スタッガードフェルミオン

格子場の理論において、スタガードフェルミオン（コグート・サスキンドフェルミオンとも呼ばれる）は、フェルミオンの離散化であり、フェルミオンダブラーの数を16から4に減らす。シミュレーションに関しては最も高速な格子フェルミオンの1つであり、残留カイラル対称性などの優れた機能も備えているため、格子QCD計算で非常に人気がある。スタガードフェルミオンは、 1975年にジョン・コグートとレナード・サスキンドによって初めて定式化され^{[1] 、後に}ディラック・ケーラーフェルミオンの離散化バージョンと同等であることがわかった。^[2]

格子間隔と、各格子点におけるディラック場（添え字は ）を持つユークリッド時空における、単純に離散化されたディラック作用は、次の形をとる。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \psi_{n}}$${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n\in \Lambda }{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

^{スタッガードフェルミオンは、 [3]}で定義される新しい基底場へのスタッガード変換を実行することによって構築されます。${\displaystyle \psi _{n}'}$

${\displaystyle \psi _{n}=\gamma _{1}^{n_{1}}\gamma _{2}^{n_{2}}\gamma _{3}^{n_{3}}\ガンマ _{4}^{n_{4}}\psi '_{n}.}$

ディラック行列は恒等行列に正方するため、この位置依存変換はフェルミオンスピン成分を2格子間隔ごとに繰り返す方法で混合します。その効果はスピノルインデックスの作用を対角化することであり、つまり作用は各ディラックスピノル成分ごとに1つずつ、4つの異なる部分に分割されることになります。これらの成分の1つを （スピン構造を持たないグラスマン変数）で表すと、他の3つの成分は削除でき、単一成分のスタッガード作用が得られます 。${\displaystyle \chi_{n}}$

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\chi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\eta _{\mu }(n){\frac {\chi _{n+{\hat {\mu }}}-\chi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\chi _{n}{\bigg )},}$

ここで、 は方向の単位ベクトルであり、ずらした符号関数は で与えられます。ずらした変換はを満たす変換のより大きなクラスの一部です。プラケットに対する必要な無矛盾性条件と合わせて、これらすべての変換はずらした変換と同等です。^[4]フェルミオンの倍加により、元の素朴な作用は 16 個のフェルミオンを記述しましたが、4 つのコピーのうち 3 つを破棄したため、この新しい作用は 4 個だけを記述します。 ${\displaystyle {\hat {\mu}}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \eta_{i}(n)=(-1)^{\sum_{j<i}n_{j}}}$${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow A_{n}\psi _{n}}$${\displaystyle A_{n}^{\dagger }\gamma _{\mu }A_{n+{\hat {\mu }}}=\Delta _{\mu }(n)\in U(1)^{ \時々 4}}$

単一成分のスタッガードフェルミオン作用が 4 つのディラックフェルミオンを記述することを明示的に示すには、格子を超立方体にブロックし、16 個の超立方体サイトでのグラスマン場を 4 つのフェルミオンの 16自由度として再解釈する必要があります。素粒子物理学におけるフレーバーの使用法に倣って、これらの 4 つのフェルミオンはフェルミオンの異なるテイストと呼ばれます。ブロックされた格子サイトは でインデックス付けされ、これらの各内部の超立方体サイトは でインデックス付けされ、そのベクトル成分は 0 または 1 です。この表記法では、元の格子ベクトルは と書きます。行列は、スタッガードフェルミオンのスピンテイスト基底を定義するために使用されます^[5]${\displaystyle h_{\mu}}$${\displaystyle s_{\mu}}$${\displaystyle n_{\mu }=2h_{\mu }+s_{\mu }}$${\displaystyle \Gamma ^{(s)}=\gamma _{1}^{s_{1}}\gamma _{2}^{s_{2}}\gamma _{3}^{s_{3} }\ガンマ _{4}^{s_{4}}}$

${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}\Gamma _{\alpha t}^{(s)}\chi (2h+s),\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}{\bar {\chi }}(2h+s)(\Gamma ^{(s)\dagger })_{t\alpha }.}$

味覚指数は4つの味覚にまたがり、スピン指数は4つのスピン成分にまたがる。この基底の変更により、間隔を持つ格子上の1成分作用が、次式で与えられる 有効格子間隔を持つスピン味覚作用に変わる。${\displaystyle t}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b=2a}$

