接続（主バンドル）

数学、特に微分幾何学とゲージ理論において、接続とは、束上の平行移動の概念を定義する手段、つまり、近くの点上のファイバーを「接続」または識別する方法です。滑らかな多様体上の主 G 束上の主G接続は、群の作用と互換性のある特別なタイプの接続です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

主接続は、エーレスマン接続の概念の特殊なケースと見なすことができ、主エーレスマン接続と呼ばれることもあります。これは、付随バンドル構成を介してに関連付けられた任意のファイバーバンドル上の (エーレスマン) 接続を生み出します。特に、任意の付随ベクトルバンドル上で、主接続は共変微分、つまり基本多様体内の接線方向に沿ってそのバンドルのセクションを微分できる演算子を誘導します。主接続は、滑らかな多様体のフレームバンドル上の線型接続の概念を任意の主バンドルに一般化します。 ${\displaystyle P}$

を滑らかな多様体上の滑らかな主Gバンドルとします。すると、上の主-接続は、のリー代数内の値が-同変である上の微分 1 形式となり、上の基本ベクトル場のリー代数生成子を再現します。 ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$

言い換えれば、ωの元であり、 ${\displaystyle \Omega^{1}(P,{\mathfrak{g}})\cong C^{\infty}(P,T^{*}P\otimes{\mathfrak{g}})}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega }$ここで はによる右乗法を表し、 は上の随伴表現です(明示的には)。${\displaystyle R_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}}$
2. およびが、P上のG作用を微分することによってξに関連付けられたP上のベクトル場である場合、( 上でも同様)。${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X_{\xi}}$${\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi }$${\displaystyle P}$

主接続${\displaystyle G}$という用語はペアを指すこともあり、主接続自体は主接続の 接続形式または接続 1 形式と呼ばれます。${\displaystyle (P,\omega )}$${\displaystyle \omega}$

主-接続の既知の非自明な計算のほとんどは、(余)接バンドルの自明性のため、同次空間で行われます。(たとえば、を 上の主 -バンドルとします) これは、全空間上の 1 形式が に正準同型であることを意味します。ここで は双対リー代数であり、したがって-接続は と一対一です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to H\to H/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H/G}$${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}}$

への主-接続は、次のようにしてへのエーレスマン接続を決定します。まず、への作用を生成する基本ベクトル場は、バンドルからへのバンドル同型（ の恒等写像を覆う）を提供することに留意してください。ここで、は の垂直バンドルと呼ばれる接線マッピングの核です。したがって、 は上の恒等写像であるバンドル写像を一意に決定します。このような射影は、 となるの滑らかな部分バンドル（水平バンドルと呼ばれる）であるその核によって一意に決定されます。これがエーレスマン接続です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V=\ker(d\pi )}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle v:TP\rightarrow V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle H}$${\displaystyle TP}$${\displaystyle TP=V\oplus H}$

逆に、 上のエーレスマン接続(または)は、の意味で -同変である場合に限り、主-接続を定義します。 ${\displaystyle H\subset TP}$${\displaystyle v:TP\rightarrow V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}$

主バンドルの自明化切断は、の開部分集合上のの切断sによって与えられます。すると、主接続の引き戻しs ^* ω は、 に値を持つ の1-形式になります。切断sが、( sg )( x ) = s ( x ) g ( x )で定義される新しい切断sgに置き換えられると（ここでg : M → Gは滑らかな写像）、 となります。主接続は、この - 値 1-形式の族によって一意に決定され、これらの 1-形式は、特に古い文献や物理学に重点を置いた文献では、接続形式または接続 1-形式とも呼ばれます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

群は右平行移動によって接線バンドルに作用します。商空間TP / Gも多様体であり、TM上のファイバーバンドルの構造を継承します。このファイバーバンドルはdπ : TP / G → TMと表記されます。ρ: TP / G → MをMへの射影とします。射影 ρ の下のバンドルTP / Gのファイバーは加法構造を持ちます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TP}$

バンドルTP / G は主接続のバンドルと呼ばれます(Kobayashi 1957)。dπ: TP / G → TMの切断Γで、 Γ : TM → TP / GがM上のベクトルバンドルの線型射であるものは、 Pの主接続と同一視できます。逆に、上で定義された主接続は、 TP / Gのそのような切断 Γ を生じます。

最後に、Γをこの意味での主接続とする。q : TP → TP / Gを商写像とする。接続の水平分布はバンドルである。

${\displaystyle H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.}$水平バンドルへのリンク、つまりエーレスマン接続が再び表示されます。

ωとω ′ が主バンドルP上の主接続である場合、差ω ′ − ωはP上の 値 1 形式であり、これはG同変であるだけでなく、Pの垂直バンドルVの任意のセクションで消えるという意味で水平である。したがって、これは基本的であり、したがって、随伴バンドルに値を持つM上の 1 形式によって決定される。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.}$

