ツィッターベヴェーグング

時間依存ディラック方程式は次のように記述される^{[ 3 ]}

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$、

どこ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$はスピン1/2のフェルミオン粒子の波動関数（ディラック・スピノル）であり、Hは自由粒子のディラック・ハミルトニアンである。

${\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c}$、

どこ${\textstyle m}$は粒子の質量であり、${\textstyle c}$光速とは、${\textstyle p_{j}}$は運動量演算子であり、${\displaystyle \beta }$そして$\displaystyle \alpha _{j}}$これらはガンマ行列に関連する行列です$\gamma_{\mu}}$、 として${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$そして${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$。

ハイゼンベルク描像では、任意の観測量Qの時間依存性は次の式に従う。

${\displaystyle -i\hbar {\frac {dQ}{dt}}=\left[H,Q\right].}$

特に、位置演算子の時間依存性は次のように与えられる。

$\displaystyle \frac dx_k(t)/dt=\frac i/\hbar \left[H,x_k\right]=c\alpha _k$。

ここで、x _k ( t )は時刻tにおける位置演算子である。

上記の式は、演算子が$\displaystyle \alpha _{k}}$これは「速度演算子」のk番目の成分として解釈できる。

これは次のことを意味することに注意してください。

$\displaystyle \left\langle \left({\frac {dx_{k}(t)}{dt}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$、

ここで、式の両辺を二乗し、次の性質を利用しました。${\displaystyle \alpha _{k}^{2}=I_{4}}$期待値は、空間のあらゆる方向における「二乗平均速度」が光速であるかのように扱われます。

α _kに時間依存性を加えるには、ハイゼンベルク描像を実装する。

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}}$。

速度演算子の時間依存性は次のように表される。

${\displaystyle \hbar {\frac {d\alpha _{k}(t)}{dt}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(cp_{k}-\alpha _{k}(t)H\right)}$、

どこ

${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].}$

さて、p _kとH はどちらも時間に依存しないため、上記の式を 2 回積分することで、位置演算子の明示的な時間依存性を簡単に求めることができます。^{[ 3 ]}

初め：

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}$、

そして最後に^{[ 3 ]}

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)}$。

結果として得られる式は、初期位置、時間に比例する運動、および縮小コンプトン波長に等しい振幅を持つ振動項から構成される。この振動項は、いわゆるツィッターベヴェーグングと呼ばれる。

ツィッターベヴェーグングを観測するもう一つの方法は、ガウス波束の進化を研究することです。非相対論的な場合、シュレーディンガー方程式を用いると、ガウス波束は均一に分散し、幅は増加し、高さは減少します。ディラック方程式を用いると、波束は分散しますが、ツィッターベヴェーグングのために伝播する際に干渉パターン（コンプトン長程度の特性を持つ）を示します。^{[ 7 ]}

ジッターベヴェーグングの物理的意味に関する別の視点は、ロジャー・ペンローズ^{[ 10 ]}によって提供された。彼は、ディラック方程式は4成分ディラックスピノルを分割することによって再定式化できることを観察した。${\displaystyle \psi }$質量のない左巻きと右巻きの2成分スピノールのペアに${\displaystyle \psi =(\psi _{\rm {L}},\psi _{\rm {R}})}$（またはジグザグ成分）それぞれが他方の運動方程式のソース項であり、結合定数は元の粒子の静止質量に比例する。${\displaystyle m}$、 として

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=m\psi _{\rm {L}}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=m\psi _{\rm {R}}\end{matrix}}\right.}$。

元の質量を持つディラック粒子は、質量のない2つの成分から構成されていると考えることができ、それぞれの成分は絶えず互いに変換し合っている。成分は質量がないため光速で運動し、そのスピンは運動方向を中心とするが、それぞれ逆のヘリシティを持つ。スピンは一定であるため、速度の方向が反転し、特徴的なジグザグ運動（Zitterbewegung）が生じる。