${\displaystyle S=b^{4}\sum _{h}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg \{}\sum _{\mu }[(\gamma _{\mu }\otimes 1)\partial _{\mu }+{\tfrac {b}{2}}(\gamma _{5}\otimes \gamma _{5}\gamma _{\mu }^{T})\square _{\mu }]+m(1\otimes 1){\bigg \}}\psi _{h}.}$

ここで、 と は、それぞれ対称的に離散化された導関数とラプラシアン の省略形です。一方、テンソル表記は、スピン行列とテイスト行列を として分離します。運動項と質量項はテイスト指数で対角であるため、作用は4つの縮退したディラックフェルミオンを表します。これらは、テイスト混合相互作用として知られる第2項を介して相互作用します。第2項は、連続体極限で消える無関係な5次元演算子です。この作用は、4つのウィルソンフェルミオンを使用して構築された作用と非常に似ていますが、唯一の違いは第2項のテンソル構造にあり、ウィルソンフェルミオンの場合はスピンとテイスト対角 です。 ${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle \square _{\mu }}$${\displaystyle [(A\otimes B)\psi _{n}]^{t}(h)_{\alpha }=A_{\alpha }{}^{\beta }B^{t}{}_{t'}\psi ^{t'}(h)_{\beta }}$${\displaystyle (1\otimes 1)}$

スタガードフェルミオンの重要な性質は、ウィルソンフェルミオンなどの他の格子フェルミオンには見られない、質量ゼロの極限で残存カイラル対称性を持つという点である。残存対称性はスピンテイスト基底で次のように記述される。

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}.}$

この残存対称性の存在により、スタッガード フェルミオンは、自発的な対称性の破れや異常を記述できるため、特定のアプリケーションで特に役立ちます。また、この対称性により、質量のないフェルミオンが、再正規化によって質量を獲得することを防ぎます。

スタッガードフェルミオンは、単純なディラック格子作用の場合と同じように、リンクフィールドを作用に挿入してゲージ不変にすることで、1成分作用でゲージ化されます。このアプローチは、スピンテイスト作用に直接実装することはできません。代わりに、相互作用する1成分作用は、ゲージ不変性を確保するためにハイパーキューブ内の異なる格子点間にウィルソン線が挿入される修正されたスピンテイスト基底とともに使用する必要があります。[ 6 ^]結果として生じる作用は閉じた形式で表現することはできませんが、格子間隔の累乗で展開することができ、4つのフェルミオンに対する通常の相互作用するディラック作用と、連続体極限で消える無関係なフェルミオン双線形演算子の無限級数につながります。 ${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }}$

スタッガードフェルミオンは、単一成分作用をフーリエ空間に変換し、ブリルアンゾーンを16個のブロックに分割することで、運動量空間で定式化することもできます。これらを原点に移動すると、運動量がブリルアンゾーン範囲の半分を超える単一成分フェルミオンの16個のコピーが生成されます。これらを行列にグループ化し、ユニタリ変換と運動量再スケーリングを行うと、運動量が再びブリルアン範囲全体にわたることが保証され、運動量空間スタッガードフェルミオン作用が得られます^[7]${\displaystyle -\pi /2\leq k_{\mu }\leq \pi /2}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle S=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(p){\bigg [}2i\sum _{\mu }\sin {\tfrac {p_{\mu }}{2}}(\gamma _{\mu }\otimes 1)+2m(1\otimes 1){\bigg ]}\psi (p).}$

これは逆フーリエ変換によって位置空間に戻すことができます。スピン-テイスト作用とは対照的に、この作用はテイスト成分を混ぜ合わせず、4 つのフェルミオンを完全に分離する作用を与えるように見えます。したがって、完全なカイラル対称群を持ちます。ただし、これは局所性を犠牲にしてのみ達成され、位置空間ディラック演算子は、ハイパーキューブに制限される格子点ではなく、任意に離れた格子点を接続します。この結論は、ブリルアン ゾーンの端で不連続なプロパゲーターにも見られます。 ${\displaystyle U(4)\otimes U(4)}$

運動量空間と位置空間の定式化は、テイストの定義が異なるため、運動量空間の定義が位置空間の局所定義に対応しないという点で異なります。これら 2 つの定義は、連続体の極限でのみ同等になります。局所性は、理論がフェルミオンの倍増を経験するかどうかを決定するニールセン-二宮定理の仮定の 1 つであったため、単一の運動量空間フェルミオンをシミュレートする可能性にもかかわらず、カイラル対称性は維持されます。局所性が失われると、この定式化をシミュレーションに使用することは困難になります。