逆に、そのような 1 形式はいずれも (引き戻しを介して) P上のG同変水平 1 形式を定義し、主G接続の空間はこの 1 形式の空間に対する アフィン空間です。

となる自明な主-バンドルに対しては、標準接続が存在する^{[1] pg 49}${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle E=G\times X}$

${\displaystyle \omega _{MC}\in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$

これはマウラー・カルタン接続と呼ばれる。これは次のように定義される。点に対して定義する。${\displaystyle (g,x)\in G\times X}$

${\displaystyle (\omega _{MC})_{(g,x)}=(L_{g^{-1}}\circ \pi _{1})_{*}}$のために${\displaystyle x\in X,g\in G}$

これは作曲である

${\displaystyle T_{(g,x)}E\xrightarrow {\pi _{1*}} T_{g}G\xrightarrow {(L_{g^{-1}})_{*}} T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

1-形式を定義する。

${\displaystyle \omega _{0}=(L_{g^{-1}})_{*}:T_{g}G\to T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

はリー群上のマウラー・カルタン形式であり、です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega _{MC}=\pi _{1}^{*}\omega _{0}}$

自明な主-バンドルに対して、によって与えられる恒等セクションは1-1対応を定義する。${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle i:X\to G\times X}$${\displaystyle i(x)=(e,x)}$

${\displaystyle i^{*}:\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(X,{\mathfrak {g}})}$

上の接続と上の-値1-形式との間の関係^{[1] pg 53} 。上の-値1-形式に対して、上 の唯一の1-形式が存在し、${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {A}}}$${\displaystyle E}$

1. ${\displaystyle {\tilde {A}}(X)=0}$垂直ベクトルの場合${\displaystyle X\in T_{x}E}$
2. ${\displaystyle R_{g}^{*}{\tilde {A}}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}}$いかなる${\displaystyle g\in G}$

そして、この1形式が与えられたとき、和をとることによって 接続を構築することができる。${\displaystyle E}$

${\displaystyle \omega _{MC}+{\tilde {A}}}$

は に実際の接続を与える。このユニークな 1 形式は、まずをに制限して を見ることによって構築できる。次に、はによって決定される。なぜなら、を取ることでが得られるからである。${\displaystyle E}$${\displaystyle (e,x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{(e,x)}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T_{(x,e)}E=ker(\pi _{*})\oplus i_{*}T_{x}X}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}=R_{g}^{*}{\tilde {A}}_{(e,x)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}_{(e,x)}}$

同様に、フォーム

${\displaystyle {\tilde {A}}_{(x,g)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ A_{x}\circ \pi _{*}:T_{(x,g)}E\to {\mathfrak {g}}}$

上記の特性 1 と 2 を与える 1 形式を定義します。

この記述は、自明化と遷移関数によるの開被覆を考慮することにより、非自明バンドルに対してさらに洗練されることができる^{[1] pg 55。}すると、 上の接続と 1-形式の集合の間には1-1対応が存在する。${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{a}\}_{a\in I}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\phi _{a}\}_{a\in I}}$${\displaystyle \{g_{ab}\}_{a,b\in I}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \{A_{a}\in \Omega _{1}(U_{a},{\mathfrak {g}})\}_{a\in I}}$

満足する

${\displaystyle A_{b}=Ad(g_{ab}^{-1})\circ A_{a}+g_{ab}^{*}\omega _{0}}$

上のMaurer-Cartan 形式の交点を行列形式で 表します。${\displaystyle U_{ab}}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega _{0}=g^{-1}dg}$

主バンドルに対して、接続の集合はベクトル空間のアフィン空間である^{[1] pg 57。}ここで、は関連する随伴ベクトルバンドルである。これは、任意の2つの接続に対して、次のような形式が存在することを意味する。${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle E_{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}+A}$

接続の集合を、または文脈が明らかな場合は単に と表記します。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

我々は^{[1] pg 94を}主バンドルとして構築することができる。ここで、およびは射影写像である。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \gamma :H_{\mathbb {C} }\to \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]}$

のリー代数は複素平面にすぎないことに注意。1-形式は次のように定義される。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=GL(1,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(H_{\mathbb {C} },\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &={\frac {{\overline {z}}^{t}dz}{|z|^{2}}}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {{\overline {z}}_{i}}{|z|^{2}}}dz_{i}\end{aligned}}}$

は接続を形成し、定義を検証することで確認できる。任意の固定値に対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\lambda }^{*}\omega &={\frac {{\overline {(z\lambda )}}^{t}d(z\lambda )}{|z\lambda |^{2}}}\\&={\frac {{\overline {\lambda }}\lambda {\overline {z}}^{t}dz}{|\lambda |^{2}\cdot |z|^{2}}}\end{aligned}}}$

