当事者から比例した負担を請求できる共同海上損害のいずれかです。共同海上損害の調整に使用される計算の種類により、「平均」が「算術平均」を意味するために使用されるようになりました。

2つ目の英語の用法は、1674年にすでに記録されており、「averish」と綴られることもあるが、これは農作物の残渣や二次成長物を指し、荷役動物（「avers」）の消費に適していると考えられていた。^[10]

この言葉は、それより以前（少なくとも 11 世紀）に、無関係に使われていたことがある。これは、保安官に対する借地人の日雇い労働義務を表す古い法律用語のようで、おそらくイギリスのドゥームズデイブック（1085 年）に出てくる「avera」の英語化である。

しかし、オックスフォード英語辞典によれば、ドイツ語のhafen havenやアラビア語のʿawâr loss、damageからの派生語は「完全に処分され」ており、この単語はロマンス語に由来しているという。^[11]

前述のように「平均」という用語が口語的な性質を持つことから、この用語はデータの真の意味を曖昧にし、使用される平均方法（最も一般的なのは算術平均、中央値、または最頻値）に基づいて質問に対するさまざまな回答を示唆するために使用される可能性があります。ピッツバーグ大学の教員であるダニエル・リベルツは、彼の記事「嘘を装う：統計は芸術的証拠」で、この理由から統計情報は修辞的議論からしばしば除外されているとコメントしています。^[12]しかし、平均やその他の統計値は説得力があるため、完全に無視されるべきではなく、慎重に使用および解釈する必要があります。リベルツは、平均などの統計情報だけでなく、データとその使用法を説明するために使用される言語についても批判的に検討するよう求めています。「統計が解釈に依存する場合、レトリバーは解釈を主張するのではなく、聴衆に解釈を促す必要があります。」^[12]多くの場合、データと特定の計算は、この聴衆に基づいた解釈を促進するために提供されます。

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