スタッガードフェルミオンのシミュレーションにおける主な問題は、味の混合項により、異なる味が混ざり合うことです。味の混合がなければ、格子シミュレーションは、異なる味からのさまざまな寄与を簡単に解きほぐし、単一のフェルミオンが関与するプロセスの結果を得ることができます。代わりに、味の混合により、説明が難しい 離散化エラーが発生します。

当初、これらの離散化誤差は のオーダーで、他の格子フェルミオンと比較して異常に大きく、スタッガードフェルミオンはシミュレーションには不向きでした。これらの誤差を減らす主な方法は、Symanzik改善を実行することです。これにより、無関係な演算子が係数を微調整してアクションに追加され、離散化誤差がキャンセルされます。最初のそのようなアクションはASQTADアクションであり、1ループのテイスト交換相互作用を解析した後に改良され、リンクフィールドスミアリングを使用して誤差がさらに除去されました。これにより、大幅に改良されたスタッガードクォーク（HISQ）アクションが生まれ、現代のスタッガードフェルミオンシミュレーションの基礎を形成しています。^[8]シミュレーションは単一成分アクションを使用して行われるため、スタッガードフェルミオンのシミュレーションは非常に高速です。これは、4つの成分スピノルではなく、単一成分のグラスマン変数のみをシミュレートする必要があるためです。スタッガードフェルミオンに使用される主なコードとゲージアンサンブルは、MILCコラボレーションから提供されています。^[9]${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$

他の格子フェルミオンに比べてスタガードフェルミオンが優れている点は、残存カイラル対称性により、例外的な構成からシミュレーションが保護されることです。例外的な構成とは、ディラック演算子の固有値が小さくなり、数値反転が困難になるゲージ場構成です。スタガードフェルミオンは、ディラック演算子 が反エルミート であるため、この例外から保護され、その固有値は実数 に対して複素共役ペアになります。これにより、ディラック行列式は、非ゼロ質量に対して実数かつ正であることが保証されます。負または虚数の行列式は、マルコフ連鎖モンテカルロシミュレーション中に問題になります。これは、行列式が確率の重みに存在するためです。 ${\displaystyle m\pm i\lambda }$${\displaystyle \lambda }$

連続体極限では、スタッガードフェルミオンディラック演算子は4重連続体ディラック演算子に縮小されるため、その固有値は4重に縮退しており、したがって となる。この縮退は、非ゼロ格子間隔での味の混合によって解消されるが、シミュレーションでは固有値が依然として4つのグループに大まかにまとまっていることが示される。これが、分割関数のスタッガードディラック演算子の行列式をその4乗根に置き換えることで単一のフェルミオンをシミュレートする4乗根トリックの動機となる。${\displaystyle D=D_{1}\otimes 1}$${\displaystyle [\det D]^{1/4}=\det D_{1}}$${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}U\det[D_{\text{stag}}]e^{-S_{\text{gauge}}}\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \int {\mathcal {D}}U(\det[D_{\text{stag}}])^{1/4}e^{-S_{\text{gauge}}}.}$

結果として得られるフェルミオンはルート付きスタッガードフェルミオンと呼ばれ、MILCコラボレーションを含むほとんどのスタッガードフェルミオンシミュレーションで使用されています。ルート付きスタッガードフェルミオンを使用する際の理論的な問題は、正しい連続体極限を与えるかどうか、つまりルート化によって理論の普遍性クラスが変化するかどうかが不明であることです。 ^[10]変化する場合は、ルート付きスタッガードフェルミオンが連続体場の理論をうまく記述できると考える理由はありません。普遍性クラスは、一般に理論の次元と理論が満たす対称性によって決まります。ルート付きスタッガードフェルミオンの問題は、普遍性分類が適用されなくなる非局所的作用によってのみ記述できることです。非局所性はユニタリーの違反を意味するため、根付きスタッガードフェルミオンは非ゼロの格子間隔でも非物理的であるが、連続体で非局所性が消える場合は問題にならない。合理的な仮定の下では、4番目のルートトリックは、摂動論のすべてのオーダーで、連続体で正しい数の軽いクォークを持つ局所的なユニタリー理論を再現する、繰り込み可能な理論を定義することがわかっている。これが非摂動論的にも当てはまるかどうかは未解決の問題であるが、理論的議論^[11]と他の格子フェルミオンとの数値比較は、根付きスタッガードフェルミオンが正しい普遍性クラスに属していることを示している。^[12]

• 格子モデル
• 統計場理論