そして なので、 -不変性が成り立つ。これは、リー代数がアーベル代数なので随伴作用が自明だからである。分割を構成するために、任意の に対して、短い完全列が成り立つことに注意する。${\displaystyle |\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}{\lambda }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle z\in H_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \xrightarrow {v_{z}} T_{z}H_{\mathbb {Z} }\xrightarrow {\gamma _{*}} T_{[z]}\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$

ここで、は次のように定義される。${\displaystyle v_{z}}$

${\displaystyle v_{z}(\lambda )=z\cdot \lambda }$

したがって、これはファイバー内でスケーリングとして機能します（対応する-アクションに制限されます） 。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )&={\frac {{\overline {z}}dz}{|z|^{2}}}(z\lambda )\\&={\frac {{\overline {z}}z\lambda }{|z|^{2}}}\\&=\lambda \end{aligned}}}$

ここで、2番目の等式は垂直接線ベクトルと を 考えているから成り立つ。表記は少々わかりにくいが、各項を展開すると${\displaystyle z\lambda }$${\displaystyle dz(z\lambda )=z\lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dz_{0}+\cdots +dz_{n}\\z&=a_{0}z_{0}+\cdots +a_{n}z_{n}\\dz(z)&=a_{0}+\cdots +a_{n}\\dz(\lambda z)&=\lambda \cdot (a_{0}+\cdots +a_{n})\\{\overline {z}}&={\overline {a_{0}}}+\cdots +{\overline {a_{n}}}\end{aligned}}}$

（ここで）はより明確になります。 ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$

Gの任意の線型表現 Wに対して、 M上に関連付けられたベクトル束が存在し、主接続はそのようなベクトル束上の共変微分を誘導します。この共変微分は、 M上の の切断の空間がP上のG同値W値関数の空間に同型であるという事実を使って定義できます。より一般的には、に値を持つk形式の空間は、 P上のG同値で水平なW値k形式 の空間と同一視されます。α がそのようなk形式である場合、その外微分d α は、G同値ではありますが、水平ではなくなります。ただし、組み合わせ d α + ω Λ α は水平になります。これは、 M上の値k形式からM上の値 ( k +1) 形式への外共変微分d ^{ω を}定義します。特に、k =0 のとき、 上の共変微分が得られます。 ${\displaystyle P\times ^{G}W}$${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$${\displaystyle P\times ^{G}W}$${\displaystyle P\times ^{G}W}$${\displaystyle P\times ^{G}W}$

主G接続ωの曲率形式は、次のように定義される値2形式Ω である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

これはG同変かつ水平であるため、 の値を持つM上の 2 形式に対応します。この量と曲率の同一視は、(カルタンの) 第 2 構造方程式と呼ばれることがあります。^[2]歴史的に、構造方程式の出現は、カルタン接続の発展に見られます。リー群のコンテキストに転置されると、構造方程式はマウラー・カルタン方程式として知られています。これらは同じ方程式ですが、設定と表記が異なります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$

接続が平坦であるとは、その曲率が の形をとる場合である。平坦接続を持つ主バンドルには便利な特徴付けがある。つまり、主バンドルが平坦接続を持つのは、すべての遷移関数が自明化を持つ開被覆が存在する場合のみである^{[1] pg 68。}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega =0}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \{U_{a}\}_{a\in I}}$${\displaystyle \left\{\phi _{a}\right\}_{a\in I}}$

${\displaystyle g_{ab}:U_{a}\cap U_{b}\to G}$

は定数です。これは、滑らかな多様体上の平坦な主 -バンドルを構築するためのレシピを提供するため、つまり、開いた被覆を取り、定数遷移関数を持つ自明化を定義するため、便利です。 ${\displaystyle G}$

主バンドルPがフレームバンドルである場合、または（より一般的には）はんだ形式を持つ場合、接続はアフィン接続の例であり、曲率は唯一の不変量ではありません。これは、 P上の同変R ⁿ値 1 形式であるはんだ形式θの追加構造を考慮に入れる必要があるためです。特に、P上のねじれ形式は、次のように定義されるR ⁿ値 2 形式 Θ です。

${\displaystyle \Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .}$

Θ はG同変かつ水平なので、 M上の接線値 2 形式に下がり、これを捩れと呼びます。この方程式は、(カルタンの) 第 1 構造方程式と呼ばれることもあります。

X がスキーム（またはより一般的にはスタック、派生スタック、あるいはプレスタック）である場合、いわゆるde Rham スタックを関連付けることができ、X _dRと表記されます。これには、 X _dR上の主Gバンドルが、X上の *平坦* 接続を持つGバンドルと同じものであるという特性があります。

• 小林昭七 (1957)、「接続理論」、Ann. Mat. Pura Appl.、43 : 119–194、doi : 10.1007/BF02411907、S2CID  120972987
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operations in different geography (PDF) , Springer-Verlag, 2017-03-30 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2008-03-25 に取得