グルーオン場強度テンソル

テンソルはG、(またはF、F、または何らかの変形) と表記され、その成分はクォーク共変微分D _μの交換子に比例するように定義されます。^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{ig_{\text{s}}}}[D_{\alpha },D_{\beta }],}$$ どこ $${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{\text{s}}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a},}$$ その中で

iは虚数単位である。

g _sは強い力の結合定数である

t _a = λ _a /2は、 λ _{a を}2 で割ったゲルマン行列 です

aはSU(3)の随伴表現における色インデックスであり、群の 8 つの生成元、すなわちゲルマン行列に対して 1、2、...、8 の値をとります。

μは時空インデックスであり、0は時間的成分、1、2、3は空間的成分を表す。

$\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$は、スピン-1のゲージ場であるグルーオン場、または微分幾何学の用語で言えばSU(3)主束内の接続を表します。

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }}$は、(座標系に依存する) 4 つの成分であり、固定ゲージでは3 × 3トレースレスエルミート行列値関数である。$\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$これらは32個の実数値関数であり、8つの4ベクトル場それぞれに対応する4つの成分である。

著者によって使用する符号が異なることに注意してください。

整流子を拡張すると $${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{\text{s}}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }].}$$

代入$\displaystyle t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }}$そして交換関係を用いる${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if_{ab}{}^{c}t_{c}}$ゲルマン行列（添え字のラベル付けを変更したもの）において、f ^abcは SU(3) の構造定数であり、各グルーオン場強度成分は、ゲルマン行列の 線形結合として次のように表すことができる。$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{\text{s}}[t_{b},t_{c}]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}{\big (}\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}f_{bc}{}^{a}g_{\text{s}}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}{\big )}\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a},\\\end{aligned}}}$$ そのため^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{\text{s}}f^{a}{}_{bc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c},}$$ ここでも、 a、b、c = 1、2、...、8は色のインデックスです。グルーオン場と同様に、特定の座標系と固定ゲージでは、G _αβは3 × 3トレースレスエルミート行列値関数であり、 G ^a _αβは実数値関数で、8 つの 4 次元 2 階テンソル場の成分です。

グルーオンカラー場は微分形式の言語を用いて記述することができ、具体的には随伴束値曲率2形式として記述できる（随伴束のファイバーはsu（3）リー代数であることに注意）。 $${\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\mp g_{\text{s}}\,{\boldsymbol {\mathcal {A}}}\wedge {\boldsymbol {\mathcal {A}}},}$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$はグルーオン場であり、Gに対応するベクトルポテンシャル1 形式です。∧はこの代数の(反対称)ウェッジ積であり、構造定数f ^abcを生成します。場の形式のカルタン微分 (つまり、本質的には場の発散) は、「グルーオン項」、つまりそれらがない場合にはゼロになります。${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$これはSU(3)の非可換性を表しています。

これらの考え方をより数学的に厳密に導出したもの（ただし、設定が若干変更されている）は、計量接続に関する記事で見つけることができます。

これは、スピン1の光子を記述する電磁4元ポテンシャルAによって与えられる、量子電磁力学における電磁場テンソル（Fとも表記される）とほぼ一致する。 $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$$ あるいは微分形式の言語で言えば、 $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}$$

量子電磁力学と量子色力学の主な違いは、グルーオン場の強度にグルーオン間の自己相互作用と漸近的自由度につながる余分な項があることです。これは強い力の複雑さであり、電磁力の線形理論とは対照的に、本質的に非線形です。QCDは非可換ゲージ理論です。群論の用語で非可換とは、群演算が可換ではないことを意味し、対応するリー代数が非自明